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● ｄｙ／ｄｘは、ｙのｘに対する限界代替率？ｘのｙに対する限界代替率？ まず、一般的な分数について。１にしたい方を分母に持ってくる。１人当たり生産量とかならＹ／Ｎ。 為替レートなら円／ドル。１ドルという財の価格が、１００円から１５０円に上昇すれば、 ドルという財の価値が上がったのでドル高。ドル高と来れば、円は安。 ○○の××に対する割合は？という文章では、聞きたいのは○○についてなので分子、 基準は××なので分母に持ってくる。ＧＤＰに対する税収の割合なら税収／ＧＤＰ。 ミカン１００円、リンゴ３００円の時、リンゴのミカンに対する相対価格は３。 リンゴの価値で測った（リンゴの価値で表した）ミカンの価値は、 基準がリンゴで、聞きたい主役がミカンなので、１／３。 しかしＸ財２個を減らすならＹ財を３個増やさなければならない時、あるいは交換できる時という文章は、 数字は自身の価値ではなく相手の価値を意味する。よってＸのＹ対する相対価格は３／２。 限界代替率も同様で、Ｘ財のＹ財に対する限界代替率は３／２である。 すなわち、MRSxy＝ｄｙ／ｄｘは、ｘのｙに対する限界代替率。 そういう意味では、為替レートも交換するための比率を表す数値なので、 名目為替レートが１ドル１００円のとき、すなわち１００円／１ドルは、ドルの円に対する相対価格となる。 もしくは円で測ったドルの価値であり、邦貨建て（自国通貨建て）名目為替レートという。 ● 変化率および成長率、インフレ率の定義 「ｔ期」の物価水準の変化率、すなわち「ｔ期」のインフレ率の定義は、 Ｐt－Ｐt-1 ⊿Ｐt πt＝──────＝──── ・・・１Ａ Ｐt-1 Ｐt-1 「ｔ期」の成長率も同じで、分子の１項目がｔ期の変数、２項目および分母は「ｔ－１期の変数」。 最右辺の⊿（でるた）という記号は、「変化分」を意味する。時系列分析（時系列データ）では、「階差」と言う。 「差分」とも言うが、差分方程式においては、⊿ｙt＝ｙt+1－ｙtを意味する。 微分の公式の分子がｆ(ｘ＋ｈ)－ｆ(ｘ)なのに対応させてなのか、前進差分（前方差分）となっている。 Ｐt－Ｐt-1 Ｐt 純インフレ率＝πt＝──────＝───－１ Ｐt-1 Ｐt-1 Ｐt 粗インフレ率＝Πt＝───＝１＋πt ・・・１Ｂ Ｐt-1 （名目および実質）金利にも純と粗の概念があり、 利子 純利子率＝───＝ｉt、ｒt 元本 利子＋元本 粗利子率＝──────＝１＋ｉt、１＋ｒt 元本 １００円の元本に対して、５円の利子が付く場合には、純利子率は０．０５、粗利子率は１．０５となり、 粗利子率は元利合計を意味する。 ● フィッシャー方程式と、学部レベルの近似式 ｔ期において、Ｐt円を名目金利(１＋ｉt)で運用したものは、ｔ＋１期にその元利が得られるので、 ｔ＋１期の期待物価水準、Ｐeｔ+1で割って、実質的な利回り＝実質金利(１＋ｒt)を求めると、 (１＋ｉt)Ｐt Ｐeｔ+1 １＋ｒt＝─────── → (１＋ｒt)(────)＝１＋ｉt Ｐeｔ+1 Ｐt 左辺の２つ目の括弧の中で１を足して引くと、 Ｐeｔ+1 Ｐeｔ+1－Ｐt (１＋ｒt)(１＋────－１)＝(１＋ｒt)(１＋───────)＝１＋ｉt Ｐt Ｐt → (１＋ｒt)(１＋πet+1)＝１＋ｉt ・・・２Ａ 学部レベルの近似式としてよく出てくるのが、 １＋ｚ＝(１＋ｘ)(１＋ｙ) → １＋ｚ＝１＋ｘ＋ｙ＋ｘｙ において、ｘおよびｙが非常に小さい値ならば、右辺４項目の「ｘｙ」はほとんど０に近いので無視できると考え、 １＋ｚ＝(１＋ｘ)(１＋ｙ) → ｚ＝ｘ＋ｙ ・・・２Ｂ と近似できる。そこで２Ａ式に２Ｂ式の近似を当てはめてみると、 １＋ｉt＝(１＋ｒt)(１＋πet+1) → ｉt＝ｒt＋πet+1 ・・・２Ｃ というフィッシャー方程式が得られる。 よく学部マクロにおいては、フィッシャー方程式は、ｉt＝ｒt＋πetとなっているが、 厳密には、期待インフレ率はπetではなく、πet+1である。 学部レベルでは特に問題ないので、わかりやすくそうしているが、 院以上の上級になると、ちゃんとπet+1となっているので注意しよう。 ● ｌｎ(１＋ｘ）＝ｘ、という近似 ｙ＝ｌｎ(１＋ｘ)とすると、 ｄｙ １ ───＝──── ｄｘ １＋ｘ ｙ＝ｌｎ(１＋ｘ)のグラフにおいて、ｘ＝０のときの接線の傾きは１となることを意味する。 ということは、その接線のグラフというのは、ｙ＝ｘを意味する。 ｘ＝０のときに成り立つ関係なので、ｘが十分に小さく、０に近ければ、次のような近似が成り立つ。 ｌｎ(１＋ｘ)＝ｘ ・・・３ ２Ｃ式のフィッシャー方程式の導出にも、この近似は使えて、２Ｃ式の両辺の対数を取ると、 ｌｎ(１＋ｉt)＝ｌｎ(１＋ｒt)＋ｌｎ(１＋πet+1) → ｉt＝ｒt＋πet+1 ・・・２Ｃ ｚ＝ｘ^2とか、ｚ＝ｘｙという関数は、次数は２次であり、非線形である。 ｚ＝ｘｙの両辺の対数を取ると、ｌｎｚ＝ｌｎｘ＋ｌｎｙとなり、対数線形化という。 ● 対数差分＝成長率（変化率） ｘt ｌｎｘt－ｌｎｘt-1＝ｌｎ(───) ｘt-1 右辺の括弧の中で、１を足して引くと、 ｘt ｘt－ｘt-1 ｌｎｘt－ｌｎｘt-1＝ｌｎ(１＋───－１)＝ｌｎ(１＋──────) ｘt-1 ｘt-1 ３式の近似式より、 ｘt－ｘt-1 ｌｎｘt－ｌｎｘt-1＝────── ・・・４ ｘt-1 ● テイラー展開による近似（テイラー近似） ｆ(x)という関数の、点ａ近傍での、１次のテイラー展開（原点の０近傍だとマクローリン展開）の公式は、 ｆ(x)＝ｆ(a)＋ｆ'(ａ)(ｘ－ａ) ２変数関数の、点(ａ,ｂ)近傍で、１次のテイラー展開の公式は、 ∂ｆ(a,b) ∂ｆ(a,b) ｆ(x,y)＝ｆ(a,b)＋─────(ｘ－ａ)＋─────(ｙ－ｂ) ∂ｘ ∂ｙ ｌｎΠt＝ｌｎ(１＋πt)をマクローリン展開（原点の０近傍でテイラー展開）すると、ｌｎ１＝０より、 １ ｌｎ(１＋πt)＝ｌｎ１＋────(πt－０)＝πt → ｌｎ(１＋πt)＝πt ・・・３’ １＋０ すなわち、３式の近似式はテイラー近似（マクローリン近似）からでも導出可能。 また粗インフレ率の対数を取ると、純インフレ率になることを意味する。 純と粗の関係で面白いのが、実質金利で説明するとして、純利子率＝ｒt、粗利子率＝１＋ｒt＝Ｒtとすると、 Ｒt－Ｒt-1 粗利子率の変化率＝──────＝ｌｎＲt－ｌｎＲt-1＝ｒt－ｒt-1＝純利子率の差分 Ｒt 純利子率の差分を用いると便利なのは、純利子率が３％から４．５％に変化したとき、 差分なら１．５％増だが、変化率だと５０％増となってしまうからだ。 利子率とかインフレ率などは、最初から変化率を表す数値なので、差分で定義することが多い。 上級マクロで最初に利子率を粗利子率と定義することが多い理由も、 その後の式展開で対数線形近似することが多く、粗利子率を対数線形近似すると、純利子率（の差分）になるためだ。 閑話休題。ｌｎｘtをｘt-1の近傍で１次のテイラー展開すると、 １ ｘt－ｘt-1 ｌｎｘt＝ｌｎｘt-1＋───(ｘt－ｘt-1) → ｌｎｘt－ｌｎｘt-1＝────── ・・・４ ｘt-1 ｘt-1 すなわち、４式の対数差分＝成長率（変化率）という公式は、テイラー近似（マクローリン近似）からも導出可能。 対数も取っていることから、対数線形近似という。 ● 全微分と成長会計 生産関数：Ｙ＝ＡＦ(Ｋ,Ｌ)＝Ａ(Ｋ^α)(Ｌ^1-α) 以下、コブダグラス型とする。 で全微分の公式を説明すると、 ∂Ｙ ∂Ｙ ∂Ｙ ｄＹ＝───ｄＡ＋───ｄＫ＋───ｄＬ ・・・５Ａ ∂Ａ ∂Ｋ ∂Ｌ 「∂」という偏微分の記号は、「でる」と打って変換すると出てくる。 ∂Ｙ Ｙ ───＝Ｆ(Ｋ,Ｌ)＝── ∂Ａ Ａ ∂Ｙ Ｙ ───＝αＡ(Ｋ^α-1)(Ｌ^1-α)＝α── ・・・５Ｂ ∂Ｋ Ｋ ∂Ｙ Ｙ ───＝(１－α)Ａ(Ｋ^α)(Ｌ^-α)＝(１－α)── ・・・５Ｃ ∂Ｌ Ｌ を踏まえると５Ａ式は、 Ｙ Ｙ Ｙ ｄＹ＝──ｄＡ＋α──ｄＫ＋(１－α)──ｄＬ ・・・５Ｄ Ａ Ｋ Ｌ 両辺をＹで割ると、 ｄＹ ｄＡ ｄＫ ｄＬ ───＝───＋α───＋(１－α)─── ・・・５Ｅ Ｙ Ａ Ｋ Ｌ ｄＹを変化分⊿Ｙと考えると、 生産の成長率＝技術進歩率＋α×資本の成長率＋(１－α)×労働の成長率 ・・・成長会計 という３つの成長率に要因分解できることを意味する。 ● 対数差分で成長会計 対数差分なので、まずは時間の変数であることを示すため、ｔという番号（添え字）を付けてみよう。 生産関数：Ｙt＝ＡtＦ(Ｋt,Ｌt)＝Ａt(Ｋt^α)(Ｌt^1-α) 両辺の対数を取り、ｔ＋１期の式も用意すると、 ｌｎＹt＝ｌｎＡt＋αｌｎＫt＋(１－α)ｌｎＬt ・・・６Ａ ｌｎＹt+1＝ｌｎＡt+1＋αｌｎＫt+1＋(１－α)ｌｎＬt+1 ・・・６Ｂ ６Ｂ式から６Ａ式を引くと、 ｌｎＹt+1－ｌｎＹt ＝(ｌｎＡt+1－ｌｎＡt)＋α(ｌｎＫt+1－ｌｎＫt)＋(１－α)(ｌｎＬt+1－ｌｎＬt) ・・・６Ｃ ４式より、対数差分＝成長率なので、 Ｙt+1－Ｙt Ａt+1－Ａt Ｋt+1－Ｋt Ｌt+1－Ｌt ──────＝──────＋α──────＋(１－α)────── ・・・成長会計（離散的） Ｙt Ａt Ｋt Ｌt ● 対数微分＝対数を取って時間微分＝成長率（変化率）と、成長会計 Ｙtを時間ｔの関数と考えて、ｔについて微分すると、時間微分は瞬間的な「変化」を意味するので、 差分の記号⊿と区別して、ドット（・）を用いて、 ｄＹt ・ ────＝Ｙt ｄｔ と表記する。Ｙtの対数を取って時間微分した場合は、合成関数の微分を用いて、 ・ ｄｌｎＹt ｄｌｎＹt ｄＹt Ｙ ─────＝─────・────＝─── ・・・７Ａ ｄｔ ｄＹt ｄｔ Ｙt ７Ａ式は瞬間的な「成長率」を意味する。 生産関数：Ｙt＝ＡtＦ(Ｋt,Ｌt)＝Ａt(Ｋt^α)(Ｌt^1-α) について、対数微分すると、まずは対数を取って、 ｌｎＹt＝ｌｎＡt＋αｌｎＫt＋(１－α)ｌｎＬt ・・・６Ａ 時間ｔについて微分すると、 ・ ・ ・ ・ Ｙt Ａt Ｋt Ｌt ───＝───＋α───＋(１－α)─── ・・・成長会計（連続的） Ｙt Ａt Ｋt Ｌt ちなみに、全要素生産性（ＴＦＰ）とソロー残差の違いは、 全要素生産性（ＴＦＰ）：Ａt ⊿Ａt ⊿Ｙt ⊿Ｋt ⊿Ｌt ソロー残差：────＝────－α────－(１－α)──── Ａt Ｙt Ｋt Ｌt ＴＦＰというのは観測できないので、成長会計と観測できるＹ、Ｋ、Ｌから求めた⊿Ａt／Ａtが、ソロー残差。 ● オイラーの定理 ｍ次の同次関数というのは、ＫとＬという変数を同時にλ倍すると、Ｙはλ^m倍になるような関数で、 Ｙ＝Ｆ(Ｋ,Ｌ) → λ^mＹ＝Ｆ(λＫ,λＬ) ・・・８Ａ オイラーの定理の導出で面白いのは、その「λで微分する」こと。 とはいえ、変数はＫとＬなので、λＫ＝ｋ、λＬ＝ｌとでもおいて、合成関数の微分を使って、 ∂Ｆ ∂Ｆ ｍλ^m-1Ｙ＝───・Ｋ＋───・Ｌ ∂ｋ ∂ｌ λは２倍であっても３倍であっても別に構わないので、単純にλ＝１とすると、 ∂Ｆ ∂Ｆ ｍＹ＝───Ｋ＋───Ｌ ・・・オイラーの定理 ∂Ｋ ∂Ｌ ｍ次同次関数には、このような関係が成り立つことを示したのが、オイラーの定理。 生産性を表すＡを除けば、全微分の５Ａ式とよく似ているように見えるかもしれないが、違いをよく確認しよう。 さらに１次同次関数ならば、ｍ＝１となるので、 ∂Ｆ ∂Ｆ Ｙ＝───Ｋ＋───Ｌ ・・・８Ｂ ∂Ｋ ∂Ｌ 一方、利潤最大化条件から、π＝実質利潤、ｒ＝実質利子率、ｗ＝実質賃金とすると、 π＝Ｆ(Ｋ,Ｌ)－ｒＫ－ｗＬ ∂π ∂Ｆ ───＝０ → ───＝ｒ ・・・８Ｃ ∂Ｋ ∂Ｋ ∂π ∂Ｆ ───＝０ → ───＝ｗ ・・・８Ｄ ∂Ｌ ∂Ｌ それぞれの結果（最適化の１階の条件とか、英語だとＦＯＣという）を８Ｂ式に代入すると、 Ｙ＝ｒＫ＋ｗＬ ・・・８Ｅ すなわち、生産関数が１次同次関数で、規模に関して収穫一定の経済では、生産物は生産要素に分配され尽くす。 従って、（会計学的な利潤は別として）経済学的な利潤は、「常に０」なのである。 規模に関して収穫一定ということは、長期平均費用曲線は水平となることからもわかるだろう。 ただし企業単位で規模に関して収穫一定でなくとも、産業全体の長期供給曲線は参入によって水平となるので、 長期的にはやはり利潤はゼロになる。 経済学の分野では、オイラーの定理と言えば、８Ｅ式のことを指すことがほとんど。 最近では、８Ｅ式は「完全分配定理」と言われるみたい。 またコブ＝ダグラス型の生産関数の場合、５Ｂ式と５Ｃ式より、 ｒＫ ∂Ｆ Ｋ Ｙ Ｋ ───＝───・──＝α──・──＝α Ｙ ∂Ｋ Ｙ Ｋ Ｙ ｗＬ ∂Ｆ Ｌ Ｙ Ｌ ───＝───・──＝(１－α)──・──＝１－α Ｙ ∂Ｌ Ｙ Ｌ Ｙ すなわち、生産量Ｙに占める（こちらは平均概念）、資本所有者への支払いと、労働者への支払いの割合は、 それぞれコブ＝ダグラス型生産関数のパラメータである、αと１－αの割合になる。 途中の式展開が（偏）弾力性であることにも注意しよう。 ● 指数、複利計算、成長率 まず基本的な用語の確認。 ｚ＝２ｘ＋ｙの次数は１ ｚ＝２ｘｙやｚ＝ｘ^2の次数は２。 ｚ＝２ｘｙやｚ＝２ｘは単項式 ｚ＝２ｘ＋ｙのように＋や－で結ばれていると多項式 ｚ＝２ｘ^3ｙ^2＋３ｘ^4＋４ｙ＋５という多項式の次数は、各項の中で最大の次数である５。 ちなみに、変数や関数のｘ1,ｘ2,・・・,ｘnの線形結合（１次結合）とは、定数ａ1,ａ2,・・・,ａnを用いて、 ａ1ｘ1＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn。 ｙ＝ｘ^10 ・・・９Ａ ｙ＝３^x ・・・９Ｂ ９Ａ式は単なる１０次の関数だが、９Ｂ式のような関数は「指数関数」という。 指数の部分が変数となっており、９Ｂ式における「３」の部分は「底」という。 この指数関数というのは恐ろしい関数で、９Ａ式と９Ｂ式のそれぞれのｘに、 ２，５，１０，２０，３０，４０，５０，７０，１００ という数字を１つずつ代入して計算してみると、最終的に１００を代入した時に得られる解の桁数は、 ９Ａ式では２１桁、９Ｂ式では４７桁になる。 グラフに描くと、最初の内は９Ａ式の方が上に位置するのだが、途中で９Ｂ式の方が上回って伸びていく。 「指数関数的（ねずみ算式）に増加」という言葉が使われるぐらい、 途中までは増加の仕方が緩やかなのだが、ある一定の時間や水準を越えると爆発的に増加する怖い関数なのである。 人口増加、ウイルス感染、ねずみ講などの話題でよく出てくる。最近だとドーマーの定理とか。 また９Ｂ式の指数関数に、１，２，３，・・・と正の整数を順次代入して計算した結果を並べると、 ３，９，２７，・・・ つまり等比数列となっている（公比は３）。 指数関数の底＝等比数列の公比 一方、対数関数については、 Ｙ＝ｌｏｇａＸ ａ＝底、Ｘ＝真数 指数関数に直すと、Ｘ＝ａ^Y となる。つまり指数関数の逆関数が対数関数（その逆も然り）。 ・ 離散型の複利計算 Ａ円を年間利子率ｒで運用したとき、複利計算では、得られた利子にもさらに利子が付く。 １年目の元利合計：Ａ(１＋ｒ) ２年目の元利合計：Ａ(１＋ｒ)^2 ３年目の元利合計：Ａ(１＋ｒ)^3 ・・・ ・・・ ｔ年目の元利合計：Ａ(１＋ｒ)^t＝Ｖt ・・・９Ｃ この複利計算はＡ円がｒの率で成長していることを意味し、１＋ｒは等比数列の公比とも言える。 例えば１年目から２年目に向かっての成長率は、 Ａ(１＋ｒ)^2－Ａ(１＋ｒ) ─────────────＝ｒ Ａ(１＋ｒ) ９Ｃ式から、逆にｔ期の変数であるＶtの割引現在価値は、 Ｖt Ａ＝──────＝Ｖt(１＋ｉ)^-t ・・・９Ｄ (１＋ｒ)^t 何かの変数に(１＋ｒ)^-tを乗じていれば、それは割引現在価値に直していることを意味する。 ・ 連続複利と（瞬間）成長率 まず「ネイピアのｅ」という（自然対数の底）を紹介しよう。その定義は、 １ ｅ＝(１＋──)^n＝２．７１８２８・・・ ｎ １０を底とした対数は常用対数、ｅという定数を底とした対数は自然対数という。 前者の記号ｌｏｇ、後者の記号をｌｎとする場合もあるが、後者の自然対数もｌｏｇと表記することが多い。 離散型の所では、ｒを「年間」利子率としたが、世の中には「半年複利」とか「３ヶ月複利」などもある。 たとえば年間利子率６％とすると、半年複利で利子を付ける場合、 半年後に半分の３％の利子を付け、複利なのでそれを元金に加えた上で、残りの半年後に３％の利子を付ける。 従って１年後の元利合計の増え方は、６％より少し多くなる。 元金をＡ、ｔ年後の元利合計をＶtとすると、まず利子率ｒで年複利の場合には、 Ｖt＝Ａ(１＋ｒ)^t ・・・９Ｃ 半年複利の場合には、 ｒ Ｖt＝Ａ(１＋──)^2t ２ ３ヶ月複利の場合には年に４回なので、 ｒ Ｖt＝Ａ(１＋──)^4t ４ 無限に短い期間ごとに複利計算を行う「連続複利（瞬間複利）」は、 ｒ ｒ Ｖt＝ｌｉｍＡ(１＋──)^nt＝ｌｉｍＡ(１＋──)^(n/r)(rt)＝Ａｅ^rt ・・・９Ｅ ｎ→∞ ｎ ｎ→∞ ｎ ９Ｅ式は離散型の９Ｃ式と対応している。ということは９Ｄ式との関係からもわかるように、 Ａ＝Ｖtｅ^-rt ・・・９Ｆ ９Ｆ式のように、何かの変数にｅ^-rtが乗じてあれば、それは割引現在価値に直していることを意味する。 ９Ｄ式と９Ｆ式の関係から、(１＋ｒ)^-t と ｅ^-rt がパラレルであることがわかる。 Ｖtの瞬間的な成長率は、 ｄＶt／ｄｔ＝ｒＡｅ^rt＝ｒＶt ｄＶt／ｄｔ ｒＶt Ｖtの（瞬間）成長率＝──────＝────＝ｒ Ｖt Ｖt 対数差分でも求めてみよう。９Ｅ式と１期前の式も用意して、両辺の自然対数を取ると、 ｌｎＶt＝ｌｎＡ＋ｒｔ ｌｎＶt-1＝ｌｎＡ＋ｒ(ｔ－１) ｌｎＶt－ｌｎＶt-1＝ｒ ちなみに所得（ＧＤＰ）や元本が、成長率や利子率によって複利的に増加していくとき、 連続的なら指数関数的に、離散的なら幾何級数的に増加するという。 ・ ７０の法則 元本や初期値（基準値）が複利的に増加していくとき、 ２倍になるまで何年掛かるかを簡単に計算できるのが７０の法則。 利子率や成長率のｒは今まで０．０５とかだったが、今度は５％の５という数字をｒで表記すると、 ｒ Ｖt＝Ａ(１＋────)^t １００ ＶtがＡの２倍になるということは、Ｖt／Ａ＝２だから、 ｒ ２＝(１＋────)^t １００ 両辺の自然対数を取ると、真数に付く指数（ｔ）は、ｌｎの前に係数として出せるので、 ｒ ｌｎ２＝ｔ・ｌｎ(１＋────) １００ ｌｎ２≒０．７なので、３式のｌｎ(１＋ｘ)＝ｘという近似より、 ０．７＝ｔ・(ｒ／１００) → ７０＝ｒｔ つまり利子率や成長率と、年数ｔを掛けて７０になると、元本や初期値（基準値）が２倍になることを意味する。 例えば、利子率が５％だったのなら、元本は１４年で２倍になると計算ができる。 ・ たかが１％、されど１％。 「バロー＝サラ・イ・マーティンの内生的経済成長論」の序章にあるように、 成長率が１％違うだけで、同じ初期値から出発しても、何十年後かには所得（ＧＤＰ）は数倍違う。 例えば所得の初期値をＡとして、成長率を２％（ｔ年後の所得をＧt）と３％（ｔ年後の所得をＨt）で比べた時、 所得の違いが２倍（Ｈt＝２Ｇt）となるのに何年掛かるか計算してみよう。 Ｇt＝Ａ(１＋０．０２)^t Ｈt＝Ａ(１＋０．０３)^t Ｈt＝２Ｇt → Ａ(１＋０．０３)^t＝２Ａ(１＋０．０２)^t ２＝(１．０３／１．０２)^t＝(1.00980392156863)^t 両辺の自然対数を取ると、 ｌｎ２＝ｔ・ｌｎ(1.00980392156863) 関数電卓（検索するとＷＥＢ上でできるのがある）を使って計算すると、 ｔ＝0.69314718055995÷0.00975617494537＝７１年 ３倍になるには１１２年。１％成長と２％成長の比較でも７０年で２倍となる。 逆に言えば、もし３５年前からの成長率が２％低ければ、今頃、人々の所得は現在の半分しかないことになる。 ● 割引率と割引因子の違い 投資理論や資産価格の式における割引現在価値を求めるときの利子率を割引率と呼ぶ。 一方、将来の消費から得られる効用を割り引くときの割引率は、単に割引率と言われることも多いが、 主観的割引率と言われることも多い。 例えば異時点間の消費の動学的最適化から得られるオイラー方程式には、 予算制約式から将来の所得を割引現在価値に直すときの１＋利子率（１＋ｒ）と、 効用関数の方から将来の消費を主観的に割り引く１＋主観的割引率（１＋ρ）の両方が含まれる。 主観的割引率は、時間選好率とも言われ、 主観的割引率＝時間選好率＝「現在」選好率と覚えておけばいい 現在が好きなほど、消費を将来に先延ばししたり将来得られる効用の価値は低くなる。 従って時間選好率が大きいほど、将来の価値を大きく割り引く。割引率と割引因子の違いは、 １ １ ──────＝────────＝β （β≦１） １＋割引率 １＋時間選好率 β＝割引因子 ● １階の自己回帰過程とホワイトノイズの簡単な紹介。 ｘt＝ρｘt-1＋εt ・・・Ａ １階の自己回帰モデル（１階の自己相関モデル）とかＡＲ(1)モデルとも言われる。 字の通り１つ前の自分自身と相関してる形。 右辺第２項のεtは、定式化したモデルと実際に発生したデータとの間に生まれる誤差。ホワイトノイズと仮定する。 そのホワイトノイズとは、期待値＝０、分散＝σで一定、Ｃｏｖ(εt,εs)＝Ｅ(εtεs)＝０（自己相関なし）。 なんのことかと思われるだろうが、ようは期待値を取ると消えるので、有って無いようなもの。気にしなくていい。 ρ＝１だと有名な単位根、その中でもＡ式は定数項が無いのでランダムウォークと言われる。 Ａ式を見ればわかるように、εtを無視すれば１つ前の値にρをかけた値になるということは、 初項をｘ0とすれば、１期以降をずらっと並べると、 ρｘ0、ρ^2ｘ0、ρ^3ｘ0、ρ^4ｘ0、ρ^5ｘ0、、、、、、、、 という等比数列になる。 ● 数列の基礎 まず数列の基礎として、斉藤他マクロの１４－７式、１４－１６式、１５－１４式の導出は、よく出てくる基本。 http://www.econ.hit-u.ac.jp/~makoto/education/Part_4_ch_14.pdfでは、 １４－３－５、１４－６－１がそれらに該当。ポイント１４－２の配当がｇの率で成長する公式も一応。 http://www.econ.hit-u.ac.jp/~makoto/education/Part_4_ch_15.pdfでは、１５－３－２になる。 ＰＤＦの方では１４－１６式の導出は書かれてないので一応 Ｂ ｔ－ｇ Ｍ π ――＝――――＋――・―― 統合予算制約式 Ｐ ｒ Ｐ ｒ ｔ－ｇ １ Ｍ ＝Σ―――――― ＋ Σ[――――――・――π] １≦ｉ≦∞ (１＋ｒ)^i (１＋ｒ)^i Ｐ （ＰＤＦでは、２行目の右辺第２項の一番右端が(Ｍ／Ｐ)(π／ｒ)となっているが、間違いだろう。 教科書ではちゃんと(Ｍ／Ｐ)πとなっている。） ２行目の導出は、等比級数の公式を用いている。 例えば右辺第１項は、初項が(ｔ－ｇ)／(１＋ｒ)で、公比が１／(１＋ｒ)なので、 無限等比級数の公式＝初項／(１－公比)を用いると、 (ｔ－ｇ) １ (ｔ－ｇ) ―――――・――――――――――＝――――― (１＋ｒ) １－[１／(１＋ｒ)] ｒ ● 離散時間モデルでの最適化問題 目的関数＝Σｆ(ｃt,ｋt)と、制約条件式がｋt－ｋt-1＝ｇ(ｃt) Σが出てきたらとりあえずｔ＝１～３ぐらいにして具体的に書き出してみる。 では実際にラグランジュ関数を作ってみよう。 L(ｃt,ｋt,λt)＝ｆ(ｃ1,ｋ1)＋ｆ(ｃ2,ｋ2)＋ｆ(ｃ3,ｋ3) ＋λ1{ｇ(ｃ1)＋ｋ0－ｋ1}＋λ2{ｇ(ｃ2)＋ｋ1－ｋ2}＋λ3{ｇ(ｃ3)＋ｋ2－ｋ3} ｔ＝１,２,３ 例えば、ｃ2で微分すれば、上式の２項目と５項目しか出てこない。後は微分で全部消える。 ｋ2で微分すれば、２項目と５項目と６項目で微分するだけ。 一般化してｔで考えても一緒。ｔの範囲を第１期から無限大まで考えても、 １,２,・・・,ｔ－１,ｔ,ｔ＋１,・・・∞ の中の ｔ が出てくる部分だけｃtなりｋtで微分すればいいだけ。 ● 加藤涼のマクロ講義のｐ219～220について。 問題Ｐの最適化（微分してゼロ）問題を解けば、ｃtとａtの経路は決まるので、 後はｙtの経路が決まればいいということで、ｙtは１階の自己回帰過程に従うと仮定し、 ｃt^σ＝βＲｃt+1^σ ・・・1 ＜オイラー方程式 ａt+1＝Ｒ×(ａt－ｃt)＋ｙt ・・・2 予算制約式 ｙt+1＝ρｙt ・・・3 ＜所得の遷移式 まず2式から2’式の導出。2式を変形すると、 ａt＝(1/R)(ａt+1－ｙt)＋ｃt ・・・2A ここからが基本としてよく出てくる式展開（逐次代入）で、まずは2A式は全ての期で成り立つので、 １期ずつ先に進めた式をずらっと並べる（将来に向かって展開とか、フォワードに展開と表現するみたいだ）。 ａt+1＝(1/R)(ａt+2－ｙt+1)＋ｃt+1 ・・・2B ａt+2＝(1/R)(ａt+3－ｙt+2)＋ｃt+2 ・・・2C ａt+3＝(1/R)(ａt+4－ｙt+3)＋ｃt+3 ・・・2D ・ ・ ・ とりあえず、2Dを2Cに代入すると、 ａt+2＝(1/R)×[(1/R)(ａt+4－ｙt+3)＋ｃt+3－ｙt+2]＋ｃt+2 ＝(1/R)^2(ａt+4－ｙt+3)＋(1/R)(ｃt+3－ｙt+2)＋ｃt+2 ・・・2C’ さらに2C’を2Bに代入すると、 ａt+1＝(1/R)×[(1/R)^2(ａt+4－ｙt+3)＋(1/R)(ｃt+3－ｙt+2)＋ｃt+2－ｙt+1]＋ｃt+1 ＝(1/R)^3(ａt+4－ｙt+3)＋(1/R)^2(ｃt+3－ｙt+2)＋(1/R)(ｃt+2－ｙt+1)＋ｃt+1 ・・・2B’ さらに2B’を2Aに代入すると、 ａt＝(1/R)×[(1/R)^3(ａt+4－ｙt+3)＋(1/R)^2(ｃt+3－ｙt+2) ＋(1/R)(ｃt+2－ｙt+1)＋ｃt+1－ｙt]＋ｃt ＝(1/R)^4(ａt+4－ｙt+3)＋(1/R)^3(ｃt+3－ｙt+2) ＋(1/R)^2(ｃt+2－ｙt+1)＋(1/R)(ｃt+1－ｙt)＋ｃt ・・・2A’ となる。2D式からはじめたので、(1/R)^4ａt+4の部分が残っているが、 もっと無限の将来から逐次代入を繰り返してきたと考えた上で、 2A’式をｃtとｙtのそれぞれでいったん整理してみよう。 ｃtの項目＝・・・＋(1/R)^3ｃt+3＋(1/R)^2ｃt+2＋(1/R)ｃt+1＋ｃt ＝Σｃt+j(1/R)^j ０≦ｊ≦∞ ｙtの項目＝・・・－(1/R)^4ｙt+3－(1/R)^3ｙt+2－(1/R)^2ｙt+1－(1/R)ｙt ＝－(1/R)Σｙt+j(1/R)^j ０≦ｊ≦∞ すなわち、ａt＝Σｃt+j(1/R)^j－(1/R)Σｙt+j(1/R)^j ・・・2’となる。 ここで、2A’式の(1/R)^4ａt+4の部分は最終的に無限大にまで行くと、 lim(1/R)^j・ａt+j＝０ ｊ→∞ と仮定している。無限先における終端条件で、横断性条件とかＮＰＧ条件という。 ｔ＝∞において横断性条件はａt＞０を否定し、ＮＰＧ条件はａt＜０を否定する。 前者は資産を残したまま死ぬことはなく、後者は借金を残したまま死ぬこともないという意味。 代表的個人の無限先についてなので経済全体に関する地球最後の日と思えばいい。 このような終端条件を仮定しておかないと無限先を扱えない。 次に1式と3式について。 ｃt^-σ＝βRｃt+1^-σ ・・・1 ｙt+1＝ρｙt ・・・3 まず1式は、1/σ＝ｚとすると、今期の値ｃtにβR^zをかければ来期の値ｃt+1になることを意味する。 １／ｃt^σ＝βR／ｃt+1^σ ・・・1A βRｃt^σ＝ｃt+1^σ ・・・1B 両辺をｚ乗すると、 (βR^z)ｃt＝ｃt+1 ・・・1C ｃ0からスタートするとして、第１期の値は(βR^z)ｃ0、以降ずらっと並べてみると、 ｃ0、(βR^z)ｃ0、(βR^z)^2ｃ0、(βR^z)^3ｃ0、・・・と単なる等比数列になる。 3式も同じ。βR^zの部分がρとなるだけ。そこでｊ期について書き直す。 ｃt、(βR^z)ｃt、(βR^z)^2ｃt、(βR^z)^3ｃt、・・・(βR^z)^jｃt ｃt+j＝(βR)^(j/σ)ｃt ・・・1A ｙt+j＝(ρ^j)ｙt ・・・3A これらを2’に代入すると、 ａt＝Σｃt(1/R)^j(βR)^(j/σ)－(1/R)Σｙt(1/R)^j(ρ^j) ０≦ｊ≦∞ ＝Σｃt(R)^-j(βR)^(j/σ)－(1/R)Σｙt(1/R)^j(ρ^j) ＝Σｃt(R)^-j(R)^(j/σ)(β)^(j/σ)－(1/R)Σｙt(1/R)^j(ρ^j) ＝ΣｃtＲ^[(j/σ)-j](β)^(j/σ)－(1/R)Σｙt(1/R)^j(ρ^j) (j/σ)－ｊ＝[(1/σ)－１]ｊ なので、1/σ＝ｚ、(1/σ)－１＝ｗ、Ｒ＝１＋ｒとすると ＝Σｃt(β^z・Ｒ^w)^j－(1/R)Σｙt(ρ/R)^j ０≦ｊ≦∞ ＝[１／(１－β^zＲ^w)]×ｃt－[１／(１＋ｒ－ρ)]×ｙt ｃt＝[１／(１－β^zＲ^w)]×[ａt＋ｙt／(１＋ｒ－ρ)]＝γ1ａt＋γ2ｙt 経済学ノートのトップページに戻る |
posted by yoji at 8:35 午後
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