スピノザ虹論文

スピノザの虹に関する論文（1687年、没後10周年の刊行）、
　『虹に関する代数的論断』

以下の冒頭に掲げられたラテン語はキケロの言葉。
　"In summo honore apud Graecos geometrica fuit; itaque nihil mathematicis illustrius; at nos ratiocinandi metiendique utilitate huius artis terminavimus modum." Tusculanarum Disputationum Libri V,I, 2.

　　　　
　あのギリシャ人の間では幾何学は最高の名著を受けて
いた．それ故，幾何学者より優れたものは何もなかっ
た．しかるに我々はこの技術の目標を測量し計算する効
用に止めてしまった．
キケロ，トウースクルム論議第１巻９節

（スピノザ：虹の代数学的計算、機会の計算　「科学史研究」２３、渡邊義雄訳より）


参考：
「キケロは、ラテン人のこの心の態度を嘆いていた。ギリシア人の間では、幾何学に高い評価
名誉が与えられているが、ローマの側では、その評価が欠けていることを対照させながら。」
という意味らしい。
キケロ 『トゥクルム荘対談集』未邦訳（Tusculanae disputationes）第一巻より、ユージンスミスの数学史より孫引き。

以下英語版キケロ該当箇所
in Greece;
Geometry was in high esteem with them, therefore none were more honorable than mathematicians. But we have confined this art to bare measuring and calculating.

http://www.gutenberg.org/files/14988/14988-h/14988-h.htm p.11

英語題は、
Spinoza's Algebraic calculation of the rainbow
以下、原文はオランダ語、
Samenknoping der natuurkunde met de wiskonsten所収
STELKONSTIGE REECKENING VAN DEN REGENBOOG
google翻訳

http://books.google.co.jp/books/reader?id=M_IPAAAAYAAJ&dq=Samenknoping+der+natuurkunde+met+de+wiskonsten.&output=reader&printsec=frontcover




なお内容に関して言うと、採用された二つの図のうち最初のもの↑はデカルトの『気象学』第八章「虹について」（邦訳著作集１、301頁）で使われている図↓とほとんど同じである（というより、デカルトの図の参照が明記されている）。



第二の図↓はオリジナルらしい（複素平面を想起させる点が特筆される）。


藤本吉蔵『スピノザ思想の原画分析』でもこのスピノザの論文は論じられている。

参考：
「創世記九章十三節には、神がノアに向かって、「我わが虹を雲の中に起さん」と言っているが、神のこの行いも亦確かに太陽の光線が雨滴に中で蒙る屈折と反射以外の何ものでもない。」（『神学政治論』第６章岩波上２１６頁）

以下前掲書p253〜よりオランダ語原文：

«In sommo apud illos honore Geometria fait, itaque nihil Mathematicis illustrius. At nos metiendi ratiocinandique utilitate hujus artis terminavimus modam. Cicero, Tuaculanarum gucestionum Lib. I. in prime.
HAGAE COMITUM,
Apud LEVINUM VAN DYCK.
M.DC.LXXXVII.


STELKONSTIGE REECKENING
　　　　　VAN DEN
　　　　REGENBOOG,
DIENENDE TOT NAEDERE SAMENKNOPING DER NATUURKUNDE MET DE WISKONSTEN.
By imer (te weten by de Griecken) is de Meetkonst in zeer groot aenzien geweest. Zo datter niet nytuemender was als de Wiskonstenaers; maer wy (namentlyck de Romeynen) hebben de mate van deze konst bepaeld roet de nuttigheydt van meeten en van tellen. {Cicero, Tnsc. Q. I.)


IN 'S GRAVENHAGE,
Ter Druckerye van LEVÏN VAN DTCK.
M. DC. LXXXVII.

LECTORI SALUS.
Quamquam, Lector discrete, hacce computatione eruditis displicere nolimus, confidemus tarnen, praecipuum publicationis cujusdam esse debere consilium indoctos adjuvare. Qua in re, hisce in provinciis juvenibus docilibus bonum exemplum habernus Domini Hudde Consulis Amstellodamensis, in Comparationum ejus Abbrematione regulisqtie firmis et generalibus maximorum et minimorum; Domini Huygens — dilecti illius profecto ab omnibus artes istas amantibus — in pluribus ingeniosit nee minus perfectis ejus operibus; et Domini De Witt, dam videbat Consiliarii-pensionarii Hollandae,in clara ejus segmentorum descriptione conorum et computatione redituum ad vitam contra reditus sohentes. Tanto magis itaque ei, qui a quoquam, vel tantillum docili, intelligi velit, a cognitis incipienti sensim sensimque licet adscendere, et de Iride tamquam a principiis initium facere. Quodam ergo prioribus sex Euclidis libris operamdante, hae annotationes, quae, secundum Horatii AEN DEN LEZER.

REECKENING VAN DEN
REGENBOOG.
Die geene die een weynig kennisse hebben van de Wetenschappen, dienende om het gezigt, het edelste van onze uyterlijke zinnen, behulpzaem te zijn, ofte om hetzelve te verlustigen, zijn niet onkundig, dat als de stralen van de zon, ofte van het ligt scheefachtig vallen op een vlack van glas, van water, ofte van eenige andere voghtigheyt, dezelve in 't begin van dat vlack niet meer recht, ofte volgens een reghte linie, maer schuyns ofte afgeschampt doorgaen, op dezelve wijze, gelijck men by dagelijxze ondervindinge een stock ofte roeyriem in 't water, als gebroken ziet, en dat men dit breecken, ofte schampen der stralen hunne refractie noemt. Hun is mede niet onbekent, dat men aen de weerstuyt van dezelve stralen, wanneer ze door de foelie, die achter een glas of spiegel is, ofte iet diergelijx, niet kunnen doorbreken, maer wederkeren, oock gewoon is te geven de naem van reflectie, vaerom wy geen swarigheyt zullen maken zomtijts diergelijcke woorden, beter verstaen werdende als de nederduytze , te gebruycken.
Dewijle dan den Regenboogh, dat heerlijck teecken des Verbonts voor de Godtsgeleerde, by de natuurkundige volgens de grontwetten, door Godt de Heere de geschapene sari judicatur (*) per refractionem et reflectionem radiorum solis, in innumerabilem incidentium multitudinem guttularum aquae , juvenibus Matheseos amatoribus res admodam animadversione digna est, magnum eorum antecessorem, Cartesium, non solum demonstrare Iridem inferiorem principalemque per duas videri refractiones unamque reflectionem, süperiorem autem per duas refractiones et reflectiones duas, eoque se priore vel principali minus lueidam exhibere; eumque praeterea computatione determinare et rationibus demonstrare. angulum maximum, quo inferior Iris observari potest, vel dimidium ejus diametri non minorem esse posse quam 41° 47', et angulum minimum, quo superior Iris observari potest sive diametri ejus dimidium non minorem quam 51° 37'. Ut vero pergamus, mejudice, pergrata inventio est, quam de rubro, flavo, viridi, caeruleo sim. Iridis coloribus profert, qua praesertim ingeniosam suam mentem manifestat, rationes afferens, cur rubrum conspiciatur a parte convexa sive exteriore Iridis inferioris, » parte vero concava sive interiore superioris; scilicet quia in leges umbrae lucisque inquirens demonstrat centrum cujusque aquae guttulae, ubi maxima datur umbra sive densitas, supra refractionem radiorum venire in Iride inferiore ad oculos nostros pervenientium, quapropter color fortissimus sc. ruber umbrae subest ideoque a parte convexa cernitur; in maximo autem Iridi cujusque guttulae centrum venire sub refractione ad oculos nostros perveniente, quapropter rubrum inveniatur supra umbram i. e. a parte concava.
(*) Nemo non in hacce Theologorum et Physicorum oppositiote Spinosam (puto) recognoscet.
dingen medegedeelt, wert geoordeelt veroorzaeckt te werden door de refractie en reflexie van de stralen van de zon, vallende op een ontallijcke menighte van kleyne droppelen waters: zoo is het zeer aanmerkens weerdigb. voor de jonge liefhebbers der Wiskonsten, dat haeren groten voorganger de heer Descartes niet alleen aenwijst, dat de onderste en voornaemste Regenboogh wert gezien door middel van twee refractien, en een reflexie, en de bovenste door twee refractien en twee reflexien, en daerom zigh flaeuwer vertoont, als de eerste of voornaemste; maer daer en boven, dat hy oock door reeckeningh bepaelt, ende met redenen aenwijst, dat den grootsten hoeck, waer in de kleynste Regenboog kan gezien worden, of zijn halven middellijn niet groter kan zijn als 41 graden 47 minuten, en den alderkleynsten hoeck, waer in de grootste Regenboog kan gezien worden, of zyn halven middellyn niet klynder kan zyn, als 51 graden, 37 minuten. Dog om wat verder te gaen , 't is mijns oordeels een aengename nytvindinge, die hy voortbrenght over het root, geel, groen, blaeuw en diergelijke couleuren van den Regenboog, maer byzondcr ziet men daer uyt een merckteecken van zynen aerdigen geest, als hy reden geeft, waerom de rode couleur wert gezien aen de bolle ofte de uytwendige zyde van den ondersten Regenboog, en aen de holle, ofte de inwendige zyde van de bovenste, te weten, om dat hy, onderzogt hebbende de wetten van de schaduwe en het light, betoont, dat het middelpunt van ieder droppel waters, alwaer de grootste schaduwe of dickte is, komt boven de refractie der stralen, die tot ons oogh komen in den onderste Regenboogh, en dat daerom de krachtighste coleur te weten het root is onder de schaduwe, namentlijck aen de bolle zyde, maer dat in de grootsten Regenboog, het middelpunt van ieder droppel waters komt onder de refractie, die tot ons oogh komt, en dat daerom het root komt boven de schaduwe, te weten aan de holle zyde.
Cum vero algebrne amatoribus, ut solet, occultnm teneat, quomodo duas refractionum regulas invenerit, quibus tabulam suam computavit, eas solummodo describens, breviter eas hic algebraïce demonstrabimus. Q,uare globum vitreum sive aquae guttam per circulum AFDGKBZ ex




Maer vermits hy voor de beminnaers der stelkonst, nae zijne gewoonte, verborgen hout, op wat wyze hy de twee regels derrefractien, waer door hy zijn tafel heeft uytgereeckent, die hy blotelijck ter neder stelt, heeft gevonden ; zoo zullen wy dezelve hier kortelijck stelkonstigh bewijzen , dies wy een glaze bol ofte grote droppel waters vertonen, met den cirkel AFDGKBZ, waerinue geno

hibemus, in quo circulo, longitudine quadam pro linea H F sumta, invenitur porro linea C I ideoque etiam arcus F G et F K, et denique anguli quoque O N P et X Q, B sequenti modo:
Posito , quod diversi radii e solis corpore provenientes, quorum unus hic per iineam T F repraesentatur, diametro A B paralleli sint, quodque diameter dimidia C D in 10000 partes divisa sit, et quod dicta linea Y F 9000 harum partium , sive distantiam H F a dicto diametro A B distet: scire cupimus primum, quanta, linea H F data, linea erit C I, postea quanti arcus F G et F K, et denique quonam angulo eundem radium, post reflectionem in K et duas refractiones in F et N observare possemus in P, et etiam post duas refractiones in F et Q,, et duas reflectiones ia K et N, in B; i. e. scire cupimus amplitudinem anguli O N P et anguli XQR.
Ut igitur primum inveniamus longitudinem lineae C I, cum sciam rationem refractionis aquae esse ut 250 ad 187, HF ad C I — quippe quae lineae sint refractionem dimetientes — eandem rationem habere debet. Dico igitur, secundum regulam de tribus, 250 : 187 = 9000 (sive H F) : x, quo computato pro C I inveniam 6732. Ut vero etiam demonstremus lineas H F et C I refractionem aquae dimetiri, in figura
1) Vide imaginem pag. 262.
men zijnde zekere lengte voor de linie HF, verders gevonden werdt de linie CI, en bygevolg mede de bogen PG en FK, en eindelijk ook mede de hoeken O N P en X Q E op de volgende wijze:
Onderstelt zijnde, dat verscheyde stralen komende uyt het lighaem der Zonne, waer van hier een is afgebeeldt ', met de linie ÏF, evenwijdig zyn met de middellijn AB, en dat de halve middellijn C D zy gedeelt in 10000 delen, en dat de voorsz. Y F 9000 diergelijcke deelen verre is van de voorsz. middellijn A B, ofte de wijte van H F: wy willen weten, hoe groot eerst, HF gegeven zynde, zal zijn de linie C I, daer nae de grote van de bogen F G en FK, en eyndelijck in wat voor een hoeck wy dezelve strael, nae een reflexie in K en twee refractien in F en N zullen kunnen zien in P, en oock nae twee refractien in F en Q en twee reflexien in K en N zullen kunnen zien in K; dat is: wy willen weten de grote van den hoeck ONP, en de grote van den hoeck XQK
Om dan voor eerst te vinden de lenghte van de linie O I, dewyle ick wete, dat de reden van de refractie van aet water is als 250 tegens 187, zoo moet HF tot Cl — lijnde de twee linien, die de refractie afmeten — ook de;elve reden hebben. Ick zegge mits dien, volgens den regel van dryen: 250, geeft 187, wat geeft 9000, ofte HF? ende komt voor C I 6732. Dog om nu mede te bewijzen, dat de linien HF en C I de refractie van het water afmeeten, zo stelle ick voor de strael: in de nevensgaende
(1 Ziet de groote figuur op bladz. 20:3.


adjecta, radium exhibeo O F, et per punctum F, unde refraotio ad K procedit, duco lineam tangentem ad circukm AF B in F; at quia, secundum Cartesii doctrinam in secundo tractatus de Telescopis capite, lineae O P et R 1 refractionem illam dimetiuntur, linae H F et Clrefractionem illam etiam dimetientur, cum linea H F lineae O P. et linea C I lineae R L aequales sint; nam quia triangulorum P O F et H F C latera OF et F C aequalia sunt, quippe duorum aequalium circulorum diametrorum dimidia. et quia rectangulus O P F etiam aequalis est rectangulo F E C angulusque externus OFP interno H C F; sequiturl) lineas OP et F H inter se aequales etiam esse. Eadem ratione demonstratur lineas RL et Cl inter se esse aequales. Quia vero lineae O P et R L refractionem metiunt, etiam lineae F H et C I ipsam dimetientur. Quod erat demonstrandum.
1) Per 26m. prioris.
figuur, OF, ende in het punt F, van waer de refractie gaet naer K, trecke ik een raecklyn, raeckende de cirkel A F B in F; dewijle nu volgens de leere van Descartes in zijn tweede Hooftstuk van de Verhandelinge der Verrekijkers , O P en R L deze refractie afmeten : zoo zullen II F en C I mede deze refractie afmeten, om dat H F is even zoo groot als OP, en C I even zoo groot als RL; want dewijle van de dryhoecken P O F en H F C de zyden O F en FC gelijck zijn, ofte even groot, te weten halve middellynen van twee gelijke cirkels, den reghten hoeck O P F mede gelijck aen den reghten hoeck F H C, en den uyt-wendigen hoeck O F P mede gelijck aen den inwendigen hoeck HCF; zoo volgt i), dat de li nien O P en F H mede eikanderen gelijk zijn. Op gelijke wijze wert mede betoont, dat de linien RL en Cl elkanderen gelijk zijn. Vermits nu de linien O P en R L de refractie afmeten , zo zullen dan mede de linien F H en C I de refractie afmeten, 't Welk stonde te bewijzen.
1) Door de 26ste van 't eerste.
Secmdo: spectando rursus magnam imaginem, lineis H F et C I inventis, inveniuntur etiam facile arcus F G et F K. Quando enim quadratum lineae H F subtrahimus quadrato

diametri dimidii C F, quadratum obtinemus cujus radix: sinus sive gonometrum est arcus F D, sive angulus F C D , quae radix est supra 4358. Quem numerum per Laas


Ten tweeden, wederom naegezien werdende de groote figuur, als deze linien H F en C I gevonden zijn, zoo vint men ook lightelijck de bogen I 6 en F K. Want als men het 'vierkant van H ï aftrekt van het vierkant van den
halven middellijn CF, zoo bekomt men een vierkant, -wiens wortel is de sinus of den hoeckmaet van den boog ï D, ofte den hoeck FCD, weleke wortel is ruym 4358. Dit getal over een brengende met de Tafelen van Lantsbergii Schotenii vel alius cujuscunque tabulas computantes , pro FCD angulum invenimus 25 graduum 50 min., vel ut propius adhuc accedamus 25° 50J', cujus duplex est arcus FG sive 51° 41'. Eadem ratione arcus FK etiam invenitur esse 95 ° 22'. Quod tantummodo e trigonometrie osteudere voluimus.
TJt autem tertio perveniamus ad inveniendos angulos O N P et X Q R i. e. ') diametros dimidios sive altitudinem utriusque Iridis, uti facile imaginari nobis possumus *), proferentes lineas N P et Q, R, et ex earum finibus P etR sive ex oculis spectatoris ducentes parallelas diametro A £:
PRIOR REGULA
est: quod, ad inveniendum angulum O N P sive diametri dimidium i. e. altitudinem inferioris Iridis, arcus F Q addenda sit180 gradibus, et deinde subtrahendus duplex arcus F K.
ACTIO ET DEMONSTRATIO.
Quam regulam, a Cartesio longo claroque sermone indictam. uti fleri debet, quando illis scribitur qui solo usu contenti sunt, quamque tamen iis, qui fundamentum sive rationem omnium cognoscere amant, occultam tenuit; quam, dico, regulam ut ad terminos algebraïcos reducamus sive in iis ponamus.. a pono quadram sive angulum rectum sive arcum 90 gra
1) Per 29m. prioris.
2) Vide imagioem Iridis apud Cartesium.
bergen, van Van Schoten, ofte van ymandt anders, zo bevint men voor PCD een hoeck van 25 graden 50 minuten , ofte om nogh naeder te komen van 25 graden 50}. minuten, waer van het dobbel is de boog FG, ofte 51 graden 41 minuten. Op dezelve wyze wert de boogh F K mede bevonden te zijn 95 graden 22 minuten, 't Welck wy alleen uyt de driehoexmeeting hebben willen aanwyzen.
Maer om ten derden te komen tot het vinden van de hoecken O NP en XQ.R, dat is om te vinden '), de halve middellijnen, ofte de hooghtens van beyde de Regenbogen, gelijek men zigh lightelijck kan verbeelden2) door het verlengen van de linien NE en QR, en uyt P en R hare eynden , ofte het oogh des aanschouwers, evenwydige te trecken, met de middellijn A B: zo is den
BERSTEN REGEL
Dat men om te bekomen den hoeck O N P, ofte den halven middellyn, dat is, de hoogte van de kleinsten Regenboogh. den boogh F O moet optellen met 180 graden, en daer van af trecken het dobbel van den boogh F K
WERKING EN BEWIJS.
Om dezen regel, die Descartes met lange en klare woorden heeft bekleedt, gelijek men doen moet, als men schrijft voer de geene, die met het enkel gebruyek te vreden zijn , en die hy nogtans voor die geene, die geerne den grondt of de reden van alles weten, heeft verduystert, te brengen ofte te stellen in stelkonstige termen: zo neme ik a voor een winkelhaeck , of reghten hoeck, ofte een boog van 90 graden, b voor de boog F G, c voor de boogh
1) Door de 29ste van 't Eerste.
2) Ziet de Figuur van den Begenboog in Descartes.

duum, b arcum F G, e arcum F K (qui arcus quippe antea inventi cógniti sunt), x angulum O N P, et y angulura GFK, quem angulum dicimus refractionis et qui cum arcubus datis continuo mutatur; secundum regulam propositam igitur angulus ON P sive x = b + 2 a — 2 c. Quod ut jam inveniamus demonstre,musque, x pro angulo O N P et y F K (want deze twee bogen, te voren gevonden zijnde, zijn bekent), x voor den hoek O N P, en y voor den hoek GI K, die wy noemen den hoeck derrefractie, en die volgens de gegevene bogen t'elkens verandert; zo is dan volgens den voorgestelden regel den hoeck O N P ofte x — b + 2 a — 2 e. Om dit nu uyt te vinden ende te bewyzen, zo neme ik x voor den hoeck O N P, en y voor



Si porro aliquis dubitare vellet, num angulus F KL, uti et angulus Q N M, aequalis sit arcui F K sive c, scil. angulo FCK, hujus demonstratio sic procedit: Anguli C F K et C K F cum inter se aequales sint *) propter triangulum aequicrurum CKF, sequitur illos simul aequales esse duplici cnjusque sc. angulo F K N '); sed anguli C F K et C KE cum angulo FCK6) sive c, 180 gradus sive duo angulos rectos efficit; et F K N, iisdem rectis aequalis, cum F K L
1) Per 29m prioris.
2) Per 32m.
8) Per 20m tertii.
4<) Per 5m prioris.
5) Per i-eflectionis proprietatem.
6) Per 32m prioris.

etiam 180 efficit gradus sive duos rectos '): unde sequitur, de aequalibus hisce aequalibus abstractis, reliqua F C K et F K L etiam inter se aequalia futura2), utrumque sc. =o, quod erat demonstrandum. Porro facile etiam demonstratur Q N M aequalem esse FKL, quare hic etiam =e est.
REGULA POSTERIOR.
Quod, ad inveniendnm angulum X Q R siee diametri dimiditin i. e. superioris iridis altitudinem, angulus inventm ON? abstrahendus sit ab arcii F K.
ACTIO ET DEMONSTRATIO.
Terminis algebraïcis angulus XQK igitur = c—ar, cojus demonstratie) sic procedit: angulus Q, N M supra demonstratus est = e, et O N M = x+y, quare Q, N 0 = c—x—y, ideoque XQT etiam = c—x—y 3). Adde angulum refractionis T Q, R sive y, quo pro angulo X QK habebis c—x; quod erat demonstrandum.
D. Sluzius, dum in vivis Ecclesiae cathedralis Leodiensis canonicus, et consiliarius Principis illius urbis secretus. seculi hujus doctissimis alacerrimisque in omnibus scientiis adnumerandus viris, postea demonstravit *) omnes hasce lineas, arcus angulosque etiam mathematice posse inveniri, angulum scil. O N P semper aequalem esse duplici angulo
1) Per 13m prioris.
2) Per 3m ax. prioris.
3) Per 29m prioris.
4) Vide 12m Barrovi de optica lectionem.
dezelve twee hoecken gelijck was, maeckt met F K L oook 180 graden '), ofte twee reghte; zoo volgt dan , als men van deze gelijke dingen gelijcke dingen afneemt, dat') hunne resten F C K en F K L mede zullen gelijk zijn, te weten beyde gelijk c, 't welk stonde te bewijzen. Verders bewijst men zeer lichtelijk mede, dat Q, ISi M even zoo groot is als F K L, waeromme die mede is = c.
TWEEDEN REGEL.
Dat men, om te bekomen den hoeck X Q R of den halven middellijn , dat is de hooglde van den grootsten Regenboog, den gevonden hoeck ONP moet aftreeken van den boogh F K.
WEBKING EN BEWIJS.
In stelkonstige termen is dan den hoek X QR = c—x , en is het bewijs daer van aldus: Den hoek Q, N M is hier boven aengewezen te zijn = c, en O N M = i + y, zo is dan QNü = c — x —y, en by gevolge 5) mede X Q T = c — x —y. Doet hier nu by den hoeck der Refractie T Q R ofy, zo komt voor den hoek X QRc — x; 't welk stondt te bewyzen.
Mijn Heer de Sluze, in zijn leven Canonik van de Cathedrale Kerk tot Luyck, en geheymen Raedt van den Prince dervoorsz. Stadt, zijnde geweest een van de gaeuste en geleerste mannen van deze eeuwe, in alle wetenschappen , heeft uaderhandt aangewezen4), dat men alle deze liniën-, bogen, en hoecken oock meetkonstig kan vinden, te weten, dat den hoeck ONP altijdt is gelijck aan het dobbel v«a
1) Door de 13de van 't Eerste.
2) Door de 3de gem. bek. van 't Eerste.
3) Door de 29ste van 't Eerste.
4) Ziet de 12de losse van Barrow over de Gezigtkonst.



E praecedentibus itaque ciare eernitur arcus K N sive e aequalis esse utrique Iridi , et arcu bocee K N in duas aequales in L diviso partes, K L sive */j c aequalem
Den boog K N dan mede zijnde zo groot als den boogh F K, ofte c, dat is 95 graden 22 minuten, zoo bekomt men volgens de twee voorgaende Regels, voor w of den hoek O N P, dat is den boog KZ=2a + 4- 2ü,4l) graden 57 minuten; Ende voor X Q, R, ofte den boog Z N, dat is c — 2 z , 54 graden, 25 minuten.
Men ziet dan klaerlijck uyt het voorgaende, dat den boogh K N ofte c zoo groot is, als beyde de Regenbogen, en dat, als men dezelve boogh K N in twee gelyke deeleu deelt in L , K L ofte l/a c zoo groot is als twee halve Reduabus dimidiis Iridibus, ideoque K B sive 2 ipsum dimidium esse Iridis inferioris sive anguli O N P; et B L i. e. Va 0 — 2 dimidium superioris Iridis sive anguli X Q. B; unde procedit solutio duarum quaestionam delectabilinm, de quibus initio jam dicebamus, scil. quomodo inveniamus maximam inferiorem Iridem, in amplitudine sua determinatam genhogen, en dat mitsdien K B ofte z net de helft is van den ondersten Regenboog!), of den hoeck O N P; en B L zijnde '/2 c — z net de helft is van de bovenste Regenboog!), ofte den hoeck X Q R; waer uyt dan vloeyt de oplossinge van twee vermaeckelijcke Werkstucken, waervan wy in 't begin iet hebben gesproken, te weten, hoe men den aldergrootsten ondersten Regenboog, die in zyne groote


per umbram desuper procedentem, et minimam superiorem Iridem, in parvitate sua determinatam per umbram inferiorem.
Tamquam refractionis ratio enim in quaestionibus includebatur et per Algebrae sagacitatem et Domini Hudde regulam inveniebatur sinus arcus K B maximus et rursus arcus B L minimus, sive minimus maximusque sinus eorum arcuum ; unde hujus artis studiosus arcus hosce in charta determinans, inquirit quanam altitudine coeli Iris maxima inferior superiorque minima se ostendant.
At quia parvi nostri laboris illum fructum habuimus , ut hujus solutio nobis ab amica manu provenerit, neque tamen ab una parte novitios nimis gravare vellemus, ab altera parte lectorem peritum delectatione privare nolumus, hujus pluriumque aliarum quaestionum, quas adjungere possemus, per tabulas gonometricas earumque Logarithmos ipsos quaerendi inveniendique.
bepaelt is door de schaduwe van boven, en den alderkleynsten bovensten Regenboog, die in zyne kleynte bepaelt is door de schaduwe van onderen , zal kunnen vinden.
Want, als de reden van de refractie in de Werkstucken wert ingesloten, en door de behendigheydt der Stelkonst, en den Regel van de Heer Hudde wert gevonden den groosten sinus van den boogh K B en wederom den kleynsten sinus van den boogh B L, ofte wel den kleynsten en groosten sinus van hunne schilboogen : zo ondersoekt den Oeffenaer van deze konst, door het bepalen van deeze bogen op het papier, op welcke hooghte sich den grootsten ondersten Regenboogh , en de kleynste bovensten Regenboogh aen den Hemel zal vertonen.
Maer dewyle wy voor de kleyne moeyte, die wy hebben genomen, deze vrught hebben genoten, dat de oplossinge hier van ons van goeder handt is toegekomen, ende wy de nieuwelingen aen d'eene zyde niet geerne te veel zouden beswaren, zoo willen wy aen d'andere zyde den ervaren Lezer het vermaek niet benemen, van de ontbindinge van deze en meer andere Vragen, die wy hier zouden kunnen byvoegen, door de Hoeckmaets Tafelen en hare Logarithmen, zelfs te zoeken en te vinden.

COLLECTANEA AD VITAM SPINOZAE
EJUSQUE ET ALIOEUM
EPISTOLAE,
SIVE NONDUM SIVE MINUS INTEGKE
HÜCUSQUE EDITAE.

IN SEQUENTIBUS CONTINENTUR :
EDICTDM QXTO SPINOZA A JÜDAEIS EXCOMMUNICATÜS EST.
VRIEZII AD SPINOZAM EPISTOLA INTEGRIOR, CTJM RESPON80.
SPINOZAE EPISTOLA AD BLYENBEBGHUM ULTIMA BELGICE,
OLDENBURGII EPI8TOLAE DUAE INEDITAE.
SPINOZA AD ANONYMUM (BRESSER?) EPISIOLA INEDITA.
SCHALLEBI AD SPINOZAM EPP. DUAE , INTEGBIOR ET INEDITA.
SPINOZAE AD SCHALLEB.ÜM EPISTOLA INEDITA.
TSCHIKNHAFSII ET CHHIST. HUGENII EPISTOLAE INEDITAE.


／／／／／

以下、虹関連資料










http://www.st-andrews.ac.uk/~ulf/catastrophe.html

http://www.google.co.jp/imgres?q=Descartes+and+the+Radius+of+the+Rainbow&um=1&hl=ja&client=firefox-a&sa=N&rls=org.mozilla:ja-JP-mac:official&biw=1200&bih=729&tbm=isch&tbnid=mX0GalZvFwnfcM:&imgrefurl=http://teachingcompany.12.forumer.com/viewtopic.php%3Ft%3D2293&docid=PS8uywp_6FXwzM&imgurl=http://www.erh.noaa.gov/rnk/Newsletter/Winter%2525202004-05/Rainbow_files/image002.gif&w=531&h=391&ei=8zu9Tq75AZCfmQWi48yaBA&zoom=1&iact=hc&vpx=652&vpy=246&dur=557&hovh=169&hovw=221&tx=123&ty=82&sig=108226020709538637689&page=3&tbnh=169&tbnw=221&start=44&ndsp=20&ved=1t:429,r:4,s:44


http://teachingcompany.12.forumer.com/viewtopic.php?t=2293

http://www.bioweather.net/column/weather/contents/mame064.htm
虹の不思議 　 　虹というと、私は雨上がりの空 を連想してしまいます。また、虹を見るとなんだかうれしくなってきます。皆さんもご存知のように、虹は太陽光線が水滴や雨粒で屈折・反射されてできたもの です。虹が作られる基本的な説明は、デカルトにより1673年に「方法序説および論説集」でおこなわれました。 しかし、デカルトは虹が雨の水滴に入るときに屈折し、水滴の中を進んだ光が水滴と空気の境で反射され、水滴から空気中に出るとき再び屈折してできることは 説明しましたが、色が付くことは説明できませんでした。虹に色が付くことの説明は約30年後に万有引力の法則で有名なニュートンが行っています。ニュート ンは太陽光線がいろいろな色（波長）の光が集まったもので、屈折率が波長によって違うことを示して、虹に色が付くことを説明しました。可視光線の水による 屈折率は波長の短い光ほど大きいので、紫色の光は大きく曲げられ、赤い光は小さく曲げられます。このため、虹は紫色の光が内側で赤が外側となっています。


副虹　薄い紫
　　　薄い赤


　　　赤
主虹　紫




／／／／／／／／／／／

以下、「科学史研究」２３より
表紙はアヴィセンナ　

スピノザ：虹の代数学的計算、機会の計算　　　　　

渡邊義雄（東北大学第二教養学部）訳

　キケロ，トウースクルム論議第１巻９節
　あのギリシャ人の間では幾何学は最高の名著を受けて
いた．それ故，幾何学者より優れたものは何もなかっ
た．しかるに我々はこの技術の目標を測量し計算する効
用に止めてしまった．