NAMs出版プロジェクト: 複雑系

物理学の最も顕著な側面の1つは、その法則の単純さです。マクスウェル方程式、シュレーディンガー方程式、ハミルトニアン力学はそれぞれ数行で表現できる。私たちの世界観の基盤を形成するアイデアもまた非常に単純です。世界は合法であり、同じ基本法則がいたるところに当てはまります。偏微分方程式または常微分方程式のいずれかで、すべてが単純できちんとしており、日常の数学の観点から表現可能です。

もちろん、世界を除いて、すべてがシンプルできちんとしています。

物理学の教室の外では、あらゆる場所に驚くほど複雑な世界が見えます。巨大な山岳地帯から砂丘の表面の繊細な尾根、波に乗る塩水噴霧、金融市場の相互依存関係、そして真の生態系まで、あらゆるレベルの複雑な「生態系」が世界にあります。生き物。それぞれの状況は高度に組織化されており、独特であり、生物学的システムが非常に複雑なケースを制限しています。それでは、もし法律がそれほど単純であるならば、なぜ世界はとても複雑なのでしょうか？ここでは、この疑問に答え、物理システムの複雑さに関する最近の研究からどのような一般的な教訓が引き出せるかを要約することを試みます。

私たちにとって、 複雑さとは、私たちが多様な構造を持っていることを意味します。したがって、生きている有機体は、それぞれが同じ遺伝子コーディングからの処理における変動によって形成される多くの異なる動作部分を有するので複雑である。海や空を一目見ただけでも、物理的な世界では構造が形成される傾向があるという確信があります。 カオスも非常に頻繁に見られます。カオスとは、最終結果がそれをもたらす初期条件に敏感に依存することです。混沌とした世界では、特定の場所と時間にどのような変動が生じるかを予測するのは困難です。実際、エラーや不確実性は時間とともに指数関数的に増加することがよくあります。複雑な世界は非常に構造化されているため、興味深いものです。混沌とした世界は、私たちが次に何が来るのかわからないので面白いです。しかし、世界には規則性も含まれています。たとえば、気候は非常に複雑ですが、冬は夏の後に予測可能なパターンで続きます。私たちの世界は複雑で混沌としています。初級レッスンは以下の通りです。

単純な状況でも自然は複雑な構造を生み出し、複雑な状況でも単純な法則を生み出すことができます。

複雑さの創出：流体は複雑な振る舞いを頻繁に生み出します。それは高度に組織化されたもの（竜巻のようなものです）または混沌としたもの（乱流のようなもの）のいずれかです。よく見られるものは、観察者の大きさによって異なります。竜巻に巻き込まれたハエは、それが高度に構造化された流れに参加していることを知って驚かれるでしょう。

空間内の1点での流体速度が空間内の他の点での速度にどのように影響するかを記述する方程式は、3つの基本的な考え方から導き出されます。最初： 地域性 。流体は動いている多くの粒子を含んでいます。パーティクルは、そのすぐ近くにある他のパーティクルによってのみ影響を受けます。第二に：保全。粒子や運動量のように、失われることのないもの、動き回るものだけがある。第三： 対称性。 流体は等方性で回転方向に不変です。

コンピュータを滑らかにするには、3つの基本的な考え方に従って、粒子が動き回る正方形のダンスを構築します。最も単純な場合では、ダンスは正六角形の格子上で行われます。図の上部パネルを参照してください。各粒子は、格子位置と6つの運動方向のうちの1つによって特徴付けられます。これらの矢印は運動量ベクトルです。スクエアダンスは、発信者がPROMENADEと言うことから始まります。これは、矢印の方向に一歩進むことを意味します。結果は中央のパネルに表示されます。それから、呼び出し側はSWING YOUR PARTNERを呼び出します。これは、合計の勢いがゼロになる場合は、所定のサイト上のすべての矢印を60度回転させることを指示します。その結果が下部パネルに表示されます。各ステップで粒子数と運動量の両方が保存されています。何千ものパーティクルと何千ものステップを取り、データを平均化するために少し平均します。流体の動きと同じ動きのパターンを見つけます。スクエアダンスは、そのステップが流体運動の3つの基本法則に従うという理由だけで、流体のように振る舞います。

このような例を通して、非常に単純な成分が非常に美しく、豊かでパターン化されたアウトプットを生み出すことができるようになるのが次第にわかりました。このように、私達のスクエアダンサーは、彼らの単純なホップとスイングを通して、動いている流体の美しい世界全体を作り出します。パターン化された複雑な出力を生成するための単純な初心者アクターには、多くのイベントが必要です。私たちの例にはたくさんのイベントが含まれていました。

物理学者にとって、コーディングがどのように行われているかの詳細にかかわらず、コンピューターが現実的な流動的な振る舞いを生成することは嬉しいことですが、驚くことではありません。そうでない場合は、微視的モデリング（ モデルカオスとはおおまかに言っているかもしれません）に対する極端な敏感さと、科学としての物理学は存在できないでしょう。ブルドーザーをモデル化するためには、その構成クォークをモデル化するように注意してください。たとえこれらの法則の結果が非常に複雑であったとしても、自然は私達に長さ、エネルギーおよび時間スケールの便利な分離を提供するのに十分親切にされています。しかし、生物学的または経済的状況における複雑さで、私たちはそれほど幸運ではないかもしれません。

複雑さを理解する：

複雑なシステムから身体的な知識を引き出すためには、正しいレベルの記述に集中しなければなりません。このようなシステムの調査には、実験的、計算的、理論的の3つのモードがあります。実験的手法は人間の目と組み合わせることで広範囲のデータを非常に効率的にスキャンできるため、実験は探索に最適です。

コンピュータシミュレーションは、特定の物理的なプロセスや状況についての理解を確認するためによく使用されます。私たちの流体力学の例では、大規模構造は小規模の運動の詳細な説明とは無関係です。最も便利な「最小モデル」を設計することによって、この種の「普遍性」を利用することができます。例えば、ほとんどの流体流れプログラムは、分子動力学シミュレーションによってモデル化されるべきではありません。これらのシミュレーションは非常に遅いので、大規模システムに安全に外挿することを可能にする体制に達することができないかもしれません。だから私たちは間違った答えを得る可能性があります。代わりに、マクロレベルでモデル化し、大きなタイムステップ、大きなシステムを使用する必要があります。例えば、計算生物学者の中には、分子のあらゆる部分を追跡することによってタンパク質の動態をシミュレートしようとする人もいます。結果：ほとんどのコンピュータサイクルは、OHグループが少しずつ前後に動いているのを見るのに費やされています。余裕がある限り、生物学的に意味のあることは起こりません。

興味のある現象を捉えるには、正しい説明レベルを使用してください。ブルドーザーをクォークでモデル化しないでください。

このレッスンは、複雑なシステムを理解することを目的とした理論的作業にも同じように適用されます。扱いやすい閉包スキームや複雑な自由場理論を偽装して複雑なシステムをモデル化することはできません。これらは小規模の構造のうまくいった説明をもたらすかもしれません、しかしこの説明は大規模な特徴のために無関係であるように思われます。これらの総体的な特徴を得るためには、特により高いレベルを対象とした、より現象論的で集約された記述を使うべきです。したがって、金融市場は単純な幾何学的ブラウン運動ベースのモデルによってモデル化されるべきではなく、それらはすべてデリバティブ市場の現代的な取扱いの基礎を形成します。これらのモデルは、分析的に扱いやすく、非常に粗い現象論的モデリングから派生するように作成されました。彼らは多くの市場で観測された強く非ガウス性の確率分布を再現することができません。その代わりに、モデリングは、普遍的なスケーリング機能を市場固有の機能から分離することを試みながら、存在すべき最も単純な非線形性または非局所性が何であるかを尋ねることによって推進されるべきです。あまりにも多くのプロセスやパラメータを含めると、望ましい定性的理解があいまいになります。

したがって、良いモデルはすべて質問から始まります。モデラーは、質問に答えるために適切な詳細レベルを選択する必要があります。

複雑さと統計

流体が動き回ると、それ自体が流れに影響を及ぼさないいくつかの「受動的な」要素を一緒に運ぶことがあります。エネルギーと不純物の密度の両方がこのような動きをします。そこでは、それらは対流し（流れに沿って）そして拡散します（ランダムに動きます）。対流運動は、最初は流体の遠く離れた領域を互いに近くに移動させる傾向があり、それによって、勾配が増大する。拡散は勾配を滑らかにする傾向がある。

多くの場合、これらの「パッシブスカラー」は急速で乱流によって運ばれるため、対流混合が拡散を支配する傾向があります。コンピューターシミュレーションと実験は、スカラーの密度がすぐに突然のジャンプで囲まれた多くの平らな領域があるプロファイルを開発することを示しています。平坦領域は、サンプルのよく混合された領域において、対流と拡散の複合効果によって作り出される。しかし、密度は概して初期勾配に従わなければならないので、混合領域はジャンプによって分離されなければならない。

システムが非常に大きなイベントによって支配されるこの動作は、間欠性と呼ばれます。間欠性は動的システムの遍在する機能のようです。突然天気が荒れる。氷河期があります。株式市場はクラッシュします。ペストが発生します。飛行機が乱流に陥ります。すべての場合において、動的システムの振る舞いには大きな跳躍があり、その大きな跳躍は人間に大きな影響を与える可能性があります。

これらの遍在するジャンプを定量化する際に、大きなジャンプは起こりそうもなく、あらゆるサイズで発生することがわかります。経験的に、ジャンプのサイズは確率分布によって与えられることが多く、これは大きなジャンプでは次の形式を取ります。

P（jump） = exp（ - | jump | / s ）（1）

ここで、 s は標準偏差です。これを通常のガウス型と比較してください。

P（ジャンプ）= exp [ - | jump | 2/2秒² ] / Ö （2 p s ² ）（2）

これは、ガルトンの時代以来、統計的問題における通常の推測でした。混沌とした乱流系はしばしば（1）のように指数関数的な振る舞いを示します。ありそうもない（非常に悪い!!）イベントは、Gaussian形式（2）よりも指数形式の方がはるかに可能性があります。例えば、6 秒のイベントはガウスの場合には10 ^-9の確率で発生しますが、指数関数では確率は0.0025です。短い時系列で作成された推定値、特にガウス推定値は、大規模な変動を完全に不正確に示します。最近マンデルブローが強調しているように、これらの考慮は金融市場において重要な結果をもたらします。それで、私たちはレッスンに来ます：

複雑な系は構造を形成し、そしてこれらの構造は大きさおよび期間が大きく異なる。それらの確率分布はめったに正規化されないので、例外的な出来事はそれほど稀ではありません。

複雑さの発展：

昔、KatchalskyとPrigogineは、非平衡系における複雑な構造の形成について述べています。それらの「散逸構造」は、やがて急速に成長する可能性がある程度の複雑さを持つ可能性があります。比較的複雑な構造は平衡状態では存在しないと考えられています。 A.チューリングは、生物内の組織を発達させるための、反応拡散方程式を含むメカニズムについて説明しました。ここで引用した例や他の多くの例から見たように、非平衡状態では、多粒子系は確かに非常に複雑になる可能性があります。この傾向が生命の基盤である可能性があります。この考えの限定版は、Bak、Tang、およびWiesenfeldの「自己組織化された重要性」にあります。「もっと違います」と題されたエッセイの中で、PWアンダーソンは、組織の特徴がシステムの「創発的」な性質としてどのように生じるのかを述べています。この観点の例は、複雑さの「相転移」に関する研究とそれに付随する生物学的システムの様々な側面が秩序と複雑さの間の重要な点にあるという推測によって与えられる。

今後数年間は、物理的、経済的、社会的、そして特に生物学的システムの理解を深めるために、統計力学の文脈における複雑さの研究の増加につながる可能性があります。それはエキサイティングな時間になります。科学が複雑になるにつれて、複雑さがこれまでの物理学で一般的なものとはまったく異なる態度を要求することを理解しなければなりません。今まで、物理学者たちはあらゆる時代とあらゆる場所に当てはまる基本法則を探していました。しかし、複雑なシステムはそれぞれ異なります。明らかに、複雑さに関する一般的な法則はありません。その代わりに、洞察力と理解をもって、あるシステムで学び、他のシステムに適用することができる「教訓」に到達しなければなりません。たぶん物理学の研究は人間の経験のようになるでしょう。

謝辞：NGは、補助金NSF-DMR-93-14938を通じて国立科学財団の部分的な支援を認めています。 LPKは、DOE契約B341495の下でシカゴ大学のASCI Flash Centerによる部分的なサポートを認めています。

図キャプション

図1 格子気体の更新アルゴリズムにおける三段階トップパネルとミドルパネルの間で、各パーティクルは矢印の方向に移動して、最も近い隣接サイトに到着します。次に、サイト上の総運動量がゼロになるたびに粒子は「衝突」します。これらの衝突は、中央パネルと底部パネルの間で起こります。

参考文献とメモ

イリノイ大学アーバナ - シャンペーン校、1110 West Green Street、アーバナ、IL 61801-3080。 Eメール：nigel@uiuc.edu

シカゴ大学物理学科、James Franck Institute、5640 S. Ellis Ave、シカゴ、イリノイ州60615。Eメール：LeoP@UChicago.EDU

Ｕ．Ｆｒｉｓｃｈ、Ｂ．Ｈｅｓｌａｃｈｅｒ、Ｙ．Ｐｏｍｅａｕ、Ｐｈｙｓ。牧師レット。５６、１５０５（１９８６）；Ｊ。Ｊ．Ｈａｒｄｙ、Ｏ．ｄｅＰａｚｚｉｓ、Ｕ．Ｆｒｉｓｃｈ、Ｊ．Ｍａｔｈ。 Phys。 １４，１７４６（１９７３）；Ｍ。 Phys。改訂A13 1949（1976）。

保存則から流体力学を導き出すことに関する初期の研究は、S。ChapmanおよびTG Cowling、 非一様気体の数学理論 （Cambridge University Press、ケンブリッジ、第3 版、1970年）に見出すことができる。

ＡＲＫｅｒｓｔｅｉｎ、Ｊ．Ｆｌｕｉｄ Ｍｅｃｈ。 ２９１，２６１ （１９９７）。 Scott Wunsch、博士論文、シカゴ大学（1998）。実験については、例えば、Ｂ．Ｃａｓｔａｉｎｇ、ｅｔａｌ。 Ｊ．ＦｌｕｉｄＭｅｃｈ。 ２０４、１−３０（１９８９）に記載されている。理論については、E。SiggiaとBoris ShraimanのPhysを参照してください。Ｒｅｖ．Ｅ４９、２９１２（１９９４）。

B.マンデルブロー、 フラクタルと金融のスケーリング：不連続、集中、リスク （Springer-Verlag、New York、1997）。

Ａ．ＫａｔｃｈａｌｓｋｙおよびＰ．Ｆ．Ｃｕｒａｎ、「 生物物理学における非平衡過程」、 （ハーバード大学出版、ケンブリッジ、マサチューセッツ州、１９６７年）。

G. NicolisとI. Prigogine、 非平衡系における自己組織化 （John Wiley、ニューヨーク、1977）。

A.チューリング、 形態形成の化学的根拠 、Phil。トランスロイ。 Soc。 B237 （1952）。

例えば、Leo Kadanoff、A。Libchaber、E。Moses、G。Zocchi、 La Recherche、 22、629（22 Mai、1991年）は、Rayleigh Benard流における相互連結構造の発達について論じている。

Per Bak、Chao Tang、およびKurt Wiesenfeld。 Phys。 牧師レット。 ５９，３８１−３８４（１９８７）；Ｊ。 JM Carlson、JT、Chayes、ER Grannan、GH Swindle、 Phys。 牧師レット 。６５，２５４７−２５５０（１９９０）に記載されている。

PW Anderson、Science 177、393-396（1972）。

Stuart A. Kauffman著『秩序の起源』 （Oxford University Press、オックスフォード、1993年）。 Stuart A. Kauffman 著『 アットホームユニバース』 （オックスフォード大学出版局、オックスフォード、1995）。

☆

力学系は一般的にひとつあるいは複数の微分方程式あるいは差分方程式により表される。これらの方程式は短い時間区間における力学系の挙動を記述するので、より長い時間区間における力学系の挙動を決定するためには、その方程式を積分する必要がある。このためにしばしばコンピュータが効果的に用いられる。

実世界における力学系は散逸的であることが多いとされる。すなわち、もし力学系に運動の駆動力が無ければ、運動は停止するものと考えられている（そのような散逸は、様々な原因による内部摩擦や熱力学的損失、物質の損失などにより生じうる）。散逸と駆動力が組み合わさることにより、初期の摂動を鎮め、その力学系の振る舞いを典型的なものへと落ち着かせる傾向にある。そのような典型的な振る舞いに対応している力学系からなる位相空間の一部分はattracting section または attractee と呼ばれる。

アトラクターに似たような概念として、不変集合や極限集合が挙げられる。不変集合とは、ある力学系に対して、その集合自身に時間発展するような集合のことである。アトラクターは不変集合を含むことがある。極限集合とは、力学系の軌道の各点から、時間が無限大に向かうときに近づく点の集合である。アトラクターは極限集合であるが、アトラクターではない極限集合も存在する。ある種の力学系において、いくつかの点においては極限集合から外れる摂動を与えられた時にも収束するが、他のいくつかの点では「はねとばされて」二度とその極限集合の近くに戻らないことがあり得る。

減衰振子を例に考える。減衰振子は2つの不変集合（不動点）を持つ。最も低い位置にある $x_{0}$ と最も高い位置にある $x_{1}$ である。

軌道は $x_{0}$ に収束するので、 $x_{0}$ は極限集合であるが、 $x_{1}$ は極限集合ではない。エネルギー散逸があるため、 $x_{0}$ はアトラクターでもある。振り子の振動が減衰せず、エネルギーの散逸がなければ、 $x_{0}$ はアトラクターにはならない。

数学的定義編集

f(t, •) を、力学系の運動状態を決定づける関数として、以下のように定義する。ある時間 t = 0 における系の状態を表す位相空間上の点を a とすると、f(0, a) = a である。また、正の値 t > 0 に対しては、f(t, a) はその状態 a が時間 t だけ経過して発展した状態を与える。例えば、一次元空間上で座標 x から速度 v で等速直線運動する粒子（t = 0 での位相空間上での座標が (x, v) ）の力学系の f は

f(t,(x,v))=(x+tv,v),\

と表せる。

アトラクターは、位相空間の部分集合 A で以下の三つの条件を満たすようなものである。

集合 A は関数 f に対し前方不変である。すなわち、a ∈ A ならば、任意の t > 0 に対して f(t, a) ∈ A である。
Aのある近傍で吸引流域 (basin of attraction) B(A) が存在する。B(A) は極限 t → ∞ において集合 A に含まれるすべての点 b からなる集合である。より厳密に言えば、B(A) は以下の性質を満たすようなすべての点 b からなる集合である。
集合 A の任意の開近傍 N に対し、ある正の定数 T > 0 が存在し、f(t, b) ∈ N が任意の実数 t > T に対して成立する。
集合Aの真部分集合で上の二つの性質をみたすようなものは存在しない。

吸引流域は集合 A を含むようなある開集合を含むため、A に十分近いすべての点は A に吸引されることとなる。アトラクターの定義では、考えられている位相空間上の距離を用いたが、基本的には定義の指す内容は距離関数のとり方によらず位相空間のトポロジーにのみ依存する。Rⁿ の場合では、一般的にユークリッドノルムが用いられる。

アトラクターの定義に関しては、文献により多くの異なる定義がなされることがある。例えば、点がアトラクターとなることを避けるためにアトラクターは正の測度を持つべきであると制限をかけたり、B(A)が近傍でなくてはならないという条件を緩めたりしている。

アトラクターの形状の種類編集

アトラクターは力学系の位相空間の部分集合である。1960年代頃の教科書によると、それまではアトラクターは位相空間の「幾何学的な」部分集合（点、直線、曲面、体積領域）であると考えられていた。観測されていた（位相幾何学的に）「悪い」集合（wild sets）は、取るに足らない例外であると考えられていた。スティーヴン・スメイルは彼の考案した蹄鉄型写像が構造安定であること、およびそのアトラクターがカントール集合の構造を持つことを示すことに成功した。

二つの簡単なアトラクターとしては、不動点とリミットサイクルが挙げられる。その他にも多くの幾何学的な集合がアトラクターであり得る。それらの集合（あるいは集合上での動き）を図示することが困難である場合、そのアトラクターはストレンジアトラクターと呼ばれる（後述）。

不動点編集

複素二次多項式に対する弱い意味で吸引的な不動点

一般的に、不動点とは関数の点で変換に対して変化しないものである。

力学系の発展を一連の座標変換の過程の連続であると見做した時、その全ての過程の下で不動のものとして固定し続ける点が存在する可能性がある。一般的にはそのような点は存在しない場合が多いが、存在する場合もあり得る。

落下する小石や、減衰振子や、グラスの中の水などが最終的に落ち着くような状態である最終状態で、ある力学系がそこに向かうようなものは、その発展関数の不動点に対応し、そのような最終状態はアトラクターにおいても起こるであろうが、その二つの概念は同値であるとはいえない。あるボウルの周囲を回るビー玉は、たとえ物理学的な空間においては不動点を持たなくても、位相空間においては持つ可能性がある。そのビー玉が運動量を失い、そのボウルの底に落ち着いたなら、そのビー玉は物理空間および位相空間において一つの不動点を持ち、その力学系のアトラクターに位置することになる。

リミットサイクル編集

詳細は「リミットサイクル」を参照

リミットサイクルは系の周期的軌道であり、孤立している。例えば振り子時計の振り子、ラジオのチューニング回路、安静時の心拍などがそれに当たる。理想的な振り子は軌道が孤立していないのでリミットサイクルではない。理想的な振り子の位相空間では、周期軌道の任意の点に対して別の周期軌道に属する点が存在する。

リミットトーラス編集

リミットサイクルの状態を通しての系の周期的軌道には複数の周期が存在する場合もある。それら周期のうち2つが無理数を形成するとき、その軌道はもはや閉じておらず、リミットサイクルはリミットトーラスとなる。 $N_{t}$ 個の不整合周期があるとき、このようなアトラクターを $N_{t}$ -トーラスと呼ぶ。下図は2-トーラスの例である。このアトラクターに対応する時系列（不整合周期を持つ $N_{t}$ 周期関数の総和を離散標本化したもの。正弦波である必要はない）は「準周期的 (quasiperiodic)」である。そのような時系列は厳密には周期的ではないが、そのパワースペクトルは鋭い線からのみ成る。

ストレンジアトラクター編集

ローレンツのストレンジアトラクターの図（ρ=28, σ = 10, β = 8/3）

非整数次元のアトラクターやカオス理論でしか振る舞いを説明できない力学系のアトラクターをストレンジであると（非形式的に）いう。元はカオスアトラクターと呼ばれていたが、ダヴィッド・ルエールと Floris Takens が流体の力学系における一連の分岐の結果として生じるアトラクターを指してストレンジアトラクターという造語を使用した。ストレンジアトラクターという場合、カントール集合と非可算無限集合の直積構造を持つことが多い。

ストレンジアトラクターの例として、エノンアトラクター、レスラーアトラクター、ローレンツアトラクター、Tamariアトラクターなどがある。

参考文献編集

ウィキメディア・コモンズには、アトラクターに関連するメディアがあります。

Edward N. Lorenz (1996) The Essence of Chaos ISBN 0-295-97514-8
James Gleick (1988) Chaos: Making a New Science ISBN 0-140-09250-1
David Ruelle and Floris Takens (1971年). “On the nature of turbulence”. Communications of Mathematical Physics 20: 167–192. doi:10.1007/BF01646553.
D. Ruelle (1981年). “Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors”. Communications of Mathematical Physics 82: 137–151. doi:10.1007/BF01206949.
John Milnor (1985年). “On the concept of attractor”. Communications of Mathematical Physics 99: 177–195. doi:10.1007/BF01212280.
J. Milnor (main author) Attractor on scholarpedia.
David Ruelle (1989年). Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory. Academic Press. ISBN 0-12-601710-7.
Ruelle, David (2006年8月). “What is...a Strange Attractor?” (PDF). Notices of the American Mathematical Society 53 (7): pp.764–765 2008年1月16日閲覧。.
Ben Tamari (1997年). Conservation and Symmetry Laws and Stabilization Programs in Economics. Ecometry ltd. ISBN 965-222-838-9.

外部リンク編集

ストレンジアトラクターの画像その1、その2、動画
Chaoscope 3次元ストレンジアトラクターを描画するフリーウェア
Attractors 1次元、2次元、3次元のストレンジアトラクターについて
Strange Attractor Javaアプレットによる生成ソフト
Online strange attractors generator

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%A0%E8%AB%96

非線形システム論（ひせんけいしすてむろん、英語: nonlinear system theory）とは、線形システムでないシステム、特に非線形の常微分方程式で表された系を対象とした制御理論であり、その対象は実に多岐に渡る。

その中でも、状態方程式が無限回微分可能であるものについて集中的に研究され、線形システム論の概念の拡張を初め、微分幾何学の概念を応用して多くの成果が出始めている。その流れは大きく分けて

線形近似の有効領域を広げるもの
本質的に線形近似では制御できないもの

の2つがある。前者については、線形システムに変換する線形化が代表的であり、後者については双線形システムや非ホロノミックシステムを対象とした研究が挙げられる。

主な概念編集

モデル表現編集

状態方程式 (state equation)

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,u)\\y&=h(x)\end{aligned}}

とくに入力について1次であるもの

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\\y&=h(x)\end{aligned}}

をアフィン系と呼ぶ。

解析手法編集

平衡点 (equilibrium, equilibria)、平衡多様体 (equiliburium manifold)

f(x,0)=0

または

f(x)=0

を満たす

x

の集合。点の場合は平衡点、多様体の場合は平衡多様体と呼ぶ。また、非線形システムでは異なった複数平衡点が存在することがある。

局所性と大域性 (locality, globality)

線形システムは至る点で原点近傍と相似であるが、非線形システムの場合は一般的には相似でない。そのため、注目している点の近傍での議論（局所性 (locality)）と、全空間での議論（大域性 (globality)）を区別する必要がある。

安定性(stability)

線形システム論では安定性は一意であるが、非線形システムでは複数の異なる概念が多岐に渡って存在するため、安定論として一冊の本が書かれるくらいである。非線形システム論においてよく用いられる安定の概念にリアプノフ安定がある．リアプノフ関数を見つけることで判別できる。線形システムでは以下はいずれも等価である。

安定性 (stability)：状態が有界の範囲に留まり、かつ初期値を平衡点に近づければ状態の上界も平衡点に近づく性質
漸近安定性 (asymptotical stability)：状態が時間が経てばやがて平衡点に収束する性質
指数安定性 (exponential stability)：漸近安定の収束の度合いが指数関数で押えられる性質

可到達性 (reachability)

平衡点にある状態を有限時間内で（平衡点近傍の）任意の点に移すような入力が存在する性質

可制御性 (controllability)

任意の初期状態から有限時間で平衡点に移す入力が存在する性質

相対次数 (relative degree)

出力

y

を繰り返し時間微分して、初めて入力

u

が出てくるまでの回数。これがシステムの次数

n

と一致するようなアフィン系は、可制御な線形システムと等価になる。例えば、

{\begin{matrix}{\dot {y}}&=&y^{(1)}\\\vdots \\{\dot {y}}^{(n-1)}&=&g(x)u\\\end{matrix}}

が成り立つとき、新しい座標を

z_{i}=y^{(i-1)}

、新しい入力を

v=g(x)u

と定義すれば、線形可制御正準形

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\begin{matrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&1&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{n}\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\\1\end{matrix}}\right]v

が得られる。

ゼロダイナミクス (zero dynamics)

出力関数

h(x)

をゼロに保つような入力を与えた時の内部状態の挙動。これが安定であるならば、出力零化制御を行なうだけで全体の安定化が達成できる。

制御系設計編集

線形化 (linearization): 座標変換とフィードバックにより、システムの状態（入出力応答）を線形システムと同じ振る舞いにすることを（入出力）線形化という。平衡点近傍の線形近似が最も基本的だが、大域的に近似誤差なく線形化する厳密な線形化があり、そのための必要十分条件が調べられている。線形化することができれば、あとは線形化されたシステムに対して線形システム論で得られる制御系設計手法を適用することができる。
ダイナミクスベースド制御 (dynamics based control): 厳密な線形化が、言わば強引にシステムの挙動を書き換えているのに対し、系が元来もつ動特性を活かして、スマートな制御系設計を行おうと言うものがダイナミクスベースド制御である。受動歩行に基づいて設計した能動歩行アルゴリズムがその例である。ただし、今のところは国内で用いられることが多い。

線形近似で解決できないシステム編集

双線形システム (bilinear system)

入力の係数が状態量の1次式になっているアフィン系。

{\dot {x}}=f(x)+xu

原点では入力が作用しなくなるシステムである。従って、原点の安定化問題は線形近似によって解決することができない。ダンパの減衰係数を入力とするセミアクティブサスペンションなどは双線形システムの好例である。

非ホロノミックシステム (nonholonomic system)

ホロノミックとは、力学的拘束を分類する言葉で、拘束式が一般化座標の代数方程式に帰着できる（自由度が落ちる）ものを指す。そうでないもの（例えば拘束式が微分方程式で表されるもの）を非ホロノミック拘束と呼び、そのような拘束を受けるシステムを非ホロノミックシステムと呼ぶ。例えば、移動に関する非ホロノミック制約として、自動車の車輪による拘束が好例である。自動車は車輪の制約により、真横に進むことはできないが、適当な経路を経由することで最終的に元の位置の真横の位置に移動することができる、しかし、このような運動を線形近似によって導き出すことはできない。

参考文献編集

石島辰太郎; 石動善久; 三平満司; 島公脩; 山下裕; 渡辺敦『非線形システム論』コロナ社、1993年。ISBN 4-339-08348-8。

NAMs出版プロジェクト

月曜日, 5月 13, 2019

複雑系

数学的定義編集

アトラクターの形状の種類編集

不動点編集

リミットサイクル編集

リミットトーラス編集

ストレンジアトラクター編集

参考文献編集

関連項目編集

外部リンク編集

目次

主な概念編集

モデル表現編集

解析手法編集

制御系設計編集

線形近似で解決できないシステム編集

参考文献編集

関連項目編集

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