円周率についてのライプニッツの公式

　最初に初項が１の次のような数列

　　1 , 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , -1 , 0 , 1 , …

　を考えましょう。この数列は１から始まり、偶数番目の項は

０で奇数番目の項は１と- 1を交互に繰り返します。ちょっと変

わった数列ですが、周期性から三角関数が関係しているのでは、

と見抜けるでしょうか。一般項は　です。

　この数列の母関数は、

　ですが、

瀬山数列の不思議

>>6の調和級数が無限に発散するというのは理解し辛いが

下の図で右が無限に小さくなるのではなく左が無限に大きくなりうると考えればいい

ｌ

ｌｌ

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ｌｌｌｌ・

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ｌｌｌｌｌｌ・

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ｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌｌ：：：：：：：：：：：・・・・・・・

ライプニッツ級数

グレゴリーライプニッツ級数：
$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{2 k - 1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \dots = \frac{π}{4}$

入試でもしばしば出題される非常に有名な無限級数です。メルカトル級数の次に有名な交代級数です。

右辺の無限級数を途中でうち切ったものを計算すれば円周率の近似値を求めることが出来ます（収束が非常に遅いので実際は他の公式が用いられています）。
$A r c t a n$ のマクローリン展開を用いてそれっぽい式を導出することもできますが，マクローリン展開は高校範囲でない上にこの方法では厳密な証明にはなりません。以下ではきちんとした証明を2通り紹介します。
入試でライプニッツ級数の証明を求められるときは誘導がついています。たいてい（というか必ず？）以下の2つのいずれかの方法です。

1674年、ゴットフリート・ライプニッツによって示された級数です。円周率の $\frac{1}{4}$ の値が単純な分数のたし算引き算によって表されます。17世紀末から18世紀初頭、この級数を利用して円周率の近似値計算が行われました。
①ライプニッツ級数
 ②証明
 ③円周率の近似計算

①ライプニッツ級数

ライプニッツ級数とは、1674年、ゴットフリート・ライプニッツによって示された級数です。
まずはどのような級数なのかを見てみます。

ライプニッツ級数

次のような級数をライプニッツ級数という。

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1} = \frac{π}{4}

わかりやすくするために、左辺を書き換えると、

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots

となります。分子が１、分母が奇数の分数を交互に加減していくという意味です。
この操作を無限に行うと、円周率の

\frac{1}{4}

になるというのは不思議ですね。

※このサイトでは、ライプニッツ級数を一般化したものをグレゴリー級数としていますが、まとめて「グレゴリー・ライプニッツ級数」と呼んだり、諸説あるようです。