　　　　　　　　　　　　　　　　（経済学、リンク::::::::::）
NAMs出版プロジェクト: ピケティとマルクス
http://nam-students.blogspot.jp/2016/04/blog-post_2.html
NAMs出版プロジェクト: ピケティ関連：メモ
http://nam-students.blogspot.jp/2015/01/blog-post_30.html

コブ＝ダグラス生産関数

http://nam-students.blogspot.com/2018/08/blog-post_16.html@

Cobb–Douglas production function

https://en.wikipedia.org/wiki/Cobb%E2%80%93Douglas_production_function

A two-input Cobb–Douglas production function with isoquants:

Wire-grid Cobb-Douglas production surface with isoquants:

https://kotobank.jp/word/%E3%82%B3%E3%83%96%E2%80%90%E3%83%80%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%82%B9%E7%94%9F%E7%94%A3%E9%96%A2%E6%95%B0-1535547

コブ‐ダグラス生産関数
こぶだぐらすせいさんかんすう
Cobb-Douglas production function

C・W・コブとP・H・ダグラスが1920年代にアメリカ経済の実証分析を行うに際して使用した生産関数。単にコブ‐ダグラス関数ともいう。生産量をY、資本をK、労働投入量をLとした場合に、
　　Y＝A

K^α

L^β　(1)
で示される。ただし、A、α、βは正の定数を示す。この生産関数は次のような種々の長所をもっていたため、経済学で頻繁に使用されるようになった。まず第一に、(1)を対数表示にすれば一次式で示すことができる。第二に、α＋β＝1と仮定すれば、一次同次関数となり、規模に関する収穫不変が成り立つ。このとき資本と労働はそれぞれの限界生産力に等しい報酬を受け取るとすれば、αは資本分配率を、β（＝1－α）は労働分配率を示すことになる。このとき全生産量は過不足なく分配され尽くすことが証明できる。第三に、コブ‐ダグラス生産関数は代替の弾力性が1であるため、労働サービスと資本財サービスの相対価格がどのように変化しても、資本と労働の分配率は変化しないことがいえる。［畑中康一］

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E7%94%9F%E7%94%A3%E9%96%A2%E6%95%B0

生産関数（せいさんかんすう、production function）とは、生産物の最大可能な産出量を生産要素の投入量に対応して表す関数である^[1]。

…

生産量Y を生産要素（n 種類あるとする）の投入量 x₁ , ... x_n の関数で表すと

Y=F(x_{1},\dots ,x_{n})

となる。これが一般的な生産関数の数学的表現である。

これの単純化したケースとして、生産要素が 1 種類だけ（たとえば労働L ）あるいは 2 種類（労働L と資本K ）などといったものがよく考えられる。他に生産要素として、技術や減価償却などが考えられることがある。

例

生産関数の例には以下のようなものがある。ただし生産要素は労働L と資本K の 2 種類であるとする。

コブ・ダグラス型生産関数^[1]^[2]

生産量Y が生産要素の同次関数としたものである。チャールズ・コブ（英語版）とポール・ダグラスによって1928年に提案された。

Y=AL^{\alpha }K^{\beta }\,

但し、A は技術進歩などで変化するスケール係数、αは労働分配率、βは資本分配率と呼ばれ、0 < α < 1 , 0 < β < 1 を満たす。コブ・ダグラス型生産関数の代替の弾力性は1である。

http://www.asyura2.com/archives/15/02/12/other/0745.html

■日本における現実のデータは標準的な経済モデルが示すところに近い

以上で見たことをまとめると、

（1）労働所得と資本所得の分配率はほぼ一定
（2）資本／所得比は時間とともに上昇
（3）資本収益率rは、時間とともに低下

ということである。

実は、これは、標準的な経済モデルの予測に近い結果だ。

生産関数として一次同次関数を仮定すると、労働者1人当たりの生産y＝Y/Lは、資本装備k＝K/Lの関数になる。定常状態（y、kが時間的に一定である状態）では、yはkの関数になる。これをy＝f(k)と書く（図表5参照）。

一次同次生産関数の特殊な形として、コブ・ダグラス生産関数Y＝aKγL(1－γ)を仮定しよう（0＜γ＜1）。この場合には、f(k)＝akγとなる。

この場合には、つぎのようになることが簡単な計算でわかる。

（1）資本／所得比βは、k(1-γ)/aとなる。定常状態では、これは一定値になる。βが上昇するのは、資本装備率kが上昇するときだが、そのときは、（2）で見るように、資本収益率rは低下する。

（2）資本収益率はr＝aγk(γ-１)となるので、資本所得rKは、γYとなる。また、賃金率はw＝a(1－γ)kγとなるので、労働所得wLは、(1－γ)Yとなる。つまり、要素所得の分配率は、資本所得がγであり、労働所得が(1－γ)で、一定である。この関係は、kのいかんにかかわらず成立する。つまり、資本蓄積が進み資本装備率が上昇したとしても、分配率は一定だ。

ピケティの言う「資本所得の比率の上昇」という事態は起らないのだ。

（3）労働者1人当たりの貯蓄はgk（注2）。したがって、労働者1人当たりの消費をcとすると、生産＝投資＋貯蓄という需給均衡式は、f(k)＝gk＋cとなる。

1人当たり消費cはf(k)－gkであるから、cを最大化するようなkは、f'(k)＝gを満たすkによって与えられる(注2）。左辺は資本収益率rなので、最適条件はr＝gとなる（資本蓄積の黄金律）。

資本蓄積が進み資本装備率kが上昇すれば、それに伴って資本収益率rも低下する。

ピケティの言うr＞gという状態は、図表5で、これより左側の状態、つまり、kが最適値より低い状態（資本蓄積が十分でない状態）だ。

ところで、ピケティは、以上の関係が成り立たないとしている。

すなわち、『21世紀の資本』の第6章の「コブ＝ダグラス型生産関数を超えて」という項のなかで、コブ・ダグラス生産関数なら要素所得の分配率が一定になってしまうが、「歴史的事実はもっと複雑だ」としている。

しかし、上で見たように、日本のデータはコブ・ダグラス生産関数を否定するほどのものではないと思われる。

ピケティはまた、「1人当たり消費を最大化するという」最適成長理論も否定している（第16章）。そして、つぎのように言う。「黄金律で与えられる答えは実際にはあまり使い物にならない」。しかし、上で述べたように、黄金律が満たされていないにしても、資本蓄積が進んでkが上昇すれば、rは低下することに注意が必要である。

なお、ピケティの言う資本主義の第1法則α＝rβ、同第2法則β＝s/gは、どんな場合にも成立する定義式である（αは資本所得の分配率）。問題は、「r、s、gなどの変数がどのように動くか」ということなのである。

（注2）その理由はつぎのとおりだ。
図表5において、生産関数y＝f(k)の他に、3本の平行な直線が描かれている。
例えばk＝k2の場合、1人当たり生産高はy2であり、1人当たり貯蓄は、
⊿K／L＝(⊿K／K)×(K/L)＝gk2だから、1人当たり消費はy2－gk2である。
ところが、直線が生産関数に接する点P0を選んだ場合には、1人当たり消費はy0－gk0となり、これはy2－gk2より大きい。k0以外のどの点を選んだ場合にも1人当たり消費は少なくなる。

http://www.asyura2.com/15/hasan93/msg/544.html

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ピケティの論旨とはズレるが『21世紀の資本』第五章(185頁)の表を見ると、日本は企業の内部留保(分配していない利潤)が多いことがわかる。
アメリカは3.1%だが日本は7.8%だ。
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggoFgs8D0-l0d2nQi7_qP9UtH8cPjCF6OreNP2H2-De0zM7KwRuZ9Sizc7uG8lISLuE5wSpPgSoH5fr6PAnV1HVs-1rBaZPKV1yPUp1gpkRWRZyUUA1lunc1u66iNYUTx4jjvd/s1600/blogger-image-1760427857.jpg

　《　民間貯蓄の構成要素二つ
　ついでなので、民間貯蓄に構成要素が二つあることも明らかにしておこう。民間個人が直接行った貯蓄
（世帯可処分所得のうち、ただちには消費されない部分）、そして企業がその所有者である民間個人にか
わり、直接的あるいは金融投資を通じて間接的に行う貯蓄だ。この二番目の構成要素は、企業が再投資す
る利益（「内部留保」とも呼ばれる）が占めており、国によっては民間貯蓄総額の半分にも達する（表５−２参照）。》

ちなみに法人税に累進性はない。

ブルス『社会主義における政治と経済』邦訳148頁

《カレツキが「黄金律」的解決の発見に注意を集中しなかったのは、それが彼にとっては、技術進歩の型にかんする若干の仮定のもとでは、効果的なヴァリアントの上限を示すことができるだけだからであった。彼はこういっている。「資本集約度の選択における枢要問題は、鍛え直しの過程における生活水準の問題である☆」と「鍛え直し」とは、資本集約度のより低い水準からより高い水準ヘの、資本設備の漸次的転換をさす）。『社会主義経済成長論概要』の該当する章の注意ぶかい読者ならば、このばあいには成長率（およびそれに対応するすべてのパラメーター）がある水準から他の水準に切り換えられるのは、ある転換点においてだけのことではなく、事実上、移行期の全期間をつうじて変化が進行するのだ、という点にも気づくことであろう。カレツキがなぜ、彼のアプローチを伝統的な成長論のそれと対比させ、「異なった社会体制における成長論」にかんする論文のなかで、「長期経済成長についての下らぬ著作の大部分は、『比較静態学』の次元で菩かれている」と言明している理由は、なによりもこのことによって説明される。》

☆（竹浪祥一郎訳『社会主義経済成長論概要』日本評論社、　一九六五年）

Kalecki, M., (1972), Selected Essays on the Economic Growth of the Socialist and the Mixed. Economy, Cambridge.
69頁

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生産関数3D図は？

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1126608611

(3次元生産関数？→3生産要素生産関数)
3次元の立体的生産関数を研究されたいならアマゾンで"Matlab Economics"や"Mathematica Economics"
で検索してみて下さい。一応下の図にエクセルで書いた2生産要素の3次元生産関数図を載せました。
参考図書は一部、下に3つほど書きました。
以下3変数の生産関数について言及します。
かつては資本Ｋと労働Ｌで生産を構成していましたが、Ｇ,Ｓ,ベッカー(元シカゴ大学教授ノーベルプライズ)
が知識や技術を有する労働が単純労働ではない人的資本Human Capital(経済学では'h''H'記号)を導入し、
Y=F(K,L,H)が一般的になり、マンキュー(将来のノーベル賞候補)のテキストでは
Ｙ=Ｆ(K,L,H,T,O)としT：技術ストック量、O：石油としています。
基礎的3変数生産関数では人的資本の取り扱いが実証分析上で重要で
多く用いられるのが平均就学年数です。
（3変数生産関数例）
Ｙ＝αＫ＋βＬ＋γＨ---線形生産関数
Ｙ＝min[Ｋ／α、Ｋ／β、Ｈ／γ]----レオンチェフ生産関数
この場合、[]内の最小のものを選択、例、αＫが最小の場合
Ｙ＝Ｋ／αよって資本はＹ*αを満たすように決定
Ｙ＝Ａ(αＫ^-θ＋βＬ^-θ＋γＨ^-θ)^(-1/θ)--ＣＥＳ生産関数
Ｙ＝ＡＫ^α*Ｌ^β*Ｈ^γ------コブ-ダグラス生産関数
これらは、多生産要素版に、そのまま拡張できます。
実際の統計(下参照)を用いて各係数を推計可能です。
更に私の回答には様々な生産関数があります。
トランス-ログ型生産関数
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1020104970
宇沢-ルーカスモデル(3生産要素)
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1322425143
デキシット-スティグリッツ型(効用関数ですが生産関数にそのまま応用可)
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1024321880
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生産要素統計
Barro-Lee Data Set
生産(ＧＤＰ)を構成する各種生産要素(教育は勿論、政治状況や地理的状況等含む)
http://www.cid.harvard.edu/ciddata/ciddata.html
(各種統計(戸堂先生)
http://park.itc.u-tokyo.ac.jp/yastodo/onlinedata.htm)
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参考図書
沢山の多変量生産要素の生産関数の経済理論への応用
推薦：1：「内生的経済成長理論ⅠⅡ」Ｒバロー＆Ｓマーティン大住圭介訳Ⅰ巻Ⅱ巻併せて訳1万円
※バローは将来のノーベル賞候補

生産関数の研究
2：「Homogeneous and Nonhomogeneous Production Functions: Theory and Applications」Avebury出版約1万円
3：「生産関数の理論―ミクロとマクロの接合 (1975年) (数量経済学選書〈9>)」創文社5万円～