数学体験館、微分解析機 他 @東京理科大 20140808

（リンク::::::::::、数学）
http://nam-students.blogspot.jp/2014/08/2040808.html?m=0：本頁

(d^2)y/d(t^2)=-y

円の方程式

http://www.wisdomtex.com/Leibniz/2.html ライプニッツの四則演算計算機

http://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E6%95%B0

図形数

• 
  

正方形に対応する四角数

図形数（ずけいすう、figurate numbers）とは、一定の規則で図形状に並べられた点の個数として表される自然数の総称である。その歴史は、古代ギリシアのピタゴラス学派が「万物は数である」との思想のもと、図形と数を結び付けたところにまで遡る。例えば、図形として正方形を考えると、数としては平方数を得る。平方数を図形数として見るときには、これを特に「四角数」と呼ぶ。

目次

• 用語
• 歴史
• グノモン
• 脚注
• 参考文献
• 関連項目
• 外部リンク

用語編集

「図形数」に対応する英語は figurate number, figured number, figural number があるが、その意味する範囲は日本語、英語ともに曖昧さがある。古代ギリシアで扱われたもののみを指すこともあれば、4次元以上の図形に対応するものまで含める場合もある^[1]。figurate number の訳語として「装飾数」が用いられた例もある^[2]。

歴史編集

四角数は奇数の和と捉えられる。例えば、図は 4²= 1 (赤) + 3 (黄) + 5 (緑) + 7 (青) を意味する。

紀元前6世紀頃のピタゴラス学派は、三角数や四角数を用いて、いくつかの数の性質を導いたとされる。例えば、正方形状に並んだ点から次に大きな正方形を作るにはL字形の「部品」を付加すればよいことから、最初の n 個の奇数の和が n 番目の四角数であることが分かる。現代的な記法では

ということである。この性質を用いて、無数にピタゴラス数を得ることもピタゴラスは知っていた^[3]。また、三角数の2倍が矩形数であることから、1 から n までの和の公式

を得る。

このように、図を用いることによって、様々な数の性質が確かめられる。例えば、連続する三角数の和は四角数である。現代的な式では

と表せる。やや複雑な例として、プルタルコスが記してディオファントスが引用したところによると、三角数の8倍に1を加えれば四角数となる。すなわち、

である^[4]。

• 

  三角数の2倍は矩形数
 
• 

  連続する三角数の和は四角数
 
• 

  三角数の8倍に1を加えると四角数

紀元前2世紀のヒュプシクレス（英語版）は、三角数や四角数を一般化した多角数を定義した^[5]。その後、スミュルナのテオン、ニコマコス（英語版）、イアムブリコス（英語版）らが多角数について論じた^[4]。

正四面体に対応する四面体数

2世紀頃のニコマコスは、その著書『算術入門（英語版）』において、多角数は等差数列の和として定義されることを指摘したのみならず、種々の立体数についても述べている。具体的には、四面体数、四角錐数などの多角錐数、立方体数、切頂（英語版）多角錐数などである^[6]。それよりも前に、紀元前4世紀頃のオプスのフィリポ（英語版）やスピューシップス（英語版）が四面体数について考察したと考えられるが、文献は残っていない^[7]。

1544年、マイケル・シュティーフェル（英語版）は、三角数、四面体数に続く五胞体数などの、高次元版の図形数を定義した^[8]。

近世ヨーロッパの数学者、バシェ（英語版）、フェルマー、オイラーらも多角数について論じている^[9]。初等的な性質のみならず、フェルマーが多角数定理を予想し、オイラーが五角数定理を示すなど、やや高度な数論にも図形数は現れる。

1996年に出版されたコンウェイとガイ（英語版）の『数の本』には、その他のさまざまな図形数、例えば中心つき四角数や体心立方数（英語版）などが図付きで紹介されている。

グノモン編集

五角数とそのグノモン。色分けされた各部分がグノモンである。

先述のように、四角数からより大きな四角数を構成するときにはL字形の「部品」を付加すれば良かった。このような部品は古代ギリシアではグノモン（グノーモンとも、gnomon）と呼ばれた^[10]。元々グノモンという語が意味するものは、日時計において影を作るための直立の棒であり、垂直を暗示するため、L字形の部品に対して用いられることとなった。エウクレイデス『原論』の第二巻では、正方形のみならず平行四辺形に対してグノモンという語をあてている。アレクサンドリアのヘロンは、その部品を付加することによって元の図形と相似な図形を得るようなもの、とした。矩形数の場合、L字形の部品を加えると、元の矩形と新しい矩形は縦横比が異なるため、厳密には相似とはいえないが、このような場合にもグノモンの語が用いられる。

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = (1 + 2 + 3 + 4)²を示す図。各グノモンの面積は立方数である。

西暦1000年頃、アラビア数学者アル＝カラジ（英語版）は著書『ファフリー』(Fakhri)において、グノモンの考えを用いて三乗和の公式

を示した^[11]。実際には彼は n = 10 の場合のみを説明しているが、疑いなく一般の場合を意識していた。四角数を用いた証明は以下の通り。ひとつの点から始め、一辺が 3 (= 1 + 2) の正方形となるようにグノモンを付加する。次は一辺が 6 (= 1 + 2 + 3) となるようにグノモンを付加する。これを繰り返して一辺が 55 (= 1 + 2 + … + 10) となるようにグノモンを付加したとき、最後のグノモンが含む点の個数は

10 × (1 + 2 + … + 9) × 2 + 10 × 10 = 10³

と計算される。他のグノモンが含む点の個数も同様に立方数であることが分かるので、

1³ + 2³ + … + 10³ = (1 + 2 + … + 10)²

が示される。

脚注編集

1. ^ 例えば、MathWorld では figurate number を最も広い意味で用いている。
2. ^ タッタソール著、小松尚夫訳『初等整数論9章』p. 12
3. ^ 平方数である奇数までの和を考えることで、二辺の差が 1 であるピタゴラス数を得る。例えば、(1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 5² より、4² + 3² = 5² といった具合である。ヒース pp. 37-38
4. ^ ^a b ヒース p. 418
5. ^ その著作は残っていないが、ディオファントスは、ヒュプシクレスを多角数を定義した人としてその定義を引用している。ヒース p. 311
6. ^ ヒース p. 54
7. ^ タッタソール p. 10
8. ^ タッタソール p. 12
9. ^ タッタソール pp. 15-20
10. ^ ヒース p.36
11. ^ ヒース pp. 55-56、カッツ p. 290

参考文献編集

• T. L. ヒース著、平田寛、菊池俊彦訳、大沼正則訳『復刻版ギリシア数学史』共立出版、1998年（初版は1959年、原著は1931年出版）ISBN 978-4320015883
• ヴィクター・カッツ著、上野健爾他訳『数学の歴史』共立出版、2005年 ISBN 978-4320017658
• J. J. タッタソール著、小松尚夫訳『初等整数論9章』森北出版、2008年 ISBN 978-4627081628 - 特に、1.1節「多角数」
• J. H. コンウェイ、R. K. ガイ著、根上生也訳『数の本』シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年 ISBN 978-4431707707 - 特に、第2章「図を見てわかる数のしくみ」

関連項目編集

ウィキメディア・コモンズには、図形数に関連するカテゴリがあります。

• ファウルハーバーの公式
• ピックの定理

外部リンク編集

• Weisstein, Eric W., "Figurate Number" - MathWorld.（英語）

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｜ＸＸＸ☆☆☆〇〇〇〇｜　
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0　　　　10×10　

△1^3
Ｘ2^3
☆3^3
〇4^4

1^3＋2^3＋3^3＋4^4=(1＋2＋3＋4)^2

三乗和の公式

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ツリーに対抗するのは複数のツリーである。

http://www.wisdomtex.com/Leibniz/2.html

ライプニッツの四則演算計算機

以下引用。

　パスカルが設計した計算機は、基本的に加算機で補数を活用して減算を行うことができた。しかし、ライプニッツはパリを訪れる以前から、加減乗除の四則演 算をこなす計算機の設計が可能だと考えていた。
　ライプニッツがパリに来た頃、パスカルの計算機に対数の円盤を組み合わせて乗算を行う計算機も存在した。ドイツのウィルヘルム・シッカルト （Wilhelm Schickard）は1623年に、ネーピアの計算棒を活用して乗除算ができる計算機を設計していた。シッカルトの計算機のことは広く知られていなかっ たが、ライプニッツは1673年2月1日に英国の王立協会で計算機の試作機を披露した時、英国のサミュエル・モーランドの計算機のことを教えられた。ライ プニッツはその直後にモーランドと面会したところ、その計算機はネーピアの計算棒を応用していた。
　ライプニッツは、クランクを回して乗除算を純粋に遂行する計算機の仕組みを検討していた。乗算は加算の繰り返しであり、除算は引き算の繰り返しなので、 ひとつのクランクの回転方向を変えれば、どちらの計算にも対応できる。平方根の開平も除算で仕組みで行うことができる。計算結果をだすまでに、場合によっ ては数百回クランクを回すことになるかもしれないが、ともかくクランクを回し続ければ計算は終わる。
　ライプニッツはこれを実現するために、円筒形のシリンダの外壁に1から9まで段差がついた金属の細い角棒を付着させた歯車を考案した。円柱の側面の半分 足らずのスペースに、螺旋階段が9ステップだけ張り付いているような形状をしている。このシリンダに隣接する歯車は、入力用の数字盤の数字に応じて前後に スライドし、連続する数字の入力を設定できるようにした。後は、クランクを1回転させると、入力した数字が9であれば9個分の歯が動き、入力数字が3だと 3個分の歯が動く。



階差ドラムの仕組み　© David G. Hicks 
<ステップ・ドラム図　http://www.hpmuseum.org/mechwork.htm#stepdrum>

　752 X 36の計算では、7、5、2を数字盤で指定すると、それぞれのシリンダに隣接する歯車は、毎回7、5、2の個数分の運動を伝える位置にスライドする。そし て手前のクランクを36回まわすと、答えがでる。クランクを回した数は、カウンタに自動表示される。最初のマシンでは、桁上がりが同時に発生すると、手作 業で調整する必要があった。ライプニッツは後に、各桁の桁上げと桁下げを1つ伝える2進スイッチと10進で桁送りを行うシフト機構を備えた累算器を導入 し、桁上げと桁下げを自動化して12桁までの答えを結果表示器(result register)で示せるようにした。
　ライプニッツは王立協会で木と真鍮で作った試作機を披露した後、計算機に何度も改良を重ね、1675年の初めにパリ科学アカデミーで公開実験を行った。 この実験は成功し、フランス国王、王立天文台、財務局のために計3台の計算機の制作依頼をもたらした。ただ、この計算機は大きな数の乗除算に使えるほど、 完成度が高いものではなかった。ライプニッツは1693年に、当初意図していた計算機を完成させたが、その後も8桁の数字を乗算して16桁で答えを表示で きる計算機の改良に、生涯をかけて取り組んだ。しかし、職人に恵まれることなく、満足がいく計算機を仕上げることはできなかった。
　

東京理科大学近代科学資料館　http://www.sut.ac.jp/info/setubi/museum/kannai/index.html

　商業的に成功した最初の計算機は、フランスの保険会社の社長、シャルル・ザヴィア・トマ(Charles Xavier Thomas, 1785-1870)が1820年に開発したアリスモメータで、1825年から1878年までに1,500台が販売された。ライプニッツの段差がついたシ リンダ型歯車(stepped drum)は、アリスモメータの心臓部となり、数字歯車の列の位置を可変にする仕組みが導入されて、入力した数字を10倍、100倍、1000倍にして乗 算することができた。アリスもメーターは、1930年まで製造された。その後もシリンダ型歯車は、ライプニッツの輪(Leibniz wheel)と呼ばれて、20世紀前半に製造された様々な卓上計算機で活用された。


アリスモメーター（Arithmometer 1820）


参考文献

E. J. Aiton「LEIBNIZ--A Biography」Adam Hilger Limited 1985: 邦訳「ライプニッツの普遍計画ーバロックの天才の生涯」渡辺正雄、原純夫、佐柳文男 訳、工作舎 1990
佐々木能章「ライプニッツ術ーモナドは世界を編集する」工作舎、2002