ABC予想関連2

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2人のフィールズ賞学者が望月論文に抱いた違和感 - himaginary’s diary

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2人のフィールズ賞学者が望月論文に抱いた違和感

2018-08-05

科学

今月初めにフィールズ賞を受賞したピーター・ショルツ*1が、京都大学の望月新一教授によるabc予想の証明に問題点を見つけた、という話をこちらのツイート経由で知った。ただ、ショルツのその指摘を望月氏は認めておらず、今年3月に京都で直接顔を合わせた際も議論はすれ違いに終わり、両者の意見は今のところ平行線を辿ったままだという。
なお、前記のツイートのリンクを辿っていくと（ネイチャー記事→Peter Woitというコロンビア大の数学者の7/17付けブログ記事→同氏の昨年12/16付けブログ記事（の追記））、匿名のシカゴ大教授のブログ*2「Persiflage」の昨年12/17付け記事へのコメントという形で、ショルツ自身の見解*3を読むことができる。この件（というか数学全般）について小生は完全な門外漢ではあるが、専門用語の訳をグーグルさんに頼りつつ、以下に紹介してみる。

Thanks for the wonderful post! I agree with everything that was said.
One small thing I would like to add is that most accounts indicate that no experts have been able to point to a place where the proof would fail. This is in fact not the case; since shortly after the papers were out I am pointing out that I am entirely unable to follow the logic after Figure 3.8 in the proof of Corollary 3.12 of Inter-universal Teichmüller theory part III: “If one interprets the above discussion in terms of the notation introduced in the statement of Corollary 3.12, one concludes [the main inequality].” Note that this proof is in fact the *only* proof in parts II and III that is longer than a few lines which essentially say “This follows from the definitions”. Those proofs, by the way, are completely sound, very little seems to happen in those two papers (to me). Since then, I have kept asking other experts about this step, and so far did not get any helpful explanation. In fact, over the years more people came to the same conclusion; from everybody outside the immediate vicinity of Mochizuki, I heard that they did not understand that step either. The ones who do claim to understand the proof are unwilling to acknowledge that more must be said there; in particular, no more details are given in any survey, including Yamashita’s, or any lectures given on the subject (as far as they are publicly documented). [I did hear that in fact all of parts II and III should be regarded as an explanation of this step, and so if I am unable to follow it, I should read this more carefully… For this reason I did wait for several years for someone to give a better (or any) explanation before speaking out publicly.]
One final point: I get very annoyed by all references to computer-verification (that came up not on this blog, but elsewhere on the internet in discussions of Mochizuki’s work). The computer will not be able to make sense of this step either. The comparison to the Kepler conjecture, say, is entirely misguided: In that case, the general strategy was clear, but it was unclear whether every single case had been taken care of. Here, there is no case at all, just the claim “And now the result follows”.
（拙訳）
素晴らしいポストを有難う！　書かれたことに全面的に同意する。
一つ細かな点を付け加えるならば、証明が間違ったであろう箇所を専門家は誰も指摘できない、と大半の記事は述べているが、これは事実ではない。論文が出た直後から、私は、宇宙際タイヒミュラー理論パート3の系3.12の証明の図3.8の後のロジックが全くフォローできない、と指摘している。それは、「上記の議論を系3.12において導入された記法で解釈するならば、（主題の不等式という）結論が導かれる」というものだ。この証明が実際のところパート2と3の中で、事実上「定義から導かれる」と言っている数行以上書かれた*唯一の*証明であることに注意されたい。ちなみに［それ以外の「定義から導かれる」と言っている*4］証明は完全にまともなものであり、その2つの論文ではほとんど何も起きていない（ように私には見える）。それ以来、私は他の専門家にこのステップについて尋ね続けているが、今のところ有益な説明は一切受けていない。実際のところ、年を経るに従ってより多くの人が同じ結論に到達しつつある。私が聞いたところでは、望月の側近の人たち以外は皆、やはりそのステップを理解できていない。その証明を理解したと主張する人は、説明が言葉足らずであることを認めようとはしない。実際、山下のものを含めどのサーベイ論文でも、あるいはこのテーマについてなされたどの講義においても、（公けに記録されている限りにおいては）これ以上の詳細は提示されていない。［実際のところ、パート2と3はすべてこのステップの説明と見做すべきであり、従ってこれが理解できなければもっと注意深く読むべきである、という話は聞いた…そのため私は、この話を公けにする前に、誰かがもっと良い（ないし何らかの）説明をしてくれるのを数年間待っていた。］
最後にもう一つ。コンピュータによる確認について言及したものすべてに私は非常に苛立っている（このブログでは出てきていないが、望月の研究をネットで論じた別のどこかに出ていた）。コンピュータもこのステップを明らかにすることはできない。例えばケプラー予想*5と比較するというのは、完全に間違っている。ケプラー予想の場合は、全体戦略は明確であったが、すべてのケースが虱潰しに調べられたかどうかが明確でなかった。本件の場合は、ケースは一切存在せず、「よって結果が導かれる」という主張だけが存在する。

なお、このショルツのコメントの少し前には、12年前のフィールズ賞受賞者であるテレンス・タオ*6もコメントしており、以下のように書いている。

Thanks for this. I do not have the expertise to have an informed first-hand opinion on Mochizuki’s work, but on comparing this story with the work of Perelman and Yitang Zhang you mentioned that I am much more familiar with, one striking difference to me has been the presence of short “proof of concept” statements in the latter but not in the former, by which I mean ways in which the methods in the papers in question can be used relatively quickly to obtain new non-trivial results of interest (or even a new proof of an existing non-trivial result) in an existing field. In the case of Perelman’s work, already by the fifth page of the first paper Perelman had a novel interpretation of Ricci flow as a gradient flow which looked very promising, and by the seventh page he had used this interpretation to establish a “no breathers” theorem for the Ricci flow that, while being far short of what was needed to finish off the Poincare conjecture, was already a new and interesting result, and I think was one of the reasons why experts in the field were immediately convinced that there was lots of good stuff in these papers. Yitang Zhang’s 54 page paper spends more time on material that is standard to the experts (in particular following the tradition common in analytic number theory to put all the routine lemmas needed later in the paper in a rather lengthy but straightforward early section), but about six pages after all the lemmas are presented, Yitang has made a non-trivial observation, which is that bounded gaps between primes would follow if one could make any improvement to the Bombieri-Vinogradov theorem for smooth moduli. (This particular observation was also previously made independently by Motohashi and Pintz, though not quite in a form that was amenable to Yitang’s arguments in the remaining 30 pages of the paper.) This is not the deepest part of Yitang’s paper, but it definitely reduces the problem to a more tractable-looking one, in contrast to the countless papers attacking some major problem such as the Riemann hypothesis in which one keeps on transforming the problem to one that becomes more and more difficult looking, until a miracle (i.e. error) occurs to dramatically simplify the problem.
From what I have read and heard, I gather that currently, the shortest “proof of concept” of a non-trivial result in an existing (i.e. non-IUTT) field in Mochizuki’s work is the 300+ page argument needed to establish the abc conjecture. It seems to me that having a shorter proof of concept (e.g. <100 a="" about="" an="" application="" argument.="" be="" bizarre="" dispel="" entire="" external="" help="" href="http://d.hatena.ne.jp/keyword/the%20abc" is="" it="" me="" nbsp="" only="" pages="" prove="" scepticism="" seems="" self-contained="" style="color: #416ed2; max-width: 100%;" that="" the="" theory="" there="" to="" whose="" would="">the abc

 conjecture after 300+ pages of set up, with no smaller fragment of this setup having any non-trivial external consequence whatsoever.
（拙訳）
このエントリを書いてくれたことに感謝する。望月の研究について情報をもたらすような一次的な見解を出すほどの専門知識はないが、私がより精通している貴兄が言及したペレルマンや張益唐の研究とこの話を比べてみると、一つの大きな違いは、後者では短い「概念実証*7」文書があったが、前者にはない、ということである。ここで「概念実証」とは、問題の論文の方法論を比較的手っ取り早く利用して、既存分野における新たな興味深く自明でない結果（もしくは既存の自明でない結果についての新たな証明でも良いが）が得られる手法、を私は意味している。ペレルマンの研究の場合、最初の論文の5ページ目までに勾配流としてのリッチフロー*8という新規の解釈をペレルマンは早くも提示しており、それは非常に有望という思いを抱かせる。そして7ページ目までには、その解釈を用いてリッチフローの「非ブリーザー」理論を打ち立てている*9。ポアンカレ予想を完成させる必要部品としてはまだまだ不十分ではあるが、それだけで既に新たな興味深い結果であり、当該分野の専門家がこの論文には良いことがいっぱい詰まっている、と直ちに確信した理由の一つであろうと私は考えている。張益唐の54ページの論文は、専門家にとって当たり前のことにさらに多くの時間を費やしている（具体的には、解析的整数論に共通の伝統に従って、論文のかなり長いが直接的な最初のセクションで、後で必要になる通常のレンマをすべて提示している）が、すべてのレンマが提示された約6ページ後に、益唐は自明でない結果を提示している。それは、スムーズなモジュライ空間についてボンビエリ＝ヴィノグラドフの定理を少しでも改善できれば、素数間の有限なギャップが存在する、というものである。（この結果は以前に本橋とピンツによって独立に提示されたが、益唐の論文の残り30ページの議論にそのまま応用できる形ではなかった。）それは益唐論文の最も深遠な部分とは言えないが、間違いなく問題をより解明できそうな形に変形している。これは、リーマン予想のような主要な問題に取り組んだ無数の論文とは対照的である。それらの論文では、問題をますます難しく見える形に変形し続けており、そのうちに奇跡（即ち、誤り）を起こすことによって問題を劇的に簡単化している。
私が見聞きしたところでは、現在、既存分野（即ち宇宙際タイヒミュラー理論以外）における望月の研究の自明でない結果についての最短の「概念実証」では、abc予想を確立するために300ページ以上の議論が必要、とのことである。もっと短い（例えば100ページ以内の）概念実証を出せば、この件についての懐疑論を払拭するのに役立つのではないかと思われる。300ページ以上掛けて構築した後の外部への応用がabc予想の証明だけで、その構築の一部分から自明でない外部的な結果がもたらされることは一切ない、という完全に自己完結した理論の存在、というのは私には奇妙なものに思われる。

ちなみに、ショルツが言及した山下氏が海外の研究者と2015年12月にオックスフォード大学クレイ数学研究所でやり取りした時の様子はこちらのwired記事で報告されている。
また、2014年12月には、望月氏自身が海外の研究者に対し、虚心坦懐に一から宇宙際タイヒミュラー理論を理解しようとしない、という批判をこちらで展開している。

*1:Peter Scholze、ピーター・ショルツ - Wikipedia。

*2:ただしリンク時にWoitはブログ主がFrank Calegariだと明記してしまっている。

*3:署名にはPSとしか書かれていないが、Woitはショルツのコメントだとしている。

*4:訳注：一つの解釈として［］内を補完してみたが、正直なところこの一文は完全には意味が取れなかった。
［追記］Peter Woitの昨年12/16付けブログ記事の追記では、ショルツのコメントについて、「Interestingly, he notes that he has no problem with the many proofs listed as “follows trivially from the definitions” since the needed arguments are trivial. It is in the proof of Corollary 3.12, which is non-trivial and supposedly given in detail, that he identifies a potential problem.」と書かれている。

*5:ケプラー予想 - Wikipedia。

*6:Terence Tao、テレンス・タオ - Wikipedia。

*7:概念実証 - Wikipedia。

*8:リッチフロー - Wikipedia。

*9:［追記］ブリーザーについてはBreather - Wikipedia参照。なお、ペレルマンは、「A metric g_ij(t) evolving by the Ricci flow is called a breather, if for some t₁ < t₂ and α > 0 the metrics αg_ij(t₁) and g_ij(t₂) differ only by a diffeomorphism; the cases α = 1, α < 1, α > 1 correspond to steady, shrinking and expanding breathers, respectively.」と定義している。