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ゴールドバッハ予想：メモ(&リーマン予想、素数関連)
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リーマン予想
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【数学】人類史上最大の難問の一つ 「リーマン予想」 ついに解明か / 名乗り出たのはフィールズ賞受賞数学者マイケル・アティヤ氏[09/26]

1しじみ ★2018/09/28(金) 14:06:40.85ID:CAP_USER>>51>>90

ときおり世間を騒がせる「○○が解明されたかも」系のニュース。例えば「ポアンカレ予想」や「フェルマーの最終定理」などは数学があまり好きではない人でも聞いたことがあると思う。 

海外メディア「NewScientist」によると、これらの有名な難問と同様にとにかくヤバすぎるくらい難しい「リーマン予想」が159年の時を経て証明されたかもしれないとのこと。しかも名乗りを上げたのは89歳のおじいちゃんというから驚きだ！　いったい彼は何者なのか……。 

■数学界の神 
実はこのおじいちゃん、ただのおじいちゃんではない。なんと「数学のノーベル賞」と呼ばれることもあるフィールズ賞と、これまた別の「数学のノーベル賞」と呼ばれるアーベル賞の両方を受賞しているマイケル・アティヤ氏。 

1つ受賞しただけでも凄いのに、それを2つも受賞しているなんてヤバすぎる……。これはもう数学界の神といっても過言ではない。きっと筆者のようなおっさんとは見えてる世界も違うのだろう。 

■証明はおまけ 
今回の成り行きもただ者ではなく、アティヤ氏は別に「リーマン予想」の研究をしていて証明にたどり着いたわけではないという。難しすぎて詳細は理解不能だが、なんでも「微細構造定数」なる、物理学の分野で特に重要とされる数値を導く過程でおまけで証明したとのこと。 

さらにスゴみを感じるのは「リーマン予想」の証明がたったの5ページというところ。普通この手の超難問の論文はめちゃくちゃ長く、確認どころか読むだけでも大仕事。例えば「ポアンカレ予想」は全3部構成で、参照込みの合計68ページだ。 

■100万ドルの懸賞金 
なお「リーマン予想」は、アメリカのクレイ数学研究所が100万ドル……日本円にして約1億1千万円の懸賞金をかけている7つの問題の内の一つ。1億円の価値があるほどに重要かつ難しい問題ということだが、当然挑戦者も多い。 

誰かが証明したと名乗りを上げたのは今回が初めてではなく、これまでに出されたものは全て間違っていたというだけのこと。今回大々的にニュースになっているのは、やはり名乗りを上げたのがアティヤ氏だったからではないだろうか。 

そりゃあ数学界のノーベル賞を2回もとっているんだし、注目度もうなぎのぼりというものだ。ただ、現時点ではまだ間違いなく証明されたのかどうかは不明。研究者たちによって、アティヤ氏の論文に間違いがないかどうか検証する作業が進められている。 

アティヤ氏による証明の正誤はこれから明らかになるだろうし、結局間違っていたという結果になっても何ら不思議ではない。凄く高名な研究者の出す論文でも、正しくないというのはどの分野でも割とよくあることだ。 

■圧倒的なバイタリティ 
ところで「NewScientist」に掲載されているアティア氏の言葉にこういうものがある。 

“People say ‘we know mathematicians do all their best work before they’re 40’” 
（みんな数学者は40歳までが華だっていうけどさ。） 

“I’m trying to show them that they’re wrong. That I can do something when I’m 90.” 
（それは間違ってると証明したいね。90になったってまだまだやれるところを見せてやんよ。） 

筆者的に見習いたいと思ったのは、この発言からも感じ取れる彼のバイタリティだ。89歳という年齢にしていまだに数学界の最先端を走り続けているし、きっとこういう姿勢が彼を数学界の神にしたんだろうなぁ……。 

https://d1o50x50snmhul.cloudfront.net/wp-content/uploads/2018/09/21090024/aahxh591.jpg

参照元：NewScienteist、EveningStandard、リーマン予想の証明、ポアンカレ予想[1]、[2]、[3]　（英語） 
https://www.standard.co.uk/news/uk/has-the-riemann-hypothesis-been-solved-who-is-michael-atiyah-a3944486.html 
https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/#.W6l4nF6LAG9.twitter 

https://rocketnews24.com/2018/09/26/1119979/

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%B4%B0%E6%A7%8B%E9%80%A0%E5%AE%9A%E6%95%B0

微細構造定数（びさいこうぞうていすう、英: fine-structure constant）は、電磁相互作用の強さを表す物理定数であり、結合定数と呼ばれる定数の一つである。電磁相互作用は4つある素粒子の基本相互作用のうちの1つであり、量子電磁力学をはじめとする素粒子物理学において重要な定数である。1916年にアルノルト・ゾンマーフェルトにより導入された^[2][3]。記号は α で表される。無次元量で、単位はない。

微細構造定数 fine-structure constant
記号	α
値	7.2973525664(17)×10−3[1]
相対標準不確かさ	2.3×10−10
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微細構造定数の値は

${\displaystyle \alpha =7.2973525664(17)\times {10}^{-3}}$

である（2014CODATA推奨値^[1]）。微細構造定数の逆数（測定値）もよく目にする量で、その値は

${\displaystyle {\alpha }^{-1}=137.035999139(31)}$

である^[4]。

目次

• 他の物理定数との関係
  • 物理定数の比
    • 長さ
    • エネルギー
• 歴史
• 測定
  • 交流ジョセフソン効果
  • 量子ホール効果
  • 原子反跳
• R.P. ファインマンの言葉
• 脚注
• 参考文献
  • 論文
  • 書籍
• 関連項目
• 外部リンク

他の物理定数との関係編集

歴史的な経緯から電磁気量に関する量体系には幾つかの種類があり、量体系に依って微細構造定数と他の物理定数との関係式が異なる。なお、微細構造定数は無次元量であり、量体系に依らず、値は変わらない。

国際量体系 (ISQ) において微細構造定数は

${\displaystyle \alpha =\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash c}}$

と表わされる^[5]。ここで、ħ はディラック定数、c は真空中の光速、e は電気素量、ε₀ は電気定数である。電磁相互作用の強さの尺度である電気素量を、量子論を特徴付ける定数であるプランク定数と、相対論を特徴付ける定数である光速度と関連付けている量といえる。なお、電気定数 ε₀ の代わりに磁気定数 μ₀ を、ディラック定数 ħ の代わりにプランク定数 h を用いると

${\displaystyle \alpha =\frac{{\mu }_0{e}^{2}c}{2h}}$

と表すこともできる^[6]。

また、CGSガウス単位系は 4πε₀ = 1 とする量体系に基づいているので

${\displaystyle \alpha =\frac{e^2}{\hslash c}}$

と表される^[6]。

さらに、素粒子物理学ではしばしば c = ħ = ε₀ = 1 に固定する自然単位系が用いられるので^[7][8]

${\displaystyle \alpha =\frac{e^2}{4\pi }}$

と表される^[7][9]。

物理定数の比編集

微細構造定数は同じ次元を持つ物理定数の間の比例係数となる。

長さ編集

電子のコンプトン波長 λ_e に対して、ボーア半径 a₀ は

${\displaystyle a_0={\alpha }^{-1}\frac{{\lambda }_{\text{e}}}{2\pi }}$

であり、古典電子半径 r_e は

${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \frac{{\lambda }_{\text{e}}}{2\pi }}$

である。 また、リュードベリ定数 R_∞ の逆数は

${\displaystyle \frac{1}{R_{\mathrm{\infty }}}=2{\alpha }^{-2}{\lambda }_{\text{e}}}$

となる。

エネルギー編集

電子の静止エネルギー m_ec² に対して、ハートリーエネルギー E_h は

${\displaystyle E_{\text{h}}={\alpha }^2{m}_{\text{e}}{c}^2}$

である。

歴史編集

微細構造定数は1916年にゾンマーフェルトにより導入された。水素原子のスペクトル線の僅かな分裂（微細構造）を説明するためにボーアの原子模型を楕円軌道を許すように拡張（ゾンマーフェルトの量子化条件）して、さらに相対論の効果を含めた模型を考えた。微細構造定数はボーア模型において基底状態にある電子の速度の光速度に対する比に等しく、ゾンマーフェルトの解析の中で自然に現れ、水素原子のスペクトル線の分裂の大きさを決めている。

原子構造を説明する理論において導入された定数であったが、現在では原子構造から離れてより一般に素粒子の電磁相互作用の強さを表す結合定数と見なされている。

測定編集

微細構造定数に含まれる物理定数において、真空の誘電率 ε₀ は真空の透磁率 μ₀ = 4π×10⁻⁷H/m を用いて ε₀ = 1μ₀c² と定義され、また真空中の光速は c = 299792458 m/s で定義される。したがって、実験的に微細構造定数を求めるには、e²h の測定が必要となる。微細構造定数の主な測定手法としては、交流ジョセフソン効果や量子ホール効果、ミューオンや電子の異常磁気モーメント、セシウムやルビジウムの原子反跳（英語版）を用いる方法がある^[10][11][12]。2016年現在における最も精度の高い測定値の1つは、ハーバード大学の研究グループによる電子の異常磁気モーメント a_e の測定に基づくものであり、その値は

${\displaystyle \alpha (a_e{)}^{-1}=137.035999160(33)[2.4\times {10}^{-10}]}$

で与えられる^[13][14]。但し、丸括弧内は標準不確かさ、角括弧内は相対標準不確かさを表す。

交流ジョセフソン効果編集

微細構造定数の測定法として、二つの超伝導体が薄い絶縁層を介して結合したジョセフソン接合を用いる方法がある^[10]。ジョセフソン接合では、二つの超伝導体の巨視的波動関数同士の干渉効果により、超伝導電流が流れる。この電流密度は波動関数の位相 θ_i (i = 1,2) の差 θ₂− θ₁ によって、次の形で与えられる。

${\displaystyle J=J_c\sin ({\theta }_2-{\theta }_1)}$

ここで、微小な一定電圧 V をジョセフソン接合に印加すると、波動関数の位相差は二つの超伝導体の化学ポテンシャルの差を通じて、

${\displaystyle {\theta }_2-{\theta }_1=-\frac{2eV}{\hslash }t+const.}$

の形で時間発展する。但し、定数項 const. は初期位相差である。したがって、電流密度は

${\displaystyle J=J_c\sin ({\omega }_{\mathrm{J}}t+const.)}$

${\displaystyle {\omega }_{\mathrm{J}}=-\frac{2eV}{\hslash }=-\frac{4\pi eV}{h}}$

と角周波数 ω_J の交流となる。この現象は交流ジョセフソン効果と呼ばれる。したがって、交流ジョセフソン効果では角周波数 ω_J と電圧 V の測定から eh を高い精度で得ることができる。但し、微細構造定数に含まれる項 e²h を定めるには、別の手法での h もしくは e の測定を要するという制約がある。

量子ホール効果編集

1980年のクリッツィングらによる量子ホール効果の発見は、微細構造定数の測定精度を飛躍的に向上させた^[15]。熱攪乱が無視できる極低温では、2次元電子系に垂直に磁場を印加すると、ホール抵抗 R_H の値は

${\displaystyle R_H=\frac{1}{n}\frac{h}{e^2}(n=1,2,\cdots )}$

と量子化される。この現象は整数量子ホール効果と呼ばれる。整数量子ホール効果において、R_H は試料の大きさや形状に依存せず、その測定精度は電流-電圧測定のみで定まるため、非常に高い精度で he² を計測することができる。ここで

${\displaystyle R_K=\frac{h}{e^2}}$

はフォン・クリッツィング定数と呼ばれる。量子ホール効果による測定では、例えば、アメリカ国立標準技術研究所によって、

${\displaystyle \alpha (QHE{)}^{-1}=137.0360037(33)[2.4\times {10}^{-8}]}$

が得られている^[12][16]。

原子反跳編集

フォトンを吸収した原子は原子反跳を起こす。運動量 ħk のフォトンに対し、フォトンの吸収で反跳した原子の原子質量を m とすると、反跳速度は v_r = ħkm となる。したがって、反跳速度の測定からプランク定数 h と原子質量 m の比 hm を求めることができる。微細構造定数と hm の間には次の関係式が成り立つ。

${\displaystyle {\alpha }^2=\frac{2R_{\mathrm{\infty }}}{c}\frac{m}{m_{\mathrm{e}}}\frac{h}{m}}$

ここで、 R_∞ はリュードベリ定数、m_e は電子質量である。リュードベリ定数については 6×10⁻¹⁰ の相対標準不確かさ、原子質量と電子質量の比 mm_e についても 10⁻¹⁰ のオーダーレベルでの相対標準不確かさといった非常に高精度な測定値が得られているため、hm から微細構造定数を求めることができる^[11][12]。例えば、カストレル・ブロッセル研究所（英語版）の研究グループによる⁸⁷Rbの原子反跳測定に基づく結果からは

${\displaystyle \alpha ({}^{87}Rb{)}^{-1}=137.035398996(85)[6.2\times {10}^{-10}]}$

が得られている^[17][14]。

R.P. ファインマンの言葉編集

電子と光子が相互作用する過程を表すファインマン・ダイアグラムの例。実線は電子の伝播関数、波線は光子の伝播関数であり、それらを結ぶ頂点に √α が現れる。

量子電磁力学 (QED) において、微細構造定数は電子と光子の相互作用の結合定数である。QEDでは ħ = c = ε₀ = 1とする自然単位系がとられるため、微細構造定数は α = e²4π となり、e = √4πα の関係が成り立つ。QEDの発展に貢献した物理学者R.P. ファインマンはその著書の中で次のように述べている^[18]。

結合定数 e、つまりホンモノの電子がホンモノの光子を放出、吸収する振幅については、深遠で美しい問いがある。これは実験ではおよそ0.08542455ぐらいに決まる単純な数だ（友人の物理学者たちは、この数字がわからない。というのも、この逆数の2乗を覚えているからであり、およそ137.03597 、最後の桁には2程度の不確かさがある値だ。これは50年以上前に発見されてからずっと謎であり、優秀な理論物理学者たちは皆、壁に貼り付け、悩んでいる。）。すぐにでもこの結合を表す数がどこから現れたのか、知りたいだろう。円周率や、もしかしたら自然対数の底に関係しているのかもしれない。誰もわからないのだ。こいつは全くもって物理学における重大な謎の一つだ。人間の理解が及ばないところから現れた魔法の数だ。

— R.P. Feynman、QED: The strange theory of light and matter

脚注編集

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出典

1. ^ ^a b CODATA Value
2. ^ Sommerfeld (1916)
3. ^ NIST "Current advances: The fine-structure constant and quantum Hall effect"
4. ^ CODATA Value
5. ^ NIST "Fundamental Physical Constants-Atomic and Nuclear Constants"
6. ^ ^a b ブリタニカ百科事典
7. ^ ^a b Peskin & Schroeder (1995, Notations and Conventions)
8. ^ Cottingham & Greenwood (2005, p. 25)
9. ^ Nair (2012, p. 103)
10. ^ ^a b Kinoshita (1996)
11. ^ ^a b Mohr, Taylor & Newell (2012)
12. ^ ^a b c Mohr, Newell & Taylor (2016)
13. ^ Hanneke, Fogwell & Gabrielse (2008)
14. ^ ^a b Mohr, Newell & Taylor (2016, Table XX.)
15. ^ Klitzing, Dorda & Pepper (1980)
16. ^ Jeffery et al. (1997, VI. Conclusions)
17. ^ Bouchendira et al. (2011)
18. ^ Feynman (1986)

参考文献編集

論文編集

• Bouchendira, Rym; Cladé, Pierre; Guellati-Khélifa, Saïda; Nez, François; Biraben, François (2011年). “New Determination of the Fine Structure Constant and Test of the Quantum Electrodynamics”. Physical Review Letters 106 (8). doi:10.1103/PhysRevLett.106.080801. ISSN 0031-9007.
• Hanneke, D.; Fogwell, S.; Gabrielse, G. (2008年). “New Measurement of the Electron Magnetic Moment and the Fine Structure Constant”. Phys. Rev. Lett. 100 (12). doi:10.1103/PhysRevLett.100.120801. ISSN 0031-9007. OCLC 231018573.
• Jeffery, Anne-Marrie.; Elmquist, R.E.; Lee, Lai H.; Shields, John Q.; Dziuba, R.F. (1997年). “NIST comparison of the quantized Hall resistance and the realization of the SI OHM through the calculable capacitor”. IEEE Trans. Instrum. Meas. 46 (2): 264–268. doi:10.1109/19.571828. ISSN 00189456.
• Kinoshita, Toichiro (1996年). “The fine structure constant”. Rep. Prog. Phys. 59 (11): 1459–1492. doi:10.1088/0034-4885/59/11/003. ISSN 0034-4885. LCCN 35016768. OCLC 1607643.
• Klitzing, K.v.; Dorda, G.; Pepper, M. (1980年). “New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance”. Phys. Rev. Lett. 45 (6): 494–497. doi:10.1103/PhysRevLett.45.494. ISSN 0031-9007. OCLC 231018573.
• Mohr, P. J.; Taylor, B. N.; Newell, D. B. (2012年). “CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010”. Rev. Mod. Phys. 84 (4): 1527–1605. arXiv:1203.5425. Bibcode 2012RvMP...84.1527M. doi:10.1103/RevModPhys.84.1527. ISSN 0034-6861. LCCN 31021290. OCLC 5975699.
• Mohr, P. J.; Newell, D. B.; Taylor, B. N. (2016年). “CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2014”. Rev. Mod. Phys. 88 (3). doi:10.1103/RevModPhys.88.035009. ISSN 0034-6861.
• Sommerfeld, A. (1916年). “Zur Quantentheorie der Spektrallinien”. Annalen der Physik 356(17): 1-94. Bibcode 1916AnP...356....1S. doi:10.1002/andp.19163561702. ISSN 0003-3804. LCCN 50013519. OCLC 5854993.

書籍編集

• Feynman, Richard (January 1, 1986). QED: The strange theory of light and matter. Alix G. Mautner memorial lectures. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ASIN 0691083886. ISBN 0-691-08388-6. NCID BA00205969. OCLC 12053221. ASIN B00BR40XJ6 (Kindle).
• Peskin, M.E.; Schroeder, D.V. (October 2, 1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Frontiers in Physics (1st ed.). Boulder, Colo.: Westview Press. ASIN 0201503972. ISBN 978-0-201-50397-5. NCID BA70256771. OCLC 52734559. ASIN B0052TUEM8(Kindle).
• Cottingham, W.N.、Greenwood, D.A. 『素粒子標準模型入門』 樺沢宇紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京〈World Physics Selection: Monograph〉、2005年10月22日。全国書誌番号:20908214。ISBN 978-4-431-71175-9。NCID BA73916083。OCLC 675476802。ASIN 4431711759。
• Nair, V.P. 『現代的な視点からの場の量子論 基礎編』 シュプリンガー・ジャパン（編）、阿部泰裕・磯暁訳、丸善〈Springer university textbooks〉、2012年2月29日。ISBN 978-4-621-06172-5。NCID BB0849187X。OCLC 785868528。ASIN 4621061720。

関連項目編集

• 結合定数
  • ベータ関数
• 微細構造
  • リュードベリ定数

外部リンク編集

• NIST
  • “CODATA Value: fine-structure constant”.  NIST. 2015年6月27日閲覧。
  • “CODATA Value: inverse fine-structure constant”. NIST. 2015年6月27日閲覧。
  • “Fundamental Physical Constants-Atomic and Nuclear Constants (PDF)”. NIST. 2015年6月27日閲覧。
  • “Introduction to the constants for nonexperts - Current advances: The fine-structure constant and quantum Hall effect”. NIST. 2015年9月26日閲覧。
• ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『微細構造定数』 - コトバンク