木曜日, 10月 12, 2017

マルサスモデル

マルサスモデル - Wikipedia

https://ja.wikipedia.org/wiki/マルサスモデル

ロジスティック方程式(ロジスティックほうていしき、英語:logistic equation[1])は、生物の個体数の変化の様子を表す数理モデルの一種である。ある単一種の生物が一定環境内で増殖するようなときに、その生物の個体数(個体群サイズ)の変動を予測できる。人間の場合でいえば、人口の変動を表すモデルである。

1838年にベルギーの数学者ピエール=フランソワ・フェルフルスト(Pierre-François Verhulst)によって、ロジスティック方程式は最初に発案された。フェルフルストは、1798年に発表されて大きな反響を呼んだトマス・ロバート・マルサスの『人口論』の不自然な点を解消するために、このモデルを考案した[2]。マルサスは『人口論』で、人口は原理的に指数関数的に増加することを指摘した[3]。しかし、実際には環境や資源は限られているため、人口の増加にはいずれブレーキがかかると考えるのが自然である。人口が増えるに連れて人口増加率は低減し、人口はどこかで飽和すると考えられる。ロジスティック方程式はこの点を取り入れて、生物の個体数増殖をモデル化したものである。フェルフルスト以後には、アメリカの生物学者レイモンド・パール(Raymond Pearl)が式を普及させた。


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マルサスモデルによる個体数増加曲線の様子。赤色が m = 4、紫色が m = 2、藍色が m = 1。いずれも最初は N =1 だが、その後の急激な成長が見て取れる。

多くの生物では、親は多くの子孫を作るので、それがそのまま生き残ると仮定すれば、あっという間に莫大な個体数となる。ねずみ算など、数学的小話の種である[18]。まずはこのような単純なものが、生物個体数の増加モデルとして考えられる。

ある個体群において、時刻 t に個体数が N体が存在しているとする。実際の生物個体数は不連続な値(整数)をとるものであるが、数学的扱いを簡便にするために、個体数は連続な値(実数)をとるものとする(1.5体といったような値も含める)ことがしばしば行われる[19]。実際の生物でいえば、個体数が多かったり各個体の世代が重なったりしていれば、このような近似も妥当性を帯びてくる[20][21]。個体数を連続な値とすれば、個体数の増加率は N の時間微分 dN/dt で表すことができる[22]

さらに話を単純化するために、個体は環境を出入りしないという状況を想定する[23]。この場合、個体の出生と死亡という2つの要因のみによって個体数は増減する[23]。個体群の出生率死亡率を上回っていれば、個体数は増え続けるということになる[10]。さらに簡略化するために出生率と死亡率を常に一定であるとする[10]。個体数当たりの出生率を b、個体数当たりの死亡率を d とすれば、個体数の増加率は差し引きした b − d に個体数 N を掛け合わせた値となる[24]。よって個体数増加率 dN/dt は

dN/dtは

{\displaystyle {\frac {dN}{dt}}\ =mN}

dN/dt=mN

という微分方程式で表される[25]。ここで m は比例定数であり、m = b − d である[21]

このような式で表される個体数増加は t の指数関数となり、人間でいえば、あっという間に人口爆発を引き起こすことになる[26]。このような個体群成長のモデルは、生物個体(人口)の増加が幾何級数的であることを最初に指摘したトマス・ロバート・マルサスに因んでマルサスモデルと呼ばれる[27][28]。比例定数 m もマルサスの名からマルサス係数と呼ばれ、単位は一個体当たりの増加率となる[4]

しかし、このモデルは現実と違いすぎる[29]。現実の生物は、限られた環境下で生息しており、個体数が多くなると、各個体にとって必要な資源が得にくくなる[30]。そこに生息できる個体数には上限があると見るのが自然である[31]。つまり、個体数が多くなると、その増加にブレーキがかかるものと想像される[32]。このような一種内での資源の取り合いは種内競争と呼ばれ、生物における競争関係の一種である[33]




生産関数と消費関数がある。

それぞれ上から量を見るか横から勾配を見るかでアプローチが変わる。

4つの経済学があることになる。横から断面を見ると頂上は勾配は緩やかで限界効用、追加効用を示す。

上から見ないとマクロ、全体はわからない。

ただし生産と消費は同一のはずだがどちらを基準にするかで経済学分野が変わる。

生産を起点にすればセイの法則。逆はケインズ。マルクスはセイを批判したが同じ立場だ。

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