日曜日, 1月 17, 2016

ラムゼー・モデル


　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 経済学、リンク::::::::::）

ラムゼイ「貯蓄の数学的理論」1928年、F.R.Ramsey,”A Mathematical Theory of Saving”
http://nam-students.blogspot.jp/2016/03/1928frramseya-mathematical-theory-of.html
NAMs出版プロジェクト: 宇沢弘文(1928~2014)：メモ
http://nam-students.blogspot.jp/2016/03/blog-post_10.html
ケインズ『貨幣論』1929,『貨幣改革論』1923,『確率論』1921：メモ  
http://nam-students.blogspot.jp/2015/10/1979-john-maynard-keynes-treatise-money.html
NAMs出版プロジェクト: ブランチャード＆フィッシャー 『マクロ経済学講義』：目次
http://nam-students.blogspot.jp/2015/09/blog-post_34.html #2,7
NAMs出版プロジェクト: ラムゼー・モデル
http://nam-students.blogspot.jp/2016/01/blog-post_17.html（本頁）



動学マクロ経済学と言う名の非線形連立方程式を解いてみる


動学マクロ経済学に関する蓮見氏のレクチャーノートを拝読していて、もう少しRのソースコード部分に補足説明があったほうが分かりやすい気がしたので、ラムゼー・モデル（Ramsey–Cass–Koopmans model）に関して紹介してみたいと思います。

このモデルは連続関数を仮定して変分法で解くこともできるのですが、最近は離散問題に置き換えてコンピューターで数値解を求める方向*1で教えているようです。これは、RBC/DSGEへの拡張が容易である*2ためでしょう。

何はともあれ、こういうモデルを計算してみると、マクロ経済学を直感的に理解できるようになると思います。解き方としてはモデルの式を整理して非線形連立方程式の形に直した上で、始点と終点を整理し、ニュートン・ラフソン法などで解くだけなので、実際にやってみましょう。

…


3. ラムゼー・モデルから分かること

最近の動学マクロ経済学は、もっと複雑なモデルが組まれていますし、パラメーターも実データから推定する世界になっていますが、このラムゼー・モデルが一つの出発的になっているのは間違いないと思います。動学マクロ経済学が、家計が将来を見通して意思決定を行う事を前提としていることが分かります。



ラムゼーの定理（ラムゼーのていり）とは、数学の組合せ論における次の二つの定理のことである(フランク・ラムゼイ, 1930)。

無限ラムゼーの定理
r, sを正の整数とする。相異なるs 個の整数からなる集合全体をどのようにr 個の類に類別しても、ある整数の無限部分集合S が存在し、S に属する相異なる整数s個の集合は全て同一の類に属する。
有限ラムゼーの定理
s , r , k1, k2, ..., kr をki ≥ s となる非負の整数とする。このとき、次の性質を満たすRが存在する：n≥ Rならば、n 個の元からなる集合Nの s 個の元からなる部分集合全体をr個の類C1, C2, ..., Crに類別したとき、あるiが存在して、ki個の元からなるNの部分集合で、その中のどの相異なるs 個の元からなる部分集合も類Ciに属するものが存在する。

以下、これを満たす最小のR をRr (s; k1, k2, ..., kr)とおく。

有限ラムゼーの定理は無限ラムゼーの定理から従う。その証明は英語版を参照のこと。

鳩の巣原理から、s=1のとき、Rr (1; k, k, ..., k )=(k -1)r +1ととれる。つまり、ラムゼーの定理は鳩の巣原理の一般化といえる。また、R2 (3, 3)=6は「6人いれば、互いに知り合いである3人組か、互いに知り合いでない3人組が存在する」として有名である。





動学的確率的一般均衡（DSGE ；　Dynamic　Stochastic　General　Equilibrium）って、
金融工学のブラック・ショールズ方程式みたいな一本の方程式って無いの？

例えば、物理の話になるけど、量子力学の場合、シュレーディンガー方程式から
様々な特殊な条件に応じて式変形して、色々な式を導出するけどさ
あるいは、電磁気学の場合でも、マクスウェル方程式から、色々な方程式を導出するじゃん？

DSGEの場合、大元となる一般的な式ってのが無くて、いちいち、
状況に応じて、モデル化していくってことなの？ 


 DSGEはラムゼイをベースにしてるから、ラムゼイの最適化から出てくる差分方程式が大元
RBCが大元って言う奴もでてくるが、世の中にはARショックや線形近似をしてないDSGEもあるから違うと思う 



…現代の経済学者とは違ってラムゼーは、すべての人々が 完璧な最適化計算を行なうと考えることは、
問題を単純化する方便にすぎないと考えていた。ケインズはラムゼーへの弔辞で、それを次のようにのべている：

そこで彼[ラムゼー]は「形式論理」とは別なものとして、「人間の論理」を考えるようになった。われわれの
信念の度合いの基礎は、おそらく形式論理よりもむしろわれわれの知覚や記憶に類似した、われわれの人間的
装備の一部なのである。[・・・]「人間的」論理学を、一方では形式論理学から、他方では記述的心理学から
区別しようと試みることによって、ラムゼーはおそらく次の研究分野へ進もうとしていたのであろう。

ケインズが痛恨の念をもって惜しんだように、ラムゼーがこのテーマに挑んだ著作『真理について』は未完に
終わり、彼は次の研究分野に進むことができなかった。彼の遺志をつぐかのようにケインズは『一般理論』で
繰り返し不確実性に言及し、流動性選好やアニマルスピリッツなどの心理的な概念が彼の理論のコアなのだと
強調している。だがその議論は残念ながら『確率論』のように混乱し、形式的な理論を欠いていたため、な
がく無視されてきた。

cf. 伊藤邦武『人間的な合理性の哲学』 


鳩ノ巣原理：

鳩の巣原理（はとのすげんり、英: Pigeonhole principle）またはディリクレの箱入れ原理（ディリクレのはこいれげんり、英: Dirichlet's box principle, Dirichlet's drawer principle）、あるいは部屋割り論法とは、n 個の物を m 個の箱に入れるとき、n > m であれば、少なくとも1個の箱には1個より多い物が中にある、という原理である。別の言い方をすれば、1つの箱に1つの物を入れるとき、m 個の箱には最大 m 個の物しか入れることができない（もう1つ物を入れたいなら、箱の1つを再利用しないといけないから）、ということである。

鳩の巣原理は数え上げ問題の例の一つで、一対一対応ができない無限集合など、多くの形式的問題に適用できる。

この原理に関する最初の記述は、ディリクレが1834年に "Schubfachprinzip"（「引き出し原理」）の名前で書いたものであると信じられている。また、ディリクレが発見したためディリクレの原理と呼ばれることもある（同名の、調和関数における最小原理と混同してはいけない）。日本語では、以上の「—原理」はすべて「—論法」と訳されることもある。

この原理は、ディオファントス近似において、小さな係数を持ち、なおかつ指定された解をもつ線形方程式系の存在を示すために応用される。この方法は、「ジーゲルの補題」という名前で知られる。発見者であるディリクレ自身、そのような高度な技巧を経由するものではないがディオファントス近似に関する彼の定理を証明するためにこの原理を用いている。また、さらに一般的な数学的構造においても類似の定理が数多く存在することが知られている。


わかりやすい例をあげよう。野球をやりたい子どもが5人いるが、チームは4つしかなかったとする。ここで、5人の全員が、自分以外の4人の誰とも同じチームでプレーするのを拒否すると、問題が起こる。鳩の巣原理によれば、5人を4つのチームに割り当てようとすると、必ず誰か2人は同じチームになってしまう。お互い同じチームでプレーするのは嫌がっているのだから、結局、野球ができる最大の人数は4人になってしまう。

こうしてみると、鳩の巣原理は一見自明に思われるかもしれないが、突拍子もない結果を論証するのに使われることもある。たとえば「ロンドンには、同じ本数の髪の毛を持った少なくとも2人の人間が存在する」。証明してみよう。ふつう、髪の毛の本数は15万本ほどであるから、100万本以上の髪の毛を持っている人間はいないと考えることができる。ロンドンの人口は100万を超える。もし、髪の毛の本数ごとに鳩の巣を割り当て、巣にロンドンの人々を割り当てるなら、（当然の下限である0本から上限として置いた99万9999本までの巣に100万を超える人々を割り当てるのだから）少なくとも同じ髪の毛の本数を持った2人の人間が必ず存在する。

もう1つのきわめて有名な例は、世界中からランダムに6人を集めてくると、その6人から、互いに全員知り合いであるか、あるいは互いに全く知り合いでない3人組を必ず1組は作ることができる、というものである。詳細は、ラムゼーの定理および組合せ数学のラムゼー理論の項を参照。

鳩の巣原理は、計算機科学の分野ではしばしば現れる。たとえば、ハッシュテーブルでは、通常利用されるキーの種類は配列のインデックスの取りうる値の数を上回ることから、ハッシュ値の衝突は避けられない。この衝突を回避できるハッシュアルゴリズムが存在しえないことは、この原理によって証明されている。また、どんな可逆圧縮アルゴリズムも特定のデータに対しては、元よりもデータ量の大きな形に変換せざるを得ない。「圧縮」アルゴリズムである以上、あるnバイトの元データを(n-1)バイト以下に変換できるはずであるが、このとき、元々(n-1)バイト以下である 2n-1 種類の元データのうち少なくとも1つをnバイト以上に変換するようにしなければ、2n 種類の元データを 2n-1 通りのデータに変換することになる。鳩の巣原理により、少なくとも1つの変換後データは2つ以上の元データに対応することになり、伸張はどうなるのか不明になってしまう。

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DSGEによってPCがブラックボックスと化した。DSGE自体がブラックボックスと言うべきか。日銀はDSGEを非政治化して自己正当化に使いたいようだが。ラムゼイは無限集合の危険を熟知していたのに逆の結果を生み出した。

posted by yoji at 5:55 午前