ゴールドバッハ予想：メモ(&リーマン予想、素数関連)
http://nam-students.blogspot.jp/2014/03/blog-post_24.html＠
リーマン予想
http://nam-students.blogspot.com/2018/09/0926.html
ゴールドバッハの予想
数学において、ゴールドバッハの予想は、加法的整数論の未解決問題の一つである。
全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる。
ウェアリングの問題などと共に古くから知られている。この予想は、4 × 1018 まで成立することが証明されていて、
一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。
4 から 28 までの偶数を 2つの素数の和としてあわらした図。ゴルドバッハは全ての 2よりも大きい偶数が少なくとも一通りで 2つの素数の和として表すことができることを予想した。
4から28まで
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wikiより
Σ(2πα/logT<γ−γ'≤2πβ/logT)1∼N(T)Sβα(1−(sin πu/πu)^2)du.
1−(sin πu/πu)^2 as the pair correlation function for eigenvalues of large random Hermitian matrices measured with a Gaussian measure—the Gaussian Unitary Ensemble that physicists had long been studying…
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wikiより
素数とは、自明な正の約数（1 と自分自身）以外に約数を持たない自然数であり、1 でない数のことである。つまり、正の約数の個数が 2 である自然数のことである。例えば、2 は、正の約数は 1, 2 のみなので素数である。一方で 91 は、正の約数が 1, 7, 13, 91 なので素数でない。素数でない 2 以上の自然数を合成数と呼ぶ。
100以下の素数は、小さい順に次のようになる。
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
さらに、1000 以下の素数は以下の通りである。
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
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Dance, Factors, Dance – A Variation On Yorgey's Factorization Diagrams
http://www.datapointed.net/2012/10/animated-factorization-diagrams/
Animated Factorization Diagrams – Data Pointed
http://www.datapointed.net/visualizations/math/factorization/animated-diagrams/
Animated Factorization Diagrams – Data Pointed
http://www.datapointed.net/visualizations/math/factorization/animated-diagrams/
Dance, Factors, Dance – A Variation On Yorgey's Factorization Diagrams
http://www.datapointed.net/2012/10/animated-factorization-diagrams/
Our first tango would be inspired by the digital clock, with a separate diagram for each of hours, minutes, and seconds. For example, we’d portray 4:34:27 am like so:
【数学】新たな巨大素数が見つかり、シェルピンスキー数の候補が1つ消える ©2ch.net
90 :
名無しのひみつ＠無断転載は禁止
2016/12/05(月) 16:43:47.80 ID:X00SIK1U
97 :
名無しのひみつ＠無断転載は禁止
2016/12/05(月) 16:57:04.02 ID:GjUw4tFt
98 :
2016/12/05(月) 17:00:12.17 ID:5Vt+51ye
モンゴメリー・オドリズコ予想 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%A1%E3%
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%A1%E3%
^ J. Brian Conrey (March 2003), “The Riemann Hypothesis”, Notices of the American Mathematical Society, 3 (pdf: American Mathematical Society) 50: 348-349, ISSN 1088-9477
1972年@プリンストン高等研究所
Montgomery’s Pair Correlation Conjecture
In 1972 Hugh Montgomery was investigating thespacings between zeros of the zeta-function in anattempt to solve the class number problem. Heformulated his Pair Correlation Conjecture basedin part on what he could prove assuming RH andin part on RH plus conjectures for the distributionof twin primes and other prime pairs. This con-jecture asserts that
The sum on the left counts the number of pairs0<γ,γ<Tof ordinates of zeros with normalizedspacing between positive numbers α<β. Mont-gomery had stopped in Princeton on his way fromSt.Louis, where he had presented this result at anAMS symposium, to Cambridge University, wherehe was a graduate student. Chowla persuaded himto show this result to Freeman Dyson at afternoontea at the Institute for Advanced Study. Dyson immediately identified the integrand
ダイソン球 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/ダイソン球
1960年にアメリカの物理学者フリーマン・ダイソンは、高度に発展した宇宙文明では恒星の発する熱や光を活用するために、恒星を覆う巨大な球体＝殻を建造している可能性があると考察した。自然のままでは恒星が全方位に発するエネルギーのほとんどは宇宙空間に消え、小さな点のような惑星などが受け止めたほんの一部しか利用されない。だが、ダイソン球を作ることで桁違いに大量のエネルギーが利用可能となるというものである。このような恒星を包む人工生命圏の着想はダイソンの発案とされているが、ダイソン自身は自伝『宇宙をかき乱すべきか』の中で、かつて読んだオラフ・ステープルドンの『スターメイカー』に登場する恒星の光を捕獲するための網に由来すると述べている。
ニコライ・カルダシェフは、高度に発達した宇宙文明を3つの段階に分けている。
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素数はスパイラル上にきれいに並んでいた。
https://youtu.be/CzfqYIm6UGw
謎を解きかした吉村教授。
周期的に発生するセミを、一般的に「周期ゼミ」とよびますが、この、17年周期、13年周期で北米に大発生するセミを「素数ゼミ」と名づけ、その謎を解明したのが、日本の生物学者、吉村仁教授（静岡大学）です。専門は数理生態学。セミのほかにも、さまざまな動物の行動を進化的な数理モデルで解析しています。幼いころから昆虫採集に夢中な“昆虫少年”だったそうです。
「素数ゼミ」は、同じ地域に、17年あるいは13年に一度しか発生しないという規則性をもちますが、どうして12年や15年ではなく、17年と13年という素数なのでしょう。吉村教授によると、それは氷河期にまで時代をさかのぼって考えなければならないようです。
氷河期を生き残るために、周期が長くなった素数ゼミ
素数ゼミは17年または13年ごとに北米に一斉に発生するわけではなく、ある地域の素数ゼミだけが、その地域だけで、17年あるいは13年という決まった周期で発生します。そして、発生する年は地域ごとにずれているので、アメリカ中が一斉にセミだらけになることはありません。
普通のセミよりも長い間地中で暮らしますが、その暮らしぶりはほかのセミとなんら変わりなく地中で脱皮を繰り返しますが、地中にいる期間が極端に長いのと、ぴったり17年と13年で出てくるところが不思議です。その謎を解くには、地球の歴史を見なければなりません。
地球にセミが登場したのは2億年以上も前です。そして時代を一気に下り、おそよ200万年前。当時は氷河時代で、すでに人類の祖先もあらわれていました。寒さは生き物たちにとって過酷な環境となりました。気温が低くなればなるほど、地中のセミの成長のスピードがどんどん遅くなっていき、これが、10年以上もの長い間を地中で暮らすことになった理由とされています。
しかし、寒い時代にやっと地上へ出たものの、交尾の相手が近くにいなければ、子孫を残すことはできません。氷に覆われた氷河時代、素数ゼミはどうやって絶滅を回避したのでしょう。
狭い範囲で大発生し、子孫を残す。生き残りのための進化
セミ以外にも、多くの生き物が絶滅に追いやられた氷河期。しかし北米には、盆地や暖流のそばではあまり気温が下がらないところがあったため、そんな“避難所”でセミはかろうじて生き残りました。とはいえ、気温が圧倒的に低いので、セミは、北部では14～18年、南部では12～15年もの長い間を地中で過ごすようになりました。
そんなノアの方舟のような“避難所”が北米にいくつもできました。しかし、寒い時代にやっと地上へ出たものの、交尾の相手が近くにいなければ、子孫を残すことはできません。“避難所”のような狭い範囲では、違う年にバラバラと羽化して子孫を残すよりは、同じ年に一斉に羽化して交尾・産卵して子孫を残すほうが効率的です。
こうして、北米のあちらこちらで、同じ場所に同じ種類のセミが同じ年に大発生するようになりました。
なぜ17年と13年周期なのか? 12年や15年ではダメなのか? その秘密は「最小公倍数」
こうやって、狭い範囲で一斉に発生することで生き残ったセミたち。しかし、なぜ、17年と13年という「半端」な周期のセミだけが生き残ったのでしょう。その秘密は「最小公倍数」にあります。素数同士だと、最小公倍数が素数でない数よりも大きくなるからです。
氷河期を生き延びた“避難所”のセミの周期は、当時は北部では14～18年、南部では12～15年でした。19年以上だと地中にいる期間が長すぎるので、18年が限界だったようです。
たとえばある年、種類が同じで周期だけが違う15年と18年のセミがいっしょに出て、子どもをつくったとします。15年後に15年ゼミが、18年後に18年ゼミが地上に出てみたら、ほかの周期のセミはいないので、以前よりもずいぶんと数が減ってしまっています。さらに、15年ゼミと18年ゼミで交雑すると、その子の周期はどうなるのでしょう。16年だったり17年だったりするかもしれません。このように、たまたま15年ゼミと18年ゼミが出会ってしまうと、何万年もかけてどちらのセミも数が減り、やがて絶滅してしまうのです。
15と18の最小公倍数は90です。つまり、15年と18年の場合は90年ごとに交雑する機会があります。一見すると、交雑すればするほど生き延びるような気がしますが、しかし、交雑の回数が多ければ多いほど、周期が乱れ、先に絶滅してしまうのです。
ここで、アメリカ北部の場合の周期を見てみましょう。15～18年周期で考えてみます。この中で素数は17です。
15～18年の4種類のセミが出会う周期を見てみると、
・15年ゼミ×16年ゼミ…240年周期
・15年ゼミ×17年ゼミ…255年周期
・15年ゼミ×18年ゼミ… 90年周期
・16年ゼミ×17年ゼミ…272年周期
・16年ゼミ×18年ゼミ…144年周期
・17年ゼミ×18年ゼミ…306年周期
となります。素数が周期の17年ゼミが入ると最小公倍数が大きくなるので、周期年数が違う群れと交雑しにくいことがわかります。
こうして、何万年何十万年も過ぎ、最小公倍数が小さい周期のセミは減っていき、最小公倍数が大きい「素数ゼミ」だけが生き残っていったのです。
今年2016年は、オハイオ州やペンシルバニア州などで17年ゼミが大発生しました。その数は、数十億匹!! 2004年にニューヨーク付近で大発生した素数ゼは、次は17年後の2021年といわれています。アメリカの気象予報にはぜひ、「今年のセミ予報」がほしいところですね。
昨日17日のtenki.jpサプリに続き、2日にわたって素数ゼミについてお伝えしました。このように素数ゼミが生き残ってきた過程を見ていくと、「いかに子孫を多く残すか」をテーマとした生物の「進化」について、少しずつ解き明かされていくように思えます。一人の日本の“昆虫少年”が素数ゼミの謎を解き明かし、今もまた研究を続けています。次はどんな生物の秘密を解き明かしてくれるのでしょうね。
参考サイト：日立 オープン ミドルウェア レポート ウェブ「数理的発想⑥〈セミとモンシロチョウが教えてくれた進化の真実・吉村仁〉」
参考文献(1)：17年と13年だけ大発生? 素数ゼミの秘密に迫る，吉村仁，2008，サイエンスアイ・新書
参考文献(2)：素数ゼミの謎、吉村仁，2005，文藝春秋
関連：
13年か17年で大発生するセミ：謎を日本の研究者らが分析｜WIRED.jp
http://wired.jp/2009/05/25/13年か17年で大発生するセミ：謎を日本の研究者ら/
27 Comments:
ゴールドバッハの予想：全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる。
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ゴールドバッハの予想：全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる。
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１７ ／ ＼／ ＼／ ＿＿＿＼／＿＿＼／＿＿＼ １７
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１９ ＼／ ／ ＼／ ＼ ＿＿／＿＿＼／＿＿＼＿＿＿＼／ １９
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＼／ ＼／ ／ ＼ ＼／＿＿＿／＿＿＼＿＿＿＼／＿＿＼／
／＼ ／＼ ／ ＼ ２２＼ ／ ＼ ／＼ ／＼
28まで
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_28_300px.png
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治
5.感覚と音楽
イマージュと抽象、感覚と調和に関するライプニッツの思想について述べてきたことを 具体化するため、最後にライプニッツの音楽論における感覚の役割について触れておく (13)。 1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において、ラ
イプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。ゴールドバッハとは、後にあの「ゴールドバッハ予想」として数学で著名になる若き数学者である。 その手紙でライプニッツは、われわれには心地よい感覚がある一方、多くの不愉快な感 覚もあることを認める。たとえば音楽では、われわれは協和音に対してある美的・神秘的 感覚を持つ一方、不協和音に対して不愉快な感覚を持つ。それはいかなる理由によるのか。
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求されねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知らない、算術の 神秘的実践です。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識しているのを知っていなければ、魂におい
て何も生じていないと人は勘違いしてしまいます。したがって、
たとえ魂が数えてい
るという感覚を持っていなくとも、魂はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。
すなわち、魂は、協和音から結果する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作をしか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たちのような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
［91］
ショーペンハウアー『意志と表象としての世界』（西尾幹二訳、中央公論社）から。
＜……音楽はあれこれの個々の、特定の喜びとか、あれこれの悲哀とか、苦痛とか、驚愕とか、歓喜とか、愉快さとか、心の安らぎとかを表現しているわけではけっしてない。音楽が表現しているのは喜びというもの、悲哀というもの、苦痛というもの、驚愕というもの、歓喜というもの、愉快というもの、心の安らぎというものそれ自体なのである。＞（484-5頁）
＜もしも音楽を完全に正しく微に入り細にわたってくまなく説明することに成功したとすれば、いいかえれば音楽が表現するところを概念を用いて詳細に再現することに成功したとしたら、それはそのまま世界というものを概念を用いて十分に再現し説明したことにもなるのであって、同じことを別様にいえば、これこそ真の哲学になるのだといえるであろう。したがって先に引用したライプニッツの言葉［音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していることを精神は知らないでいる。］は、比較的低い立場で見ればあれなりに正しいわけであったが、いまわれわれの比較的高い音楽観の与える意味でいえば、次のようにパロディー化して言い替えることができる。「音楽は無意識的な形而上学の練習である。その際自分がいま哲学していることを精神は知らないでいる」（略）われわれはいま、互いに異なるが、両方ともに正しい二つの音楽観（訳者注：ライプニッツの音楽観と、ショーペンハウアーの音楽観）を一つに合わせてみれば、ピュタゴラス派の数哲学とか、「易経」にみられるシナ人の数哲学のような、なにかしら数に関する哲学の可能性を理解できるにいたるであろう。＞（489-90頁）
http://www.eonet.ne.jp/~orion-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html
10:16 午後
yoji さんは書きました...
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
Music is a hidden arithmetic exercise of the soul, which does not know that it is counting.
Letter to Christian Goldbach, April 17, 1712.
Arthur Schopenhauer paraphrased this quotation in the first book of Die Welt als Wille und Vorstellung: Musica est exercitium metaphysices occultum nescientis se philosophari animi. (Music is a hidden metaphysical exercise of the soul, which does not know that it is philosophizing.)
http://en.wikiquote.org/wiki/Gottfried_Leibniz
http://en.wikiquote.org/wiki/Gottfried_Leibniz
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
Music is a hidden arithmetic exercise of the soul, which does not know that it is counting.
Letter to Christian Goldbach, April 17, 1712.
Arthur Schopenhauer paraphrased this quotation in the first book of Die Welt als Wille und Vorstellung: Musica est exercitium metaphysices occultum nescientis se philosophari animi. (Music is a hidden metaphysical exercise of the soul, which does not know that it is philosophizing.)
ショーペンハウエルが引用した
5:14 午前
yoji さんは書きました...
正意志3:52
ライプニッツの言葉［音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していることを精神は知らないでいる。］
http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治
1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において、ライプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。ゴールドバッハとは、後にあの「ゴールドバッハ予想」として数学で著名になる若き数学者である。 その手紙でライプニッツは、われわれには心地よい感覚がある一方、多くの不愉快な感 覚もあることを認める。たとえば音楽では、われわれは協和音に対してある美的・神秘的 感覚を持つ一方、不協和音に対して不愉快な感覚を持つ。それはいかなる理由によるのか。
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求されねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知らない、算術の 神秘的実践です。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識しているのを知っていなければ、魂におい
て何も生じていないと人は勘違いしてしまいます。したがって、
たとえ魂が数えてい
るという感覚を持っていなくとも、魂はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。
すなわち、魂は、協和音から結果する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作をしか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たちのような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治
1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において、ライプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。ゴールドバッハとは、後にあの「ゴールドバッハ予想」として数学で著名になる若き数学者である。 その手紙でライプニッツは、われわれには心地よい感覚がある一方、多くの不愉快な感 覚もあることを認める。たとえば音楽では、われわれは協和音に対してある美的・神秘的 感覚を持つ一方、不協和音に対して不愉快な感覚を持つ。それはいかなる理由によるのか。
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求されねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知らない、算術の 神秘的実践です。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識しているのを知っていなければ、魂において何も生じていないと人は勘違いしてしまいます。したがって、たとえ魂が数えているという感覚を持っていなくとも、魂はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。 すなわち、魂は、協和音から結果する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作をしか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たちのような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
完全数
完全数（かんぜんすう，英: perfect number）とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のことである。例えば 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14) や496が完全数である。『聖書』の研究者は、最初の完全数が 6 なのは「神が6日間で世界を創造した」こと（天地創造）、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が28日である」ことと関連があると考えていたとされる[1]。2013年2月現在、発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく48個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数が無数に存在するか？」、「奇数の完全数は存在するか？」、「末尾が6か8以外の完全数は存在するか？」、という問題は未解決である。
完全数の定義より、完全数の正の約数の総和は元の数の2倍に等しい。すなわち、n が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(n) = 2n を満たすことであると表現できる。
496 は合成数であり、約数は1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 31 , 62 , 124 , 248 と 496 である。 496 を除く約数の和は 496 であり完全数。
→超弦理論
496
495 ← 496 → 497
素因数分解 24×31
二進法 111110000
八進法 760
十二進法 354
十六進法 1F0
二十進法 14G
ローマ数字 CDXCVI
漢数字 四百九十六
大字 四百九拾六
算木 Counting rod v4.pngCounting rod h9 num.pngCounting rod v6.png
496（四百九十六、よんひゃくきゅうじゅうろく） は自然数、また整数において、495 の次で 497 の前の数である。
335 ：考える名無しさん：2014/03/24(月) 22:36:50.95 0
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治
1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において
、ライプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。ゴールドバッ
ハとは、後にあの「ゴールドバッハ予想」として数学で著名になる若き数学者で
ある。 その手紙でライプニッツは、われわれには心地よい感覚がある一方、多
くの不愉快な感 覚もあることを認める。たとえば音楽では、われわれは協和音
対してある美的・神秘的 感覚を持つ一方、不協和音に対して不愉快な感覚を持
つ。それはいかなる理由によるのか。
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求さ
れねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知ら
ない、算術の 神秘的実践です＊。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な
表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多
くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識している
のを知っていなければ、魂において何も生じていないと人は勘違いしてしまい
ます。したがって、たとえ魂が数えているという感覚を持っていなくとも、魂
はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。 すなわち、魂は、協和音から結果
する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多
数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作を
しか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古
代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たち
のような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
＊
ライプニッツの言葉
［音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していること
を精神は知らないでいる。］
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html
上記はショーペンハウエルが引用して有名になった（正意志3:52）。
Title
イマージュと抽象 - ライプニッツの感覚論と調和の思想 -
http://en.wikiquote.org/wiki/Gottfried_Leibniz
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
Music is a hidden arithmetic exercise of the soul, which does not know that it is counting.
Letter to Christian Goldbach, April 17, 1712.
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治
1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において、ライプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求さ
れねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知ら
ない、算術の 神秘的実践です＊。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な
表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多
くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識している
のを知っていなければ、魂において何も生じていないと人は勘違いしてしまい
ます。したがって、たとえ魂が数えているという感覚を持っていなくとも、魂
はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。 すなわち、魂は、協和音から結果
する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多
数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作を
しか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古
代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たち
のような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
＊
ライプニッツの言葉
［音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していること
を精神は知らないでいる。］
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
Music is a hidden arithmetic exercise of the soul, which does not know that it is counting.
Letter to Christian Goldbach, April 17, 1712.
http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html
http://en.wikiquote.org/wiki/Gottfried_Leibniz
上記はショーペンハウエルが引用して有名になった（正意志3:52）。
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治
1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において、
ライプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求さ
れねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知ら
ない、算術の 神秘的実践です＊。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な
表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多
くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識している
のを知っていなければ、魂において何も生じていないと人は勘違いしてしまい
ます。したがって、たとえ魂が数えているという感覚を持っていなくとも、魂
はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。 すなわち、魂は、協和音から結果
する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多
数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作を
しか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古
代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たち
のような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
＊
ライプニッツの言葉
［音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していること
を精神は知らないでいる。］
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
Music is a hidden arithmetic exercise of the soul, which does not know that it is counting.
Letter to Christian Goldbach, April 17, 1712.
http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html
http://en.wikiquote.org/wiki/Gottfried_Leibniz
上記はショーペンハウエルが引用して有名になった（正意志3:52）。
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治 イマージュと抽象 - ライプニッツの感覚論と調和の思想 -
1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において、
ライプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求さ
れねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知ら
ない、算術の 神秘的実践です＊。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な
表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多
くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識している
のを知っていなければ、魂において何も生じていないと人は勘違いしてしまい
ます。したがって、たとえ魂が数えているという感覚を持っていなくとも、魂
はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。 すなわち、魂は、協和音から結果
する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多
数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作を
しか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古
代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たち
のような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
＊
ライプニッツの言葉
［音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していること
を精神は知らないでいる。］
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
Music is a hidden arithmetic exercise of the soul, which does not know that it is counting.
Letter to Christian Goldbach, April 17, 1712.
http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html
http://en.wikiquote.org/wiki/Gottfried_Leibniz
上記はショーペンハウエルが引用して有名になった（正意志3:52）。
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治 イマージュと抽象 - ライプニッツの感覚論と調和の思想 -
1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において、
ライプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。…
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求さ
れねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知ら
ない、算術の 神秘的実践です＊。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な
表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多
くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識している
のを知っていなければ、魂において何も生じていないと人は勘違いしてしまい
ます。したがって、たとえ魂が数えているという感覚を持っていなくとも、魂
はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。 すなわち、魂は、協和音から結果
する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多
数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作を
しか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古
代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たち
のような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
＊
ライプニッツの言葉
［音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していること
を精神は知らないでいる。］
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
Music is a hidden arithmetic exercise of the soul, which does not know that it is counting.
Letter to Christian Goldbach, April 17, 1712.
http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html
http://en.wikiquote.org/wiki/Gottfried_Leibniz
上記はショーペンハウエルが引用して有名になった（正意志3:52）。
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/98003/1/1_Ikeda.pdf
池田真治 イマージュと抽象 - ライプニッツの感覚論と調和の思想 -
1712年4月17日、クリスティアン・ゴールドバッハ(1690-1764)への手紙において、
ライプニッツは音楽と感覚について興味深いことを論じている。ゴールドバッハとは、
後にあの「ゴールドバッハ予想」として数学で著名になる若き数学者である。…
「少なくとも、私は協和音の理由が打音の符合(congruentia ictuum)から探求さ
れねば ならないと考えます。音楽とは、そこにおいて精神が数えることを知ら
ない、算術の 神秘的実践です＊。というのも、混雑した表象あるいは感覚不能な
表象においては、[精 神は]判明な意識的表象によっては気づき得ないような多
くの事柄をなしているから です。実際、魂がそれ自身そのことを意識している
のを知っていなければ、魂において何も生じていないと人は勘違いしてしまい
ます。したがって、たとえ魂が数えているという感覚を持っていなくとも、魂
はこの感覚不能な計算の結果を感じるのです。 すなわち、魂は、協和音から結果
する和合を、不協和音から結果する不合を感じるの です。実際、感覚不能な多
数の符合から和合が生じます。通常、魂にそれが意識して いるところの操作を
しか割り当てないことで、とんでもない計算をしてしまうのです。 そこに、古
代の哲学者たちによるだけでなく、デカルト主義者ほか、ロックやベール たち
のような哲学者たちによる多くの誤謬が由来するのです。」
＊
ライプニッツの言葉
［音楽は無意識的な算数の練習である。その際自分がいま計算していること
を精神は知らないでいる。］
Musica est exercitium arithmeticae occultum nescientis se numerare animi.
Music is a hidden arithmetic exercise of the soul, which does not know that it is counting.
Letter to Christian Goldbach, April 17, 1712.
http://www.sanynet.ne.jp/~norio-n/ESSAY/TETUGAKU/10.html
http://en.wikiquote.org/wiki/Gottfried_Leibniz
上記はショーペンハウエルが引用して有名になった（正意志3:52）。
ゴールドバッハの予想：全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる。
ttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/Goldbach_partitions_of_the_even_integers_from_4_to_28_300px.png
２ ２
３ ＼／ ３
＼４ ／
５ ＼／ ５
＼ ６＼ ／
７ ＼／ ＿＼／ ７
＼ ／＼８ ／＼ ／
＼／ ＼／＿＿＼／
／＼ １０＼ ／＼
１１ ／ ＼／ ＿＼／＿＿＼ １１
＼ ／ ／１２ ／＼ ＼ ／
１３ ＼／ ／ ＼／＿＿＼＿＿＿＼／ １３
＼ ／＼ ／ １４＼ ＼ ／＼ ／
＼／ ＼／ ／ ＿＼＿＿＿＼／＿＿＼／
／＼ ／＼ ／１６ ＼ ／＼ ／＼
１７ ／ ＼／ ＼／ ＿＿＿＼／＿＿＼／＿＿＼ １７
＼ ／ ／＼ ／＼ １８ ／＼ ／＼ ＼ ／
１９ ＼／ ／ ＼／ ＼ ＿＿／＿＿＼／＿＿＼＿＿＿＼／ １９
＼ ／＼ ／ ／＼ ２０ ／ ／＼ ＼ ／＼ ／
＼／ ＼／ ／ ＼ ＼／＿＿＿／＿＿＼＿＿＿＼／＿＿＼／
／＼ ／＼ ／ ＼ ２２＼ ／ ＼ ／＼ ／＼
２３ ／ ＼／ ＼／ ＼／ ＿＼／＿＿＿＿＿＿＼／＿＿＼／＿＿＼ ２３
＼ ／ ／＼ ／＼ ／２４ ／＼ ／＼ ／＼ ＼ ／
＼／ ／ ＼／ ＼ ／ ＼／＿＿＼＿＿＿＿／＿＿＼／＿＿＼＿＿＿＼／
／＼ ／ ／＼ ＼ ／ ２６＼ ＼ ／ ／＼ ＼ ／＼
／ ＼／ ／ ＼ ＼／ ／ ＿＼＿＿＿＼／＿＿＿／＿＿＼＿＿＿＼／＿＿＼
／ ／＼ ／ ＼ ／＼ ／２８ ＼ ／＼ ／ ＼ ／＼ ＼
２９ ／ ／ ＼／ ＼／ ＼／ ＿＿＿＼／＿＿＼／＿＿＿＿＿＿＼／＿＿＼＿＿＿＼ ２９
＼ ／ ／ ／＼ ／＼ ／＼ ３０ ／＼ ／＼ ／＼ ＼ ＼ ／
３１ ＼／ ／ ／ ＼ ／ ＼／ ＼ ＿＿／＿＿＼／＿＿＼＿＿＿＿／＿＿＼＿＿＿＼＿＿＿＼／ ３１
＼ ／＼ ／ ／ ＼ ／ ／＼ ３２ ／ ／＼ ＼ ／ ＼ ＼ ／＼ ／
＼／ ＼／ ／ ＼／ ／ ＼ ＼／＿＿＿／＿＿＼＿＿＿＼／＿＿＿＿＿＿＼＿＿＿＼／＿＿＼／
／＼ ／＼ ／ ／＼ ／ ＼ ３４＼ ／ ＼ ／＼ ＼ ／＼ ／＼
／ ＼／ ＼／ ／ ＼／ ＼／ ＿＼／＿＿＿＿＿＿＼／＿＿＼＿＿＿＿＿＿＿＼／＿＿＼／＿＿＼
／ ／＼ ／＼ ／ ／＼ ／３６ ／＼ ／＼ ＼ ／＼ ／＼ ＼
／ ／ ＼／ ＼ ／ ／ ＼ ／ ＼／＿＿＼＿＿＿＿／＿＿＼＿＿＿＼＿＿＿＿／＿＿＼／＿＿＼＿＿＿＼
３８
【数学】新たな巨大素数が見つかり、シェルピンスキー数の候補が1つ消える ©2ch.net
1 : 野良ハムスター ★＠無断転載は禁止 ©2ch.net2016/12/05(月) 09:47:07.25 ID:CAP_USER
巨大な素数が新たに発見された。
新たな素数は「10223×2^31172165+1」という数で、桁数は930万桁ある。
すべての自然数nについて、k×2^n+1が素数にならないような正の奇数kが無限に存在することが分かっている（1960年にシェルピンスキーが証明）。
このような奇数kはシェルピンスキー数と呼ばれる。これまでに知られている最小のシェルピンスキー数は「78557」であるが、これより小さいシェルピンスキー数が存在するかどうかはまだ確認されていない。
「78557」よりも小さいシェルピンスキー数の候補として「10223」「21181」「22699」「24737」「55459」「67607」の6個が挙がっていたが、今回「10223×2^31172165+1」が素数であることが分かったため、10223はシェルピンスキー数ではないことが確認された。
なお、これまでに見つかっている最大の素数は「M74207281」というメルセンヌ数で、今年1月に報告された。
メルセンヌ数とは、2のn乗-1の形で表される素数。M74207281=2^74207281-1 は、2233万8618桁の長さをもつ。
http://www.dailymail.co.uk/sciencetech/article-3984110/Researchers-reveal-new-prime-number-help-solve-50-year-old-maths-puzzle-s-9-3-MILLION-digits-long.html
難しいことを楽しく！＆カフェ：リーマン予想から - 福澤ブログ
http://www.adat-inc.com/fukublog/2009/11/post-145.html
難しいことを楽しく！＆カフェ：リーマン予想から
福澤 (2009年11月19日 13:05) | 個別ページ | コメント(0) | トラックバック(0)
今週の日曜の夜、NHKスペシャル 「魔性の難問 ～リーマン予想・天才たちの闘い」という番組を観ました。ものすごく、面白かったです。昨年も、数学の難問にとりつかれた数学者に関する番組がありましたが、この分野におけるNHKの制作力はすごいですね。
さて、リーマンといっても、昨年破綻したあのリーマンではありません。以下NHKのサイトから転記します。
***************
数学史上最難関の難問と恐れられ、今年問題発表からちょうど150年を迎えたのが「リーマン予想」である。数学の世界の最も基本的な数「素数」。数学界最大の謎となっているのが、2，3，5，7，11，13，17，19，23・・・と「一見無秩序でバラバラな数列にしか見えない素数が、どのような規則で現れるか」だ。数学者たリーマン.jpgちは、素数の並びの背後に「何か特別な意味や調和が有るはずだ」と考えて来た。「リーマン予想」は、素数の規則の解明のための最大の鍵である。最近の研究では、素数の規則が明らかにされれば、宇宙を司る全ての物理法則が自ずと明らかになるかもしれないという。一方、この「リーマン予想」が解かれれば私たちの社会がとんでもない影響を受ける危険があることはあまり知られていない。クレジットカード番号や口座番号を暗号化する通信の安全性は、「素数の規則が明らかにならない事」を前提に構築されてきたからだ。
番組では、「創造主の暗号」と言われる素数の謎をCGや合成映像を駆使して分かりやすく紹介し、素数の謎に挑んでは敗れてきた天才たちの奇想天外なドラマをたどる。
このような難しい内容を、私のような一般視聴者に（ある程度）理解させて、楽しませるのは、並大抵のことではできません。映像の持つ柔軟性や、説得力をいかんなく発揮して、一本のエンタテイメントとして仕上げる実力には、恐れ入りました。
難しいことを、わかりやすく解説し、しかも楽しませることほど難しいことはありません。現代の人材開発や教育で、もっとも重要なことだと思います。
もう一つ（今度は中身ですが）面白かったのは、異分野との対話によって、重大な発見があったということです。
リーマン予想と格闘していたダイソン博士が、コーヒーラウンジで偶然居合わせた原子物理学のモンゴメリー博士に、突然自分の研究について語りだしたそうです。すると、何となく聞いていたモンゴメリー博士が、自分の研究分野にある「原子核のエネルギー間隔」の式と全く同じだと指摘したのです。一見、全く無関係の原子核と数学が結びついたのです。
大きな発見や研究の進歩は、このようなセンレンディピティによると、よく言われますが、まさにその典型だったわけです。
細分化をよしとする科学の欠陥が、ここに表れています。それを打開するのは、多様性や想像力、物語など、よりホリスティックなアプローチなのだと思います。
以前、 カフェについて書きましたが、具体的な形としてはカフェが思い浮かびます。モンゴメリー博士と、ダイダイソ博士が対話したのもコーヒーラウンジでした。
そういえば、つい最近友人の大川さんが「ワールド・カフェをやろう！」（日本経済新聞出版社刊）という本を共著で出しました。越境、つながり、結びつきなどの重要性が、ますます理解されていくようです。
ワールド・カフェをやろう
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カテゴリ: 組織の能力
タグ: ワールドカフェ カフェ
【教育】数学好きが口にする「数学の美しさ」とは？ [無断転載禁止]©2ch.net
1 : ノチラ ★2017/06/09(金) 12:23:11.53 ID:CAP_USER>>52
「∞（むげん）プチプチ」などのヒット商品を生み出した高橋晋平氏は「TEDｘTokyo」に登壇するなど、企画・アイデア発想の名手としても知られる。
「大人のための数学教室 和（なごみ）」を運営する和からの堀口智之社長との対談の後編。堀口氏が考える「数学の美しさ」とは？ 堀口氏が数学関連のビジネスに力を入れる理由にも迫る。
中略
高橋： よく「数学は美しい」って言うじゃないですか。数学が好きな人たちって何をもって美しいと言っているのか、よく分からなくて。例えば中学校、高校ぐらいで学ぶような数学の内容にも美しさってあるんですか。
堀口： いい質問ですね。高校までの数学って、テクニックの集合体なんですよ。そもそも美しさを求めてないんです。だからわれわれが学んできた数学で「美しい」という言葉がぴんとこないというのは当然の話です。ただテクニックを学んでいるだけですから。
高橋： なるほど。
堀口： どういったことを「美しい」というのかは、数学的世界観を体感することで理解できるかもしれません。その世界観がちょっとのぞき見えるような数式を2つだけ説明しますね。3分の1って0.3333……ですよね。
高橋： はい。
堀口： じゃあ、これを3倍しますね、両辺。そうすると、左の辺の数字はいくつになりますか。
高橋： 1。
堀口： ですね。右の辺の数字も1ですよね、当然。1＝1じゃないですか。
高橋： なりますね。
堀口： だけど、この右辺を3倍するわけですよね。小数点以下のこの一つひとつを3倍するわけだから、0.9999……が正解なんですよ。ということで、実は1というのは0.999……のことだったんですね。私は小学生くらいのときによく1に近い限りなく大きい数として0.999……とか言っていたんですけど、0.999がずっと続いちゃうと1になっちゃうんですよ。これが無限の恐ろしいところなんですね。0.999……が無限に続いちゃうと1になって、どこかで9が止まると1ではなくなるんです。
高橋： そうか。無限だからな、なるほど。
堀口： この数学的世界観が垣間見えてくると、数学に美しいという概念が生まれてくるわけですよ。なんだこれは、と。それから、これまで想像していなかった分野がつながることがあるんですよ、数学って。素数って分かりますよね。
高橋： 分かります。
堀口： 素数というのは1とそれ自身以外約数を持たない数のことを言うんです。2、3、5、7、11、13、17、19、23……と続いていくんですけど。この素数の個数が何個なのか。実は無限にあることは証明されているんですよ。無限個ありますと。
高橋： 無限個。
堀口： これ自体もちょっと面白いんですけど、素数の個数が無限個と言いましたが、どのくらいの割合なのか考えてみましょう。
高橋： 割合？ ああ、この先、何個のうち何個出てくるかみたいな。
堀口： その通りです。例えば、1から20までの20個の自然数の中で、素数は2、3、5、7、11、13、17、19の8個ですので、20分の8は素数といえます。一方、101から120までの数字で考えると、素数は101、103、107、109、113の5つになり、20分の5が素数といえます。この素数の割合を求めるのに、log（ログ）という数式が出てくるんですね。ある数ｘの周辺で素数である確率はざっくりlog x分の1であることが分かっているんですよ。
高橋： log、あったな、logって。
堀口： 例えば、log 10=2.3なので、log10分の1は、1/2.3＝0.43です。これは、20分の8（=0.4）に近い数字になっています。また、log 110=4.7なので、log 110分の1は1／4.7=0.21で、これは、20分の5（＝0.25）に近い数字になっていますね。こういうふうにlogが使われるんですけど、素数とlogは一見何の関係もないんです。だけど今まで自分が学んでいた素数の個数という世界と、なぜか知らないけどlogというものが出てきて、何か高校のときに学んだなと。こういうものが何か知らないけどつながっているわけですよ。ここで初めて数学的世界観の恐ろしさが見えるわけですよ。こういうのが数学には山ほどあります。とんでもなくある。
高橋： 答えは分かっても、それを証明するためにどうするか。証明するところの奥深さというやつですよね。
堀口： そうですね。証明するところの奥深さもあります。そういうもののとりこになって人生を棒に振るという人がたくさんいます（笑）。ところで、素数の割合に関する問題で、リーマン予想という有名なものがあります。証明したら100万ドルもらえるくらいの難問なんです、実は。
高橋： 何かちょっと、だんだんときめいてきた（笑）。
http://trendy.nikkeibp.co.jp/atcl/column/15/1063592/051200014/
【数学】人類史上最大の難問の一つ 「リーマン予想」 ついに解明か / 名乗り出たのはフィールズ賞受賞数学者マイケル・アティヤ氏[09/26]
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1しじみ ★2018/09/28(金) 14:06:40.85ID:CAP_USER>>51>>90
ときおり世間を騒がせる「○○が解明されたかも」系のニュース。例えば「ポアンカレ予想」や「フェルマーの最終定理」などは数学があまり好きではない人でも聞いたことがあると思う。
海外メディア「NewScientist」によると、これらの有名な難問と同様にとにかくヤバすぎるくらい難しい「リーマン予想」が159年の時を経て証明されたかもしれないとのこと。しかも名乗りを上げたのは89歳のおじいちゃんというから驚きだ！ いったい彼は何者なのか……。
■数学界の神
実はこのおじいちゃん、ただのおじいちゃんではない。なんと「数学のノーベル賞」と呼ばれることもあるフィールズ賞と、これまた別の「数学のノーベル賞」と呼ばれるアーベル賞の両方を受賞しているマイケル・アティヤ氏。
1つ受賞しただけでも凄いのに、それを2つも受賞しているなんてヤバすぎる……。これはもう数学界の神といっても過言ではない。きっと筆者のようなおっさんとは見えてる世界も違うのだろう。
■証明はおまけ
今回の成り行きもただ者ではなく、アティヤ氏は別に「リーマン予想」の研究をしていて証明にたどり着いたわけではないという。難しすぎて詳細は理解不能だが、なんでも「微細構造定数」なる、物理学の分野で特に重要とされる数値を導く過程でおまけで証明したとのこと。
さらにスゴみを感じるのは「リーマン予想」の証明がたったの5ページというところ。普通この手の超難問の論文はめちゃくちゃ長く、確認どころか読むだけでも大仕事。例えば「ポアンカレ予想」は全3部構成で、参照込みの合計68ページだ。
■100万ドルの懸賞金
なお「リーマン予想」は、アメリカのクレイ数学研究所が100万ドル……日本円にして約1億1千万円の懸賞金をかけている7つの問題の内の一つ。1億円の価値があるほどに重要かつ難しい問題ということだが、当然挑戦者も多い。
誰かが証明したと名乗りを上げたのは今回が初めてではなく、これまでに出されたものは全て間違っていたというだけのこと。今回大々的にニュースになっているのは、やはり名乗りを上げたのがアティヤ氏だったからではないだろうか。
そりゃあ数学界のノーベル賞を2回もとっているんだし、注目度もうなぎのぼりというものだ。ただ、現時点ではまだ間違いなく証明されたのかどうかは不明。研究者たちによって、アティヤ氏の論文に間違いがないかどうか検証する作業が進められている。
アティヤ氏による証明の正誤はこれから明らかになるだろうし、結局間違っていたという結果になっても何ら不思議ではない。凄く高名な研究者の出す論文でも、正しくないというのはどの分野でも割とよくあることだ。
■圧倒的なバイタリティ
ところで「NewScientist」に掲載されているアティア氏の言葉にこういうものがある。
“People say ‘we know mathematicians do all their best work before they’re 40’”
（みんな数学者は40歳までが華だっていうけどさ。）
“I’m trying to show them that they’re wrong. That I can do something when I’m 90.”
（それは間違ってると証明したいね。90になったってまだまだやれるところを見せてやんよ。）
筆者的に見習いたいと思ったのは、この発言からも感じ取れる彼のバイタリティだ。89歳という年齢にしていまだに数学界の最先端を走り続けているし、きっとこういう姿勢が彼を数学界の神にしたんだろうなぁ……。
https://d1o50x50snmhul.cloudfront.net/wp-content/uploads/2018/09/21090024/aahxh591.jpg
参照元：NewScienteist、EveningStandard、リーマン予想の証明、ポアンカレ予想[1]、[2]、[3] （英語）
https://www.standard.co.uk/news/uk/has-the-riemann-hypothesis-been-solved-who-is-michael-atiyah-a3944486.html
https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/#.W6l4nF6LAG9.twitter
https://rocketnews24.com/2018/09/26/1119979/
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%B4%B0%E6%A7%8B%E9%80%A0%E5%AE%9A%E6%95%B0
微細構造定数（びさいこうぞうていすう、英: fine-structure constant）は、電磁相互作用の強さを表す物理定数であり、結合定数と呼ばれる定数の一つである。電磁相互作用は4つある素粒子の基本相互作用のうちの1つであり、量子電磁力学をはじめとする素粒子物理学において重要な定数である。1916年にアルノルト・ゾンマーフェルトにより導入された[2][3]。記号は α で表される。無次元量で、単位はない。
微細構造定数
fine-structure constant
記号
α
値
7.2973525664(17)×10−3[1]
相対標準不確かさ
2.3×10−10
テンプレートを表示
微細構造定数の値は
{\displaystyle \alpha =7.297\ 352\ 5664(17)\times 10^{-3}}
である（2014CODATA推奨値[1]）。微細構造定数の逆数（測定値）もよく目にする量で、その値は
{\displaystyle \alpha ^{-1}=137.035\ 999\ 139(31)}
である[4]。
目次
他の物理定数との関係
物理定数の比
長さ
エネルギー
歴史
測定
交流ジョセフソン効果
量子ホール効果
原子反跳
R.P. ファインマンの言葉
脚注
参考文献
論文
書籍
関連項目
外部リンク
他の物理定数との関係 編集
歴史的な経緯から電磁気量に関する量体系には幾つかの種類があり、量体系に依って微細構造定数と他の物理定数との関係式が異なる。なお、微細構造定数は無次元量であり、量体系に依らず、値は変わらない。
国際量体系 (ISQ) において微細構造定数は
\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}
と表わされる[5]。ここで、ħ はディラック定数、c は真空中の光速、e は電気素量、ε0 は電気定数である。電磁相互作用の強さの尺度である電気素量を、量子論を特徴付ける定数であるプランク定数と、相対論を特徴付ける定数である光速度と関連付けている量といえる。なお、電気定数 ε0 の代わりに磁気定数 μ0 を、ディラック定数 ħ の代わりにプランク定数 h を用いると
{\displaystyle \alpha ={\frac {\mu _{0}e^{2}c}{2h}}}
と表すこともできる[6]。
また、CGSガウス単位系は 4πε0 = 1 とする量体系に基づいているので
{\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}}
と表される[6]。
さらに、素粒子物理学ではしばしば c = ħ = ε0 = 1 に固定する自然単位系が用いられるので[7][8]
{\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi }}}
と表される[7][9]。
物理定数の比 編集
微細構造定数は同じ次元を持つ物理定数の間の比例係数となる。
長さ 編集
電子のコンプトン波長 λe に対して、ボーア半径 a0 は
{\displaystyle a_{0}=\alpha ^{-1}{\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}}
であり、古典電子半径 re は
{\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \,{\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}}
である。 また、リュードベリ定数 R∞ の逆数は
{\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}=2\alpha ^{-2}\lambda _{\text{e}}}
となる。
エネルギー 編集
電子の静止エネルギー mec2 に対して、ハートリーエネルギー Eh は
{\displaystyle E_{\text{h}}=\alpha ^{2}m_{\text{e}}c^{2}}
である。
歴史 編集
微細構造定数は1916年にゾンマーフェルトにより導入された。水素原子のスペクトル線の僅かな分裂（微細構造）を説明するためにボーアの原子模型を楕円軌道を許すように拡張（ゾンマーフェルトの量子化条件）して、さらに相対論の効果を含めた模型を考えた。微細構造定数はボーア模型において基底状態にある電子の速度の光速度に対する比に等しく、ゾンマーフェルトの解析の中で自然に現れ、水素原子のスペクトル線の分裂の大きさを決めている。
原子構造を説明する理論において導入された定数であったが、現在では原子構造から離れてより一般に素粒子の電磁相互作用の強さを表す結合定数と見なされている。
測定 編集
微細構造定数に含まれる物理定数において、真空の誘電率 ε0 は真空の透磁率 μ0 = 4π×10−7H/m を用いて ε0 =
1
μ0c2
と定義され、また真空中の光速は c = 299792458 m/s で定義される。したがって、実験的に微細構造定数を求めるには、
e2
h
の測定が必要となる。微細構造定数の主な測定手法としては、交流ジョセフソン効果や量子ホール効果、ミューオンや電子の異常磁気モーメント、セシウムやルビジウムの原子反跳（英語版）を用いる方法がある[10][11][12]。2016年現在における最も精度の高い測定値の1つは、ハーバード大学の研究グループによる電子の異常磁気モーメント ae の測定に基づくものであり、その値は
{\displaystyle \alpha (a_{e})^{-1}=137.035\,999\,160(33)~[2.4\times 10^{-10}]}
で与えられる[13][14]。但し、丸括弧内は標準不確かさ、角括弧内は相対標準不確かさを表す。
交流ジョセフソン効果 編集
微細構造定数の測定法として、二つの超伝導体が薄い絶縁層を介して結合したジョセフソン接合を用いる方法がある[10]。ジョセフソン接合では、二つの超伝導体の巨視的波動関数同士の干渉効果により、超伝導電流が流れる。この電流密度は波動関数の位相 θi (i = 1,2) の差 θ2− θ1 によって、次の形で与えられる。
{\displaystyle J=J_{c}\sin {(\theta _{2}-\theta _{1})}}
ここで、微小な一定電圧 V をジョセフソン接合に印加すると、波動関数の位相差は二つの超伝導体の化学ポテンシャルの差を通じて、
{\displaystyle \theta _{2}-\theta _{1}=-{\frac {2eV}{\hbar }}t+const.}
の形で時間発展する。但し、定数項 const. は初期位相差である。したがって、電流密度は
{\displaystyle J=J_{c}\sin {(\omega _{\mathrm {J} }t+const.)}}
{\displaystyle \omega _{\mathrm {J} }=-{\frac {2eV}{\hbar }}=-{\frac {4\pi eV}{h}}}
と角周波数 ωJ の交流となる。この現象は交流ジョセフソン効果と呼ばれる。したがって、交流ジョセフソン効果では角周波数 ωJ と電圧 V の測定から
e
h
を高い精度で得ることができる。但し、微細構造定数に含まれる項
e2
h
を定めるには、別の手法での h もしくは e の測定を要するという制約がある。
量子ホール効果 編集
1980年のクリッツィングらによる量子ホール効果の発見は、微細構造定数の測定精度を飛躍的に向上させた[15]。熱攪乱が無視できる極低温では、2次元電子系に垂直に磁場を印加すると、ホール抵抗 RH の値は
{\displaystyle R_{H}={\frac {1}{n}}{\frac {h}{e^{2}}}~(n=1,2,\cdots )}
と量子化される。この現象は整数量子ホール効果と呼ばれる。整数量子ホール効果において、RH は試料の大きさや形状に依存せず、その測定精度は電流-電圧測定のみで定まるため、非常に高い精度で
h
e2
を計測することができる。ここで
{\displaystyle R_{K}={\frac {h}{e^{2}}}}
はフォン・クリッツィング定数と呼ばれる。量子ホール効果による測定では、例えば、アメリカ国立標準技術研究所によって、
{\displaystyle \alpha (QHE)^{-1}=137.036\,003\,7(33)\quad [2.4\times 10^{-8}]}
が得られている[12][16]。
フォトンを吸収した原子は原子反跳を起こす。運動量 ħk のフォトンに対し、フォトンの吸収で反跳した原子の原子質量を m とすると、反跳速度は vr =
ħk
m
となる。したがって、反跳速度の測定からプランク定数 h と原子質量 m の比
h
m
を求めることができる。微細構造定数と
h
m
の間には次の関係式が成り立つ。
{\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2R_{\infty }}{c}}{\frac {m}{m_{\mathrm {e} }}}{\frac {h}{m}}}
ここで、 R∞ はリュードベリ定数、me は電子質量である。リュードベリ定数については 6×10−10 の相対標準不確かさ、原子質量と電子質量の比
m
me
についても 10−10 のオーダーレベルでの相対標準不確かさといった非常に高精度な測定値が得られているため、
h
m
から微細構造定数を求めることができる[11][12]。例えば、カストレル・ブロッセル研究所（英語版）の研究グループによる87Rbの原子反跳測定に基づく結果からは
{\displaystyle \alpha ({}^{87}Rb)^{-1}=137.035\,398\,996(85)\quad [6.2\times 10^{-10}]}
が得られている[17][14]。
R.P. ファインマンの言葉 編集
電子と光子が相互作用する過程を表すファインマン・ダイアグラムの例。実線は電子の伝播関数、波線は光子の伝播関数であり、それらを結ぶ頂点に √α が現れる。
量子電磁力学 (QED) において、微細構造定数は電子と光子の相互作用の結合定数である。QEDでは ħ = c = ε0 = 1とする自然単位系がとられるため、微細構造定数は α =
e2
4π
となり、e = √4πα の関係が成り立つ。QEDの発展に貢献した物理学者R.P. ファインマンはその著書の中で次のように述べている[18]。
結合定数 e、つまりホンモノの電子がホンモノの光子を放出、吸収する振幅については、深遠で美しい問いがある。これは実験ではおよそ0.08542455ぐらいに決まる単純な数だ（友人の物理学者たちは、この数字がわからない。というのも、この逆数の2乗を覚えているからであり、およそ137.03597 、最後の桁には2程度の不確かさがある値だ。これは50年以上前に発見されてからずっと謎であり、優秀な理論物理学者たちは皆、壁に貼り付け、悩んでいる。）。すぐにでもこの結合を表す数がどこから現れたのか、知りたいだろう。円周率や、もしかしたら自然対数の底に関係しているのかもしれない。誰もわからないのだ。こいつは全くもって物理学における重大な謎の一つだ。人間の理解が及ばないところから現れた魔法の数だ。
— R.P. Feynman、QED: The strange theory of light and matter
脚注 編集
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出典
^ a b CODATA Value
^ Sommerfeld (1916)
^ NIST "Current advances: The fine-structure constant and quantum Hall effect"
^ CODATA Value
^ NIST "Fundamental Physical Constants-Atomic and Nuclear Constants"
^ a b ブリタニカ百科事典
出典
^ a b CODATA Value
^ Sommerfeld (1916)
^ NIST "Current advances: The fine-structure constant and quantum Hall effect"
^ CODATA Value
^ NIST "Fundamental Physical Constants-Atomic and Nuclear Constants"
^ a b ブリタニカ百科事典
^ a b Peskin & Schroeder (1995, Notations and Conventions)
^ Cottingham & Greenwood (2005, p. 25)
^ Nair (2012, p. 103)
^ a b Kinoshita (1996)
^ a b Mohr, Taylor & Newell (2012)
^ a b c Mohr, Newell & Taylor (2016)
^ Hanneke, Fogwell & Gabrielse (2008)
^ a b Mohr, Newell & Taylor (2016, Table XX.)
^ Klitzing, Dorda & Pepper (1980)
^ Jeffery et al. (1997, VI. Conclusions)
^ Bouchendira et al. (2011)
^ Feynman (1986)
参考文献 編集
論文 編集
Bouchendira, Rym; Cladé, Pierre; Guellati-Khélifa, Saïda; Nez, François; Biraben, François (2011年). “New Determination of the Fine Structure Constant and Test of the Quantum Electrodynamics”. Physical Review Letters 106 (8). doi:10.1103/PhysRevLett.106.080801. ISSN 0031-9007.
Hanneke, D.; Fogwell, S.; Gabrielse, G. (2008年). “New Measurement of the Electron Magnetic Moment and the Fine Structure Constant”. Phys. Rev. Lett. 100 (12). doi:10.1103/PhysRevLett.100.120801. ISSN 0031-9007. OCLC 231018573.
Jeffery, Anne-Marrie.; Elmquist, R.E.; Lee, Lai H.; Shields, John Q.; Dziuba, R.F. (1997年). “NIST comparison of the quantized Hall resistance and the realization of the SI OHM through the calculable capacitor”. IEEE Trans. Instrum. Meas. 46 (2): 264–268. doi:10.1109/19.571828. ISSN 00189456.
Kinoshita, Toichiro (1996年). “The fine structure constant”. Rep. Prog. Phys. 59 (11): 1459–1492. doi:10.1088/0034-4885/59/11/003. ISSN 0034-4885. LCCN 35016768. OCLC 1607643.
Klitzing, K.v.; Dorda, G.; Pepper, M. (1980年). “New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance”. Phys. Rev. Lett. 45 (6): 494–497. doi:10.1103/PhysRevLett.45.494. ISSN 0031-9007. OCLC 231018573.
Mohr, P. J.; Taylor, B. N.; Newell, D. B. (2012年). “CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010”. Rev. Mod. Phys. 84 (4): 1527–1605. arXiv:1203.5425. Bibcode 2012RvMP...84.1527M. doi:10.1103/RevModPhys.84.1527. ISSN 0034-6861. LCCN 31021290. OCLC 5975699.
Mohr, P. J.; Newell, D. B.; Taylor, B. N. (2016年). “CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2014”. Rev. Mod. Phys. 88 (3). doi:10.1103/RevModPhys.88.035009. ISSN 0034-6861.
Sommerfeld, A. (1916年). “Zur Quantentheorie der Spektrallinien”. Annalen der Physik 356(17): 1-94. Bibcode 1916AnP...356....1S. doi:10.1002/andp.19163561702. ISSN 0003-3804. LCCN 50013519. OCLC 5854993.
書籍 編集
Feynman, Richard (January 1, 1986). QED: The strange theory of light and matter. Alix G. Mautner memorial lectures. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ASIN 0691083886. ISBN 0-691-08388-6. NCID BA00205969. OCLC 12053221. ASIN B00BR40XJ6 (Kindle).
Peskin, M.E.; Schroeder, D.V. (October 2, 1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Frontiers in Physics (1st ed.). Boulder, Colo.: Westview Press. ASIN 0201503972. ISBN 978-0-201-50397-5. NCID BA70256771. OCLC 52734559. ASIN B0052TUEM8(Kindle).
Cottingham, W.N.、Greenwood, D.A. 『素粒子標準模型入門』 樺沢宇紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京〈World Physics Selection: Monograph〉、2005年10月22日。全国書誌番号:20908214。ISBN 978-4-431-71175-9。NCID BA73916083。OCLC 675476802。ASIN 4431711759。
Nair, V.P. 『現代的な視点からの場の量子論 基礎編』 シュプリンガー・ジャパン（編）、阿部泰裕・磯暁訳、丸善〈Springer university textbooks〉、2012年2月29日。ISBN 978-4-621-06172-5。NCID BB0849187X。OCLC 785868528。ASIN 4621061720。
関連項目 編集
結合定数
ベータ関数
微細構造
リュードベリ定数
外部リンク 編集
NIST
“CODATA Value: fine-structure constant”. NIST. 2015年6月27日閲覧。
“CODATA Value: inverse fine-structure constant”. NIST. 2015年6月27日閲覧。
“Fundamental Physical Constants-Atomic and Nuclear Constants (PDF)”. NIST. 2015年6月27日閲覧。
“Introduction to the constants for nonexperts - Current advances: The fine-structure constant and quantum Hall effect”. NIST. 2015年9月26日閲覧。
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『微細構造定数』 - コトバンク
≪…ゴールドバッハの予想：全ての 2 よりも大きな偶数は二つの素数の和として表すことができる。…≫を、『幻のマスキングテープ』で眺める。
偶数は、二つの素数の和と生るのを『幻のマスキングテープ』で観ると正（右方向）の『幻のマスキングテープ』に負（左方向）の『幻のマスキングテープ』が結合している『幻のマスキングテープ』と生る。
（左方向）の『幻のマスキングテープ』の裏返しは、正（右方向）の『幻のマスキングテープ』に生り、素数を保存した『幻のマスキングテープ』である。
2 よりも大きな偶数は、正（右方向）の『刀札』と負（左方向）の『刀札』の突合せが存在すると観たい。
素数同士の二つの和は、［0]を内在する数と観てくる。
≪…ゴールドバッハの予想…≫の風景は、
［進み行く素数］＝［ある既素数］＋［ある既素数］-［1］
が、存在するなら・・・
［進み行く素数］＋［1］＝［ある既素数］＋［ある既素数］
［進み行く偶数］ ＝ ［ある既素数］＋［ある既素数］
の光景が観える・・・
［進み行く素数］は、偶数の始まり［2]の黄泉がえりとか・・・
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