谷山予想(谷山 豊,Jacobi多様体と数体)

NAMs出版プロジェクト: モジュラー形式：メモ
http://nam-students.blogspot.jp/2016/03/blog-post_20.html

多様体と数体、楕円関数とモジュラー形式の関係は、楽器と音の関係に似ている。

ベストセラー『フェルマーの最終定理』がなぜ面白いのか解説します

https://youtu.be/rsmL3xr1iuk

14:22

本書に暗い影を落とす逸話。

谷山豊氏は自ら命を絶った…

《谷山の自殺から数週間後、二つめの悲劇が起こった。彼の婚約者だった鈴木美佐子が、あとを追って命を絶ったのである。彼女が残したという遺書にはこう記してあった。「私たちは何があっても決して離れないと約束しました。彼が逝ってしまったのだから、私もいっしょに逝かねばなりません」》

証明が成立したあとも謎は残る。

NAMs出版プロジェクト: モジュラー形式：メモ
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NAMs出版プロジェクト: ハドロンの分類図、SU(３)の図
http://nam-students.blogspot.jp/2015/12/su.html

 A 1940 Letter of André Weil on Analogy in Mathematics

http://nam-students.blogspot.jp/2017/06/a-1940-letter-of-andre-weil-on-analogy.html

谷山予想(谷山 豊,Jacobi多様体と数体)1955 [作業中]

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https://www.blogger.com/blog/post/edit/28938242/4538587576170328227

フェルマーの最終定理と岩澤理論
https://freeassociations2020.blogspot.com/2020/05/blog-post.html

谷山豊 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%B7%E5%B1%B1%E8%B1%8A

谷山 豊（たにやま とよ（ゆたか）^{[注釈 1]} 、1927年〈昭和2年〉11月12日 - 1958年〈昭和33年〉11月17日）は、日本の数学者。理学博士。

来歴[編集]

埼玉県騎西町（現・加須市）出身。開業医の家庭に、八人兄弟の六番目として生まれる。

体が弱く、旧制浦和高等学校を2年休学して1950年に卒業。この頃に高木貞治の『近世数学史談』を読んで、数学者を志すようになる。

その後、東京大学理学部数学科、数学科助手を経て、1958年に東京大学助教授に就任。同年5月、理学博士（東京大学。論文『Jacobian varieties and number fields』^[2] ）。10月には婚約が決まり、プリンストン高等研究所からの招聘を受けるが、その矢先の11月17日に豊島区池袋の自宅アパートでガス自殺を遂げる^[3]。享年32（満31歳没）。兄と久賀道郎に宛てた遺書は大学ノート3枚に及び^[3]、その冒頭には、

昨日まで、自殺しようという明確な意思があったわけではない。 ただ、最近僕がかなり疲れて居、 また神経もかなり参っていることに気付いていた人は少なくないと思う。 自殺の原因について、明確なことは自分でもよくわからないが、 何かある特定の事件乃至事柄の結果ではない。 ただ気分的に云えることは、将来に対する自信を失ったということ。 僕の自殺が、或る程度の迷惑あるいは打撃となるような人も居るかもしれない。 このことが、その将来に暗いかげを落とすことにならないようにと、心から願うほかない。 いずれにせよ、これが一種の背信行為であることは否定できないが、

今までわがままを通してきたついでに、最後のわがままとして許してほしい。^[4]

と綴られていた^{[注釈 2]}。没後、従七位に叙せられている^[5]。墓は善応寺（加須市）。戒名は「理顕明豊居士」^[6]。

その後、婚約者・鈴木美佐子も、遺書に「私たちは何があっても決して離れないと約束しました。彼が逝ってしまったのだから、私もいっしょに逝かねばなりません」^[7]と書き残して12月2日にガス自殺を遂げている^{[注釈 3]}。翌年1月25日、谷山・鈴木両家による「葬婚式」が行われた。善応寺にある谷山の墓には彼女の遺骨も埋葬され、墓石には二人の戒名が並んで刻まれている^[9]。

業績[編集]

業績として、アーベル多様体の高次元化、虚数乗法論。谷山–志村予想（上に定義された全ての楕円曲線はモジュラーである）がある。前者は谷山の死後志村五郎がその研究を発展させ、後者は志村が定式化した。

谷山による問題（谷山・志村予想の原型）[編集]

谷山予想は、1955年9月に栃木県日光市で開かれた代数的整数論の国際会議で、日本の若手の出席者が中心となって未解決の興味ある問題を集め、それを英訳して配布したものの中に問題という形で、今日「谷山予想」と呼ばれているものの原型が含まれていた、といわれている^[10]。この時配布されたものは印刷されずに終わった^[10]が、後に、英文によるものは『谷山豊全集』pp.147-148に、また日本語訳のものは『数学』第7巻第4号(岩波書店)に掲載された^[11]。以下の2つの問題が、谷山予想の原型である。

問題12　を代数体上で定義された楕円曲線とし上の L函数をとかく：

は、上のzeta函数である。もしHasseの予想がに対して正しいとすれば、よりMellin逆変換で得られるFourier級数は特別な形の-2次元のautomorphic formでなければならない。（cf.Hecke） もしそうであれば、この形式はそのautomorphic functionの体の楕円微分となることは非常に確からしい。
　さて、に対するHasseの予想の証明は上のような考察を逆にたどって、が得られるような適当なautomorphic formを見出すことによって可能であろうか。 （谷山豊）^[11]

問題13 問題12に関連して、次のようなことが考えられる。Stufe の楕円モジュラー関数体を特徴づけること。 特に、この関数体のJacobi多様体をisogenousの意味で単純成分に分解すること。また素数、かつ ならば、が虚数乗法を持つ楕円曲線を含むことはよく知られているが、

一般のについてはどうであろうか。(谷山豊)^[12]

人物[編集]

• 読書家であった。愛読書は、アントン・チェーホフの作品^[8][13]や『死靈』（埴谷雄高）^[13]。婚約者との出会いも、シェイクスピアの作品を原典で読む読書サークルだった^[13]。

• 盟友だった志村五郎は、谷山を次のように評している。

谷山はたくさんの間違いを犯す、それもたいていは正しい方向に間違うという特別な才能に恵まれていた。私はそれがうらやましく、真似してみようとしたが無駄だった。そうしてわかったのは、良い間違いを犯すのは非常に難しいということだった。^[14]

著書[編集]

• 谷山豊全集刊行会 編 『谷山豊全集』谷山豊全集刊行会、1962年。 NCID BA50603318。－家族や友人の自費出版で刊行された。
  • 杉浦光夫ほか 編 『谷山豊全集』（増補版）日本評論社、1994年10月。ISBN 4-535-78209-1。 NCID BN11487616。－旧版に書簡や論文を加え、新たに著作目録・略伝を付記した。
  • 杉浦光夫ほか 編 『谷山豊全集』（新版）日本評論社、2018年12月。ISBN 978-4-535-78886-2。 NCID BB27371864。－旧版未収録の書簡や写真が新たに加わった。

共著[編集]

• 志村五郎 『近代的整数論』 第2、共立出版〈現代数学講座〉、1956-1957。

  脚注[編集]

  [脚注の使い方]

  注釈[編集]

  1. ^ 名前は本来「とよ」と読むのが正しいが、「ゆたか」と読む人が多かったので、いつからか自ら「ゆたか」と名乗るようになったという^[1]。そのため世界的には「ユタカ・タニヤマ（Yutaka Taniyama）」の名前で知られている。
  2. ^ 遺書は前記引用部分に続いて、図書館や知人から借りた本や研究室の鍵、研究資料や私物などの処分、金銭関係（預金通帳の置き場所、未だ受け取っていない仕事の報酬や未払いのガス代）、大学での講義の進行状況について記され、末尾は「いずれにせよ、駒場の方々にかなり御迷惑をお掛けすることになるのをお詫びしたい。」と結ばれている^[4]。
  3. ^ 谷山の突然の死にショックを受け、遺族に頼み込んで彼の背広を譲り受けている。彼女の遺体が発見された時、傍には譲り受けた谷山の背広があったという^[8]。

  出典[編集]

  1. ^ 杉浦光雄「谷山豊の生涯」、『谷山豊全集』新版 p.359
  2. ^ “CiNii博士論文 - Jacobian varieties and number fields”.  国立情報学研究所. 2017年7月15日閲覧。
  3. ^ ^a b 「谷山東大助教授が自殺　数学界の権威　“自信失った”と遺書」、読売新聞1958年11月17日付夕刊（東京本社版）、5頁
  4. ^ ^a b 「遺書」、『谷山豊全集』新版 p.324
  5. ^ 『官報』第9596号 本紙「叙任及び辞令」（1958年12月15日）
  6. ^ 「年譜」、『谷山豊全集』新版 p.379
  7. ^ S・シン 2006, p. 295.
  8. ^ ^a b 西條 2016, p. 185.
  9. ^ 西條 2016, p. 141.
  10. ^ ^a b 足立 2006, pp. 311 f
  11. ^ ^a b 足立 2006, p. 312
  12. ^ 足立 2006, pp. 312 f
  13. ^ ^a b c 「谷山豊再び注目　「フェルマーの最終定理」証明に道筋」、朝日新聞1993年11月16日付夕刊（東京本社版）、3頁
  14. ^ S・シン 2006, p. 276-277.

  参考文献[編集]

  • サイモン・シン 『フェルマーの最終定理』青木薫訳、新潮社〈新潮文庫〉、2006年6月。ISBN 978-4-10-215971-2。
  • 足立恒雄 『フェルマーの大定理　整数論の源流』筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年9月。ISBN 4-480-09012-6。
  • 西條敏美 『知っていますか?日本数学者ゆかりの地　日本数学の源流を訪ねて』恒星社厚生閣、2016年6月。ISBN 978-4-76-991585-0。

    関連項目[編集]

    • アンドレ・ヴェイユ
    • アンドリュー・ワイルズ
    • リチャード・テイラー
    • フェルマーの最終定理

    外部リンク[編集]

    • 大辞林 第三版『谷山豊』 - コトバンク
    • 埼玉県庁（埼玉ゆかりの偉人） at Archive.is (archived 2013年7月2日)
    • 難問に挑んだ世界的数学者　谷山 豊(たにやま とよ/ゆたか) ｜ 加須インターネット博物館（加須市教育委員会生涯学習部生涯学習課）
    • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Yutaka Taniyama”, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

サイモン・シン

谷山の友人たちを不思議がらせたのは、彼が鈴木美佐子という女性と恋に落ち、年内に挙式の予定だったことである。ロンドン数学協会の会報に載せた追悼文のなかで、志村は谷山の婚約のことと、自殺に至るまでの数週間のことを次のように書いている。 　　婚約の報せを聞いたとき、私はいささか驚いた。というのは、彼女は谷山の好みのタイプではないというおぼろげな印象があったからである。しかし私は懸念を抱いたわけではない。のちに聞いたところでは、二人は新居として、彼がそれまで住んでいたのよりは良いアパートを借りる契約をすませ、台所用品などもいっしょに買いととのえて、着々と結婚の準備を進めていたそうである。二人にも、二人の友人たちにも、万事順調に進んでいるように見えた。ところがあのおそろしい破局が訪れたのだ。 　一九五八年十一月十七日、月曜の朝、机の上に書き置きを残して谷山が死んでいるのをアパートの管理人が発見した。書き置きは、彼が研究するときに使っていたようなノートに三ページにわたって綴られていた。その書き出しは次のようなものだった。 　　昨日まで、自殺しようという明確な意志があったわけではない。ただ、最近僕がかなり疲れて居、また神経もかなり参っていることに気付いていた人は少なくないと思う。自殺の原因について、明確なことは自分でも良くわからないが、何かある特定の事件乃至事柄の結果ではない。ただ気分的に云えることは、将来に対する自信を失ったということ。僕の自殺が、或る程度の迷惑あるいは打撃となるような人も居るかも知れない。このことが、その将来に暗いかげを落すことにならないようにと、心から願うほかない。いずれにせよ、これが一種の背信行為であることは否定できないが、今までわがままを通して来たついでに、最後のわがままとして許してほしい。 　　彼の書き置きは整然と続いていた。所持品の処分のしかたとか、どの本やレコードは図書館から借りたものか、あるいは友人から借りたものかなどといろいろなことが書かれてあった。さらに彼はこうも述べていた。「電蓄、レコード、レコード・キャビネットは、（もしそれが彼女にとって迷惑でなければ）Ｍ．Ｓ．に進呈したい」そして、彼が大学で教えていた微積分学と線形代数学の講義の進みぐあいを記し、迷惑をかけることを同僚に詫びて、書き置きは終わっていた。 　こうして、当時もっとも輝いていた先駆的な頭脳は、自らの意志でその命を絶った。彼はその五日前に三十一歳になったばかりだった。

Jacobian Varieties and Number Fields

谷山 豊,Jacobi多様体と数体 1955(1956)

https://i.imgur.com/935K7rs.png

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https://i.imgur.com/HDjFBtJ.png

モズル＝モジュール

註

　1)二三の事情のため,此の題名は内容にそぐわないものになった。妥当な題名は,'Abel多様体と数体'であろう。

谷山 豊,Jacobi多様体と数体1)

§1.緒言.

　虚2次体上の類体はすべて,虚数乗法を持つ楕円函数のモズルと,周期の等分値とにより生成され得るといぅのが,古典的な虚数乗法論の主要な結果である。所で,この理論の,より高次の体への一般化を試みたものとしては,これまで,Hecke[2],[3]の理論があるにすぎない.ここでは,此等の理論を特別の場合として含む,一般的な虚数乗法論を作ることを目標とする.

　一方,代数体上定義された代数曲線のζ―函数に対し,Hasseは, それが全複素平面で右理型で, 普通の型の函数等式を満すであろうと予想した.この予想は, ᓨ+みυπ+σ=0とぃう形の方程式で定義される曲線に対してはWeil[S]により,虚数乗法を持つ楕円曲線に対してはDeuring[1]により,それぞれ肯定的に解決された。ここでは,上の理論の応用として虚数乗法を十分多く持つ曲線及びAbel多様体に対し,此の予想を証明する.

§2.準備2).

　Aをg次元Abel多様体,2(A)をAのendomorphismの環,γO(A)を,以(A)の係数環の,有理数体ヘの拡大により得られるalgebraとする.以(A)の元は,スの1次第1種微分の空間の1次変換を引き起すから,此の空間の基底ωl,…。,ωクを用いて,2(4)を逆表現することが出来る。S(″),″(以(4)を,此の逆表現の行夕」とする。今以上すべてのものが,有限次代数体力の_Lで定義されているとする.Tをたの素イデアルとし,此等のものをmod.Ｂでreduceして得られるものを,対応する記号の上に～をつ|すて表わすことにする。補助定理1.ほとんどすべての(つまり有限個を除く)躊に対し,AはAbel多様体で,ル→′ιは,ア(■)から財(4)の中への同型写像であり,叉あ1,…,筋はスの1次第1種微分の空間の基底で,それによる'(4)の逆表現をS(μ)と書けば,S(μ)=S(″).ナヒの補助定理の中で除かれた素因子Tを,スの例外素因子という。以後mOd躊で考えることは,例外でない雫に限ることにし, 一々断らない.`ほとんどすべての'という形容詞も省略することがある.仮定1.以後,以(4)が,2g次の代数体κのOrderと同型な環Rを含むと仮定する。κを含む最小の正規体をκと書く.Rのすべての元に対し,S(μ)は,かκにおいて,同時に対角形に変換される。そのとき,

S(π)＝（）

と書ける。σtはκから複素数体の中への同型写像で

特にσlは恒等写像とする。以後ルとルiを同一視する。

　補助定理2.σ。を,κの複素共軌同型とすれば,σl,・・・,脅,輌σl,…,σoのは,κから複素数体の中への,2g個の同型写像すべてである.それ故とくに,スが単純ならば,κは,総実なるg次の体るの,総虚な2次の拡大である。

　系. 力がκを含むとき,ののルヘの接続の一つを再びσじで表すことにする.そのとき力の数βに対して,Nんκ(βσ『1・…βσ」・)のすべての共軌は,その絶対rlrlが(Nβ)1‐2でぁる。ここでNは絶対ノルムを表わす.

§3.Hasse のζ-函数.

　先ず,RがKのprincipal orderであるとする。Rのイデアルαに対し,αα=0,vαξαを満すИの点αを,スのα分点という.αが,αより本当に大きいどんなイデアルうに対しても6分点でないとき,本来のα分点という.。分点はN(α)個,本来のα分点は9(α)個ある。ただし,←)はαのEuler函数.それ故,αを本来のα分点とするとき,σを,ル(α)ルの同型写像とすれば,ασ=ルσαなる″σcRがある。μσを含むmOd.αでの剰余類を〈σ〉と書けば,〈σ)はσによリー意に定まり,。と素な剰余類である.力はすべてのルの定義体だから, ασr=(μσα)7=砒σμ7α・それ故,σ→〈のは,力(α)/力のGa10is群から,mOd.αの素剰余類群の中ヘの同型写像を与える.特に,ル(のルはAbel拡大である.さて,“をスの力上のgeneric Point(以下G.P.と略す)とする.Tをルの素因子とする。そのとき,あ→あN"セまЙのendomorphismであるが, 仮定1より,それは,Rの中に逆像π澪を有する。(″N"は,この座標のN雫乗を座標を持つ点を表わす.)又,例外素因子と素なたのイデアルお=雫1・・椰″に対しπぉ≡π澪.…寄rと定義する。仮定2.力⊃κ(§3のみ).補助定理3.3)(πぉ)=Nκ K(8σ「1…6σア・).今,上に考えたイデアル●が,Kの判別式の21倍と素であるとする。適当な自然数Fを取れば, ル(α)は, 々上の,Flを法とするStrahl類体に含まれる。ここでFがαで害」れるとしてよい。σ(T)をた(α)ルでの,TのFropenius自己同型とすれば,ασ(零)=夕N鰺=″"夕だから,π摯はくσ(零)〉に属する。 故に, σ(8)をル(α)ルでの,おのArtin記号とすれば,πsc〈グ(8)〉.特に,ルの数βに対し,β≡l mOd.Fならば,π(め=l mOdα.それ故補助定理2の系と補助定理3とより,αについての仮定を使えヤボ,此のようなβに対しては,π(|)=Nκ′K(βσ『・・…βσテ・).それ故,χ(8)=πぉ/lπ財Iは力の量指標である。

　さて,スの,Hasseのζ「函数は,例外でないTに対する4の合同ζ=函数の無限積として定義される。所が後者は,Йの,7上ノ次の点の個数2弯から計算さ′れる4)。所がⅣ′は,スの,をも-1分点の個数, 故に219乃=N(π毛-1).以上をまとめて,定理1.仮定1,2の下に,スの力上のζ―函数ζИ(S)は,次のように表わせる。ζИ(S)=0(S)二`ュ′(S―誉,χρら・・χQμ)~Dμここでχは上に定義された量指標,ρ`はκの2σ個の同型写像で,積は,一定のルに対しては,ρtの,″項の組合せすべてにわたる.Lは力のZ―函数,0(S)は,簡単な形の右理函数で,例外素因子に由来する5).系.Cを,右限次代数体″上定義された代数曲線で,そのJacobi多様体が,上の定理の条件を満すものとする。そのときCのζ―函数に対しても,Hasseの予想が成立つ。即ちそれは,量指標のニー函数により表せる。

§4.不分岐拡大体の構成.

　仮定3.以後Rはκのprincipal orderとする。πのGalois群をGとし,κに対応するその部分群iを″とする.二Zσ`σ=湛鳳σじを満すσ全体の作′る,Gの部分群を,G*とする.K*を,G*に対応する, πの部分体とする。そのとき次の形の分解が成立|:つ:唐ル`=進r,G*・今,rのイデアル`に対■|メ(b)=Ь7『l..b7『1とぉけば'(6)はκのイデアルにな|る.そのときたの素イデアルTで, NたK*三T=ゃ′:なるものに対し,(π霧)=Γ(p)′.仮定4 κ*の,ほとんどすべての1次素イデアル:|に対し,Γ(p)は,Kの,どんな真部分体のイデアルにもならない。

補助定理4.以上の仮定が成立てば,4は単純である。又K*の1次の,の, んにおける素因子恥に対し,λも単純である.したがって2(4),γ(4)は共にRに同型である.

補助定理5.αをんの上のG.P。とする。Rのイデアルαに対し,4から,或るAbel多様体Bへの準同型′αで,    ん(スα“)=∪α(.ん(αの を満すものがある.此のスα,Bは同型を除き一意に定り,ん上で定義され得る。そして,スαA筈′6Aは,Kでα～6なること,即ち,α=6(β)なるKの数βがあることと同等である。ゃを,K*の1次素イデアル,Tをπにおけるその素因子とすれば, 明かに π(夕)=π(々む)グ).ただし夕=坤。ここでB〓λαスとして,2(ス)と班C)との同型対応を,λα lι=ル*λαなる″c'(4)とルホC)(3)とを|対応させることにより固定する.そのとき,以(4)の‐イJ/Lかゎ0こν又疋,0・σVよ, “ヽ4ノ″｀つ“ヽユノ ｀ァ:■11.型″:ル→″Jを引き起す.故に,′→ル*は,以いつ:の自己同型である。所が,補助定理6.仮定4の下に,班(■)の自己同型Σ`対し,表現S(″」)とS(μ)とが同じ特性根を持てば、

Σは実|ま恒等置換である.

　系 S(μつがS(μ)と同じ特性根を持てば,ルσ=″*

　ここで,解析的理論を援用しなければならないEndo―mprphism環がRと同型で,同一の表現S(μ)を許容するような,互いに同型でないAbel多様体をス1,一,Иルとすれば,Riemann行列の理論より,Иtの間には,上への準同型が存在し,さらに,4`=λαμと取れる。今此等の中で,単囚子がすべて1であるRiemann形式を持つものを41,・・・,Иん とすれば,これらも,その中の一つ4により,4t=λαι∠と書けるが,そのときαιはκのイデアルで,Kの,指数2の実体ffo(補助定理2を見よ)へのノルムαじα,が,るの狭い意味での主類に属するものの作る,Kのイデアル類すべてにわたる。此のような類の作る群を0と書けば,Cの位類は, それ故λ′である.

　簡単のため力/κ卜を正規とし, そのGalois群を0とする。σ`σに対し,以(Иσ)はRと同型で,又Иσもすべての単因子1なるRiemann形式を持つから,Иσ笙λ。(σ)4と書け,此れにより,α(σ)を含むイデアル類[σ]が一意に定まる。勿論[σ]〔C.又τCOに対し,∠σ72λ:(σ)λ。(7)ス=λ。(σ)軌α(7)ス・所が,7は, K*の_ヒの自己同型だからS(メι7)はs(″)と同じ固有値を持つ.故に補助定理6の系より″7=μ*,従つてα(σ)7=α(σ)'(,結局4σ7笙λ。(7)●(σ′.故にσ→[σ]は,0からCの中への準同型写像である.そのkernelをつとし,0に対応する,たの部分体をκとすれば,K/K*のGalois群ヤまCの部分群と同型,故にAbel群である.″をスの力上のG.P.とする.pをκ卜の1次素イデアルとし,σ(p)を,つの,κ″←でのFrobenius自己同型とすれば,pの,λでの素因子TでreductiOnして,ル(″く'))=力(■2)=々(λεも)χ),即ちAくや)主λ′、)ス2(4)笙R笙'(4)(補助定理4)より,これから,「(p)([σ(p)].特にσ(や)F=1はF(p)ノ～1と同等.それ故,rlのイデナル3で,「(b)がKで単項イデア″になるものすべての作る群をIとすれば,、

　定理2.κは,ィデアル群Iに対する,で1の類体である。

　特に,Cの各類が,「(b)なる形のイデアルで代表されるときは,[κi r]=″′.此れは,`類方程式'の既約性を意味する。

　§5.分点の体における分解法則

　k*のイデアル数の系を一つ選び6), ィデァルbを表すイデアル数を0と書く Γ(0)=倉↑1・・…・07『・はbにより1の幕根因子を除き定まり,従つて,本質的には,イデアル数の系の選び方によらない.絶対値を比べれば,″澪=eT(あ)メがわかる。ただし躊は々の素イデアル,Nんκx躊=ゃ′,p=(あ),又ε′は1の幕根である.

　κに含まれる1の寡根の集合をEと書き, スの点αに対し,Eα=Σ acF(εα)なる,0次元のcycleを定義する。そして力(α)0を,みを含み,その上でEαが有理的になる最小の体とする.

　αをκのイデアル,クを,4の,本来のα分点とする.rの素イデアルpがヵでノ次に分解するとする.｀一方/0を合同式ε′′Γ(あ)/O=e mod.αが成立つ最小の自然数とする。ここにィ′は1の纂根,ε(E.今Fを,/とんとの最小公倍数とすれば,π[う′=ε′′′/r・(£)・=ε2(α),CPC F,だから,Eαはπぉ で不変,故にEαは万上高々F//次,故にえ業上高々F次である.LうのK*_Lの次教は,Tの力(α)。ルでの分解の次数に等しいそれを島とすれば,それ故Fo≦F.一方定義より,発ぷイタ=δZなる。CEがあるから,πぷ// c(α).Л口ちε′Γ(含)島≡ε(α)又FOが/の倍数であることは明かだからF≦FO,故にF=FO.故に,ε′Γ(β)=ε ttOd α,εとEを満すイデアル(β)の作る群をムと書けば,

　定理3 カ(α)。は,々と,イデアル群ムに対する,κネの類体との合成体である.

　系.4がκ上で定義されていれば,κ(α)oは,■に対する,pの類体である.

註

　1)二三の事情のため,此の題名は内容にそぐわないものになった。妥当な題名は,'Abel多様体と数体'であろう。

　2)以下に現われる概念の定義,主要性質についてはWeil[6],Shimura[5],Hecke[4]その他を見られたい.

　3)補助定理2は此の補助定理を使つて証明される.従つて此れを先に書いた方が良いかもしれない。

　4)Weil[7].

　5)Rがprincipal orderでないときは,principalorderのときに帰着される.

　6)定義はHecke[4].       

 ‐文   献

[1l M Deuring, Die Zetafunktionen einer algebraischen Kurven vom Geschiecht Eins, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen,(1953), 85-94

[2] R. Hecke, Hohere Modulfunktionen und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie, Math. Ann., 7161912. j, 1-37.

[3] E. Hecke, Uber die Konstruktion relativ ABEL. scher Zahkiirper durch Modulfunktionen von zwei Variablen, Math. Ann., 74 (1913), 465-510.

[4] E. Hecke, Eine neue Art voir Tetafunktionen und ihre Beziehung zur Verteilung der Primzahlen, II, Math. Z.,6 (1920).11-51

[5]G. Shimura, Reduction of algebraic varieties with respect to a discrete valuation of the basic field, Amer. J. Math. 77 (1955), 134- 176. 

[6]  A. Weil, Varietes abeliennes et courbes algebriques, Paris, 1948.

[7] A. Weil, Number of solutions of equations in finite fields, Enil. Amer. Math. Soc., 55 (1919), 497-508.

[8] A. Weil, Jacobi sums as 'Grossencharaktere', Trans. Amer. Math. Soc., 73 (1952), 487-495.

(本研究は文部省研究助成金(昭29年)によるものである)

文献

[1] M.Deuring, Die Zetafunktionen einer algebraischen.

Kurven vom Geschlecht Eins, Nachr. Akad. Wiss. Got-

tingen, (1953), 85-94.

[2] R. Hecke, Hohere Modulfunktionen und ihre Anwen-

dung auf die Zahlentheorie, Math. Ann., 7161912. j, 1-37.

[3] E. Hecke, Uber die Konstruktion relativ ABEL. scher

Zahkiirper durch Modulfunktionen von zwei Variablen,

Math. Ann., 74 (1913), 465-510.

[4] E. Hecke, Eine neue Art voir Tetafunktionen und ihre

Beziehung zur Verteilung der Primzahlen, II, Math. Z.,

  6 (1920).11-51

[5] G. Shimura, Reduction of algebraic varieties wih re-

spect to a discrete valuation of the basic field, Amer. J.

Math., 77 (1955) 134-176.

[6]  A. Weil, Varietes abeliennes et courbes algebriques,

Paris, 1948.

[7] A. Weil, Number of solutions of equations in finite

fields, Enil. Amer. Math. Soc., 55 (1919), 497-508.

[8] A. Weil, Jacobi sums as 'Grossencharaktere', Trans.

Amer. Math. Soc., 73 (1952), 487-495.

(本研究は文部省研究助成金(昭29年)によるもので

ある)

A.Weil,虚数乗法の拡張力oをt。lally real■eld,[力。:@]=πとする.Oは

イデアル (環論) - Wikipedia

https://ja.wikipedia.org/wiki/イデアル_(環論)

抽象代数学の分野である環論におけるイデアル（英: ideal, 独: Ideal）は環の特別な部分集合である。整数全体の成す環における、偶数全体の成す集合や 3 の倍数全体の成す集合などの持つ性質を一般化したもので、その部分集合に属する任意の元の和と差に関して閉じていて、なおかつ環の任意の元を掛けることについても閉じているものをイデアルという。

整数の場合であれば、イデアルと非負整数とは一対一に対応する。即ち整数環 Z の任意のイデアルは、それぞれただ一つの整数の倍数すべてからなる主イデアルになる。しかしそれ以外の一般の環においてはイデアルと環の元とは全く異なるものを指しうるもので、整数のある種の性質を一般の環に対して一般化する際に、環の元を考えるよりもそのイデアルを考えるほうが自然であるということがある。例えば、環の素イデアルは素数の環における対応物であり、中国の剰余定理もイデアルに対するものに一般化することができる。素因数分解の一意性もデデキント環のイデアルに対応するものが存在し、数論において重要な役割を持つ。

イデアルは整数の算術から定義される合同算術の方法と同様の剰余環（商環）の構成にも用いられる、この点において群論で剰余群（商群）の構成に用いられる正規部分群と同様のものと理解することができる。

順序集合に対する順序イデアル（英語版）の概念は環論におけるこのイデアルの概念に由来する。またイデアルの概念を一般化して分数イデアルの概念を考えることもでき、それとの区別のためここで扱う通常のイデアルは整イデアルと呼ばれることもある。

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https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/自己準同型

数学における自己準同型（じこじゅんどうけい、英: endomorphism）とは、ある数学的対象からそれ自身への射（あるいは準同型）のことを言う。例えば、あるベクトル空間 V の自己準同型は、線型写像 ƒ: V → Vであり、ある群 G の自己準同型は、群準同型 ƒ: G → G である。一般に、任意の圏に対して自己準同型を議論することが可能である。集合の圏において、自己準同型はある集合 S からそれ自身への函数である。

任意の圏において、X の任意の二つの自己準同型写像の合成は再び X の自己準同型である。X のすべての自己準同型の集合はモノイドを構成し、それは End(X) と表記される（あるいは、圏 C を強調するために End_C(X) と表記される）。

目次

自己同型編集

詳細は「自己同型」を参照

X の可逆な自己準同型は、自己同型と呼ばれる。すべての自己同型の集合は、群構造を備える End(X) の部分集合であり、X の自己同型群と呼ばれ、Aut(X) と表記される。次の図で、矢印は包含関係を表す：

自己同型		同型
自己準同型		準同型

自己準同型環編集

詳細は「自己準同型環」を参照

あるアーベル群 A の自己準同型写像は、次のルールに従って足し合わされる：(ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a)。この加法の下で、アーベル群の自己準同型写像は環（自己準同型環）を構成する。例えば、Zⁿ の自己準同型写像の集合は、成分が整数であるような全ての n × n 行列からなる環である。ベクトル空間あるいは環上の加群の自己準同型写像もまた、前加法圏内の任意の対象の自己準同型写像と同様に、環を構成する。非アーベル群の自己準同型写像は、近環（英語版）として知られる代数的構造を生成する。乗法単位元をもつすべての環は、その正則加群の自己準同型環であり、したがってあるアーベル群の自己準同型環の部分環である^[1]。しかし、どんなアーベル群の自己準同型環でもないような環も存在する。

作用素論編集

特にベクトル空間のような任意の具象圏（英語版）において、自己準同型はある集合からそれ自身への写像であり、その集合上の単項演算子として解釈されることもある。それは元に対して作用し、元の軌道の概念の定義を許すものである。

手近な圏に対して定義される追加構造（トポロジー、距離など）に依存して、そのような作用素は連続性や有界性などの性質を持つこともある。その点に関する詳細は作用素論に関係する記事を参照されたい。

自己函数編集

自己函数（endofunction）とは、その定義域が余域と等しい函数のことを言う。準同型な自己函数は、自己準同型である。

S を任意の集合とする。S 上の自己函数の中に、S と、各  に関連する与えられた定数  の置換が存在する。S のすべての置換は、その定義域と等しい余域を持ち、それは可逆な双射である。S が 1 より多い元を持つなら、S 上の定数函数は、その定義域の真部分集合であるような余域を持ち、双射ではない（また可逆でもない）。各自然数 n に対する n/2 の床函数に対応する函数は、余域と定義が等しいが、可逆ではない。

有限の自己函数は、有向擬森（英語版）と等しい。大きさ n の集合に対し、その集合上には nⁿ個の自己函数が存在する。

特定の双射自己函数は、対合、すなわちその逆と一致する函数である。

関連項目編集

• 随伴自己準同型
• フロベニウス自己準同型

注釈編集

1. ^ Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

参考文献編集

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

外部リンク編集

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Endomorphism”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Endomorphism - PlanetMath.org（英語）

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英語版は以下、

谷山豊全集  

版情報　　 増補版  

著者名等　 谷山豊／著　　

著者名等　 杉浦光夫／〔ほか〕編　　

 出版者　　 日本評論社  

出版年　　 １９９４．１０  

大きさ等　 ２７ｃｍ　３６９ｐ  

注記　　　 谷山豊著作目録・年譜：ｐ３５９～３６５  

ＮＤＣ分類 410.4  

件名　　　 数学　

要旨　　　

この全集は、不幸にも若くして亡くなった谷山豊君の業績とその人柄を記念するため家族 及び友人其他生前故人と親しかった人々を中心として編まれたものである。 

 目次　　　

第１部　ＰＡＲＴ１（Ｊａｃｏｂｉａｎ　Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ　ａｎｄ　Ｎｕｍｂｅｒ　 Ｆｉｅｌｄｓ；Ｊａｃｏｂｉａｎ　Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ　ａｎｄ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｆｉｅ ｌｄｓ　ほか）

第２部　ＰＡＲＴ２（ＡＢＥＬ函数体ノｎ‐分割ニツイテ；日本数学会 講演アブストラクト　ほか）

第３部　ＰＡＲＴ３（書簡；遺書）

第４部　ＰＡＲＴ４ （新人紹介Ｐｅｔｅｒ　Ｒｏｑｕｅｔｔｅ；Ａ．Ｗｅｉｌ「ゼータ函数の育成について」 　ほか）

第５部　ＰＡＲＴ５（谷山豊の生涯；谷山豊著作目録；年譜）

  ＩＳＢＮ等 4-535-78209-1  書誌番号　 3-0194071407

サイモン・シン

　三十六の問題のうち、谷山が提示したのは四つだった。そしてそのうちの二つに、保型形式と楕円方程式との興味深い関係が示唆されていたのである。保型形式とは、モジュラー形式をも含むあるタイプの関数のことで、実際、保型形式はすべてＭ系列をもつと言うことができる。谷山の疑問は、どの楕円方程式も、なんらかの形で保型形式と関係づけられるのではないかということだった。これを谷山は次のように表現した。「ある楕円方程式のＥ系列は、おそらくどれかの保型形式のＭ系列になっているのではないか」谷山の問題は、あいまいで厳密とはいえない表現をとっていたが、そのアイディアは美しかった。というのも、とくに理由はなさそうなのに、すべての保型形式はどれかの楕円方程式と関係づけられるというのだから。 　一見すると関係のなさそうなテーマ同士が結びつくことは、どんな学問分野においてもそうであるように、数学においても建設的な意義をもっている。というのも、そんな結びつきが存在することは、両方のテーマをいっそう豊かにする基本的真理の存在をほのめかすからである。たとえば、かつて科学者たちは、電気と磁気をまったく関係のない別々の現象として調べていた。ところが一九世紀になって、電気と磁気は密接に関係していることが明らかになったのだ。それによって電気と磁気のことがより深く理解できるようになった。電流は磁場を生み出し、磁石はワイアのそばを通過するときに電気を生み出す。そこから発電機や電気モーターが発明され、ついには光は電磁場の調和振動だという発見につながったのである。 　谷山は、ドイリングやアイヒラーら、他の数学者たちの研究を調べることによって、二、三の保型形式のＭ系列が、それぞれ楕円方程式のＥ系列にぴたりと対応していることに気がついた。そして谷山はしだいに、すべての保型形式はどれかの楕円方程式とペアにできるのではないかと考えるようになった。もしかすると、すべての保型形式はどれかの楕円方程式と同じＤＮＡをもつのではないだろうか？　保型形式はどれもみな、仮面をかぶった楕円方程式ではないのか？　シンポジウムで彼が提示した疑問は、この仮説に関連したものだった。 　すべての楕円方程式がどれかの保型形式に関連するという考えはあまりにも突飛だったので、谷山の疑問をざっと眺めた人たちは、奇妙なアイディアだと思っただけだった。そんなものは単なる偶然の一致にすぎないというのである。懐疑的な人たちの意見では、谷山はこの関係を一般的、普遍的なものだと主張しているけれども、そう考える根拠はとくにない、ということになる。

　谷山の唯一の援軍は志村だった。志村は、友人のアイディアの力強さと深さを信じていた。シンポジウムが終わると、志村は谷山の仮説を発展させる仕事に取りかかった。誰も無視できなくなるまで、その仮説に肉付けしようというのである。そうして仮説を磨き上げるうちに、志村は、楕円方程式はどれもみなモジュラー形式と関係づけられるのではないかと考えはじめた。必要なのはモジュラー形式であって、保型形式という広がった世界ではないということだ。別の言い方をすれば、志村は、楕円の世界とモジュラーの世界とが直接的につながっているのではないかと提案したのである。しかし一九五七年、志村はプリンストン高等研究所に招かれ、そのためにこの研究は一時中断されてしまう。志村は、米国で二年間の客員教授を務め終えたら、ふたたびこの問題に戻るつもりだった。しかし一九五八年十一月十七日、予想もしない出来事が起こった。谷山豊が自ら命を絶ったのである。 

一人の天才の死 　志村は今でも、図書館の本のことで谷山からはじめてもらった葉書をもっている。また、プリンストンで谷山から受け取った最後の手紙も大切に保存している。その最後の手紙は、わずか二カ月後に起こる出来事のことなど微塵も感じさせないものだった。今日にいたるまで、志村は谷山の自殺の原因がわからないのだ。志村はこう書いている。 　　私は非常に戸惑った。戸惑うというのが一番ぴったりの言葉だろう。もちろん悲しくはあったが、とにかく、それはあまりにも突然だった。彼からの手紙を受け取ったのは九月。それが十一月の初めには死んでしまったのだ。まったくわけがわからなかった。その後、私はいろいろな話を聞きもしたし、彼の死を受け入れようともした。何人かの人たちが言うには、谷山は、数学以外のことで自分に自信を失ったということだった。

…

谷山の自殺から数週間後、二つめの悲劇が起こった。彼の婚約者だった鈴木美佐子が、あとを追って命を絶ったのである。彼女が残したという遺書にはこう記してあった。「私たちは何があっても決して離れないと約束しました。彼が逝ってしまったのだから、私もいっしょに逝かねばなりません」