例題で学ぶ 初歩からの計量経済学 白砂堤津耶（統計学初歩他）＆モンティホ ー ル 問題、ベイズ統計学

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 経済学、数学、(論理学)、リンク::::::::::）

例題で学ぶ 初歩からの計量経済学 白砂堤津耶（統計学初歩他）

http://nam-students.blogspot.jp/2016/03/blog-post_7.html（本頁）

NAMs出版プロジェクト: 最小二乗法（直線）の簡単な説明

http://nam-students.blogspot.jp/2017/10/blog-post_6.html

https://opac.lib.city.yokohama.lg.jp/opac/OPP1500?ID=3&SELDATA=TOSHO&SEARCHID=0

例題で学ぶ　初歩からの計量経済学
版情報　　    第２版
著者名等　    白砂堤津耶／著　　
著者等紹介    １９５７年広島県生まれ。８１年慶應義塾大学経済学部卒。８６年慶應義塾大学大学院商
学研究科博士課程修了。現在、東京女子大学教授。専攻：計量経済学。
出版者　　    日本評論社
出版年　　    ２００７．３
大きさ等　    ２２ｃｍ　２９８ｐ
ＮＤＣ分類    331.19
件名　　　    計量経済学　　
要旨　　　    
現実経済に題材をとった例題を解くことで、計量経済学の理論とテクニックを無理なく学ぶことがでぎる画期的な入門書。ロングセラー、待望の第２版。 

目次　　　    
序章．計量経済学とはどんな学問か
１．統計学の基礎知識(1)

２．統計学の基礎知識(2)
３．単純回帰モデル
４．重回帰モデル
５．回帰モデルの仮説検定と予測
６．ダミー変数
７．系列相関
８．連立方程式モデル
９．産業連関分析
１０．コンピュータによる計量経済分析―ＴＳＰの基礎

目次　　　    
計量経済学とはどんな学問か
統計学の基礎知識
単純回帰モデル
重回帰モデル
回帰モデルの仮説検定と予測
ダミー変数
系列相関
連立方程式モデル
産業連関分析
コンピュータによる計量経済分析―ＴＳＰの基礎

内容　　　    
計量経済学の基本的方法を、できるだけ平易明快な表現で説明。現実経済に題材をとった例題を解くことを通じて、計量経済学の理論とテクニックを無理なく学ぶことができる画期的な入門書。ロングセラー、待望の改訂。

＿＿＿＿＿＿＿＿


例題で学ぶ　初歩からの統計学
版情報　　    第２版
著者名等　    白砂堤津耶／著　　

著者等紹介    １９５７年生まれ。８１年慶應義塾大学経済学部卒。８６年慶應義塾大学大学院商学研究科博士課程修了。現在、東京女子大学教授。専攻、計量経済学。主著「中国農業の計量経済分析」など。
出版者　　    日本評論社
出版年　　    ２０１５．４
大きさ等　    ２２ｃｍ　２９１ｐ
ＮＤＣ分類    417
件名　　　    数理統計学　　
要旨　　　    最短の時間で「使える統計学」がみるみる身につく！１問１問、達成感を楽しみながら学べるテキスト。さらに学習効率をアップさせた、改訂第２版。

目次　　　    
度数分布表とヒストグラムのつくり方
データの中心をはかる指標

データの散らばりをはかる指標
順列と組合せ
確率
確率変数と確率分
母平均の区間推定
母比率の区間推定
仮説検定の方法（母平均の検定母比率・母平均の差・母比率の差の検定）
母標準偏差の区間推定と検定―カイ２乗分布
相関分析
回帰分析

内容　　　    
統計学の重要事項を、初歩から簡潔にわかりやすく解説し、例題を通じて「使える統計学」を短期間にマスターできる、実戦的なテキスト。さらに学習効率をアップさせ、カイ２乗分布の章を加えた第２版。
ＩＳＢＮ等    4-535-55790-X
ＩＳＢＮ等    978-4-535-55790-1

＿＿＿＿＿

マンガでわかる統計学 | 高橋 信, トレンドプロ | 2004

http://www.amazon.co.jp/dp/4274065707/

5つ星のうち 5.0マンガを楽しみながら、統計学の基礎から受験の偏差値の計算まで半日で学べる本

投稿者 荒野の狼 トップ500レビュアー 投稿日 2011/10/23

形式: 単行本

マンガでわかる統計学、因子分析編があまりに素晴らしかったので、統計学の勉強は多少したものの本書からも学ぶことが大きいのではと期待して読みました。半日で通読可能です。第１章では（測れない）カテゴリーデータと（測れる）数量データの違いが明快に書かれています。第２章ではヒストグラムを紹介し、その幅（階級）の決め方をスタージェスの公式を紹介しながら解説します。その後の章では、標準偏差を解説してから、受験などでよく使われる偏差値の意味と計算の方法が実際の数学や生物のクラスの全員の点数などを用いて解説されています。正規分布、カイ二条分布はExcelの使い方も含めて解説されます。２変数の関連の度合いをあらわす方法として、数量データとカテゴリーデータのいずれかを用いるかで１）単相関係数２）相関比３）クラメールの連関係数が解説されます。例としては“レストランでよく食べる料理の種類（中華、和食、洋食）”と“食後にコーヒーと紅茶のどちらを飲みたいか”について関連があるかを、アンケート調査のデータを使って統計的に計算しています。最終章での検定の項では棄却域やP値の解説がされます。因子分析編と比較すると、内容がこなれていて明快なのは因子分析編ですが、マンガとしての面白さは本書の方が上です。とくにラストの２ページは少女漫画のクライマックスの一コマに出会えたように思えるほど出色で、統計に興味を持てなかったという読者も満足されるのではと思われます。ちなみに、本書と因子分析編は、マンガとしてはストーリーは繋がっていますが、それぞれ独立しており、後者を先に読んでも問題はありません。

コメント  49人中43人のお客様がこれが役に立ったと考えています。. このレビューは参考になりましたか？  はいいいえ  違反を報告

5つ星のうち 5.0侮るなかれ。

投稿者 カスタマー 投稿日 2004/9/1

形式: 単行本

ブルーバックスの鈴木みそ氏の「化学式に強くなる」を髣髴とさせる名著。よくある学習マンガのように「科学的には間違っちゃいないがマンガは見るに耐えない」ではなく、某もえたんみたいに萌え絵を載せただけで中身はグダグダ、でもない。やさしい平均の定義から入り、いつのまにやらカイ二乗検定までたどり着く、まともな統計学の本である。恥ずかしながら、私はルイたん（本編のヒロイン）にハァハァしつつ、この本でやっと確率密度関数の直観的理解が得られた。ありがたいことである。この調子で「マンガでわかる解析学」や「マンガでわかる線形代数学」なども出してほしいものだ。

コメント  61人中52人のお客様がこれが役に立ったと考えています。. このレビューは参考になりましたか？  はいいいえ  違反を報告

＿＿＿＿＿＿＿

図解・ベイズ統計「超」入門 あいまいなデータから未来を予測する技術 (サイエンス・アイ新書) | 涌井 貞美 | 本 | Amazon.co.jp

http://www.amazon.co.jp/dp/4797366575/ref=pd_luc_rh_sim_02_01_t_img_lh?_encoding=UTF8&psc=1

図解・ベイズ統計「超」入門 あいまいなデータから未来を予測する技術 (サイエンス・アイ新書) 新書 – 2013/12/18

涌井 貞美 (著)

https://www.amazon.co.jp/dp/4797366575/

図解・ベイズ統計「超」入門 あいまいなデータから未来を予測する技術 (サイエンス・アイ新書) 涌井 貞

https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/618AOhMQIHL.jpg

ベイズの定理のイメージ

Bが起こったときにAの起こる確率×Bの起こる確率

　　＝Aが起こったときにBの起こる確率×Aの起こる確率

　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿
｜Ａ尚｜　Ｂ｜　｜　　　Ｂ　｜　｜Ａ尚｜（Ｂ）　｜　　｜　　｜

｜且Ｂ｜＿＿｜ｘ｜＿＿＿＿＿｜＝｜且Ｂ｜．．｜ｘ｜　　｜　　｜

｜　　：　　｜　｜　　　　　｜　｜　　｜　　｜　｜Ａ　｜　　｜　

（Ａ）：＿＿｜　｜＿＿全体＿｜　｜＿Ａ｜＿＿｜　｜＿＿全体＿｜

横を縦に…

　＿＿＿＿＿　　　＿＿
｜　　　　　｜　｜　　｜　　

｜＿＿＿＿＿｜→｜　　｜

　　　　　　　　｜　　｜　

　　　　　　　　｜＿＿｜

ベン図だと３つ以上の条件が描きにくい。

　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿
｜Ａ尚｜　Ｂ｜　｜　　　Ｂ　｜　｜Ａ尚｜（Ｂ）　｜　　｜／／｜

｜且Ｂ｜　　｜ｘ｜＿＿＿＿＿｜＝｜且Ｂ｜／／｜ｘ｜　　｜／／｜

｜／／：／／｜　｜／／／／／｜　｜　　｜／／｜　｜Ａ　｜／／｜　

（Ａ）：／／｜　｜／／全体／｜　｜＿Ａ｜／／｜　｜＿＿全体／｜

　＿＿＿＿＿　　　＿＿
｜　　　　　｜　｜　　｜　　

｜＿＿＿＿＿｜　｜　　｜

　　　　　　　　｜　　｜　

　　　　　　　　｜＿＿｜

　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿　　　＿＿＿＿＿
｜　　｜　　｜　｜　　｜　　｜　｜　　｜　　｜　｜　　｜　　｜

｜＿＿｜＿＿｜　｜＿＿｜＿＿｜　｜＿＿｜＿＿｜　｜＿＿｜＿＿｜

｜　　｜　　｜　｜　　｜　　｜　｜　　｜　　｜　｜　　｜　　｜　

｜＿＿｜＿＿｜　｜＿＿｜＿＿｜　｜＿＿｜＿＿｜　｜＿＿｜＿＿｜

　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
｜　　　　　｜　　　　　｜
｜　　　　　｜　　　　　｜
｜　　　　　｜　　　　　｜
｜＿＿＿＿＿｜＿＿＿＿＿｜

｜　　　　　｜　　　　　｜
｜　　　　　｜　　　　　｜
｜　　　　　｜　　　　　｜
｜＿＿＿＿＿｜＿＿＿＿＿｜

上記『図解・ベイズ統計「超」入門』ではモンティ・ホール問題などもベイズ統計学で説明される。

　＿＿　　＿＿　　＿＿
｜　　｜｜　　｜｜　　｜　

｜　Ａ｜｜　Ｂ｜｜　Ｃ｜　

｜　　｜｜　　｜｜　　｜

｜＿＿｜｜＿＿｜｜＿＿｜

　＿＿　　＿＿
｜　　｜｜　　｜　

｜　Ｂ｜｜　Ｃ｜　

｜　　｜｜　　｜

｜＿＿｜｜＿＿｜

ドアAに賞金があるとき、(司会者によって)ドアCが開けられる確率×ドアAに賞金がある確率

1/2×1/3=1/6

ドアBに賞金があるとき、ドアCが開けられる確率×ドアBに賞金がある確率

1×1/3=1/3

ドアを変更すると確率は2倍…

【突き抜けた極限頭脳を持つ世界の天才スペシャル】1

https://youtu.be/D9em4Ox3ukQ?t=42m

参考：

https://www.amazon.co.jp/dp/4502365009

論理思考力トレーニング法―気がつかなかった数字の罠 単行本 – 2002/9

マリリン ヴォス・サヴァント (著), Marilyn Vos Savant (原著), 東方 雅美 (翻訳)

気がつかなかった数字の罠　論理思考力トレーニング法

 著者名等　  マリリン・ヴォス・サヴァント／著　　

 著者名等　  東方雅美／訳　　

 出版者　　  中央経済社

 出版年　　  ２００２．１０

 大きさ等　  ２１ｃｍ　２１３ｐ

 注記　　　  Ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｏｆ　ｌｏｇｉｃａｌ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ．

 要旨　　　  「思いこみ」にとらわれると、そこから先に考えは進まない。「直感的」に答えを出して

しまうと、それ以上は考えなくなる。論理的思考を身につける最善の方法は、自己満足を

打ち砕くことであり、この本はそれを狙いとしている。そのために数字を使った問題を多

数用意した。しかし、そのアプローチは数学的というより論理的で、非常識的な感覚と、

ちょっとした新しい算数くらいしか必要でない。問題は一見簡単そうに見えるが、その答

えはとても意外で、何度も驚かされる。そしてその結果、自分でも気がつかなかった「考

え方のクセ」に気がつくことになる。

 目次

第１部　身近な数字の見方・考え方

（身の回りにある問題；おカネに関する問題）

第２部　統計と確率の見方・考え方

（統計を誤解する理由；考え違いをする理由；健康に関する問題）

第３部　政治と経済の見方・考え方

（１９９２年の選挙―「誤解時代」の到来

；１９９２年から１９９６年、そしてその後）

補遺　モンティ・ホール・ジレンマ―変えるべきか変えざるべきか

 ＩＳＢＮ等  4-502-36500-9

ベイズの定理の基本的な解説 | 高校数学の美しい物語

http://mathtrain.jp/bayes

ベイズの定理：
P(X)P(Y|X)=P(Y)P(X|Y)=P(X∩Y)$PXPYXPYPXYPXY$

条件付き確率とベイズの定理の基本的な話です。

条件付き確率とベイズの定理の意味

p(X)$pX$：事象 X$X$ が起きる確率=|X||U|${\displaystyle \frac{X}{U}}$
P(Y|X)$PYX$：事象 X$X$ が起きたもとで事象 Y$Y$ が起きる確率=|A||X|${\displaystyle \frac{A}{X}}$
（PX(Y)$P_{X}Y$ と表記する流儀もあります。）

よって，「 X$X$ も Y$Y$ も起きる確率」＝「 X$X$ が起きる確率」×「 X$X$ が起きたもとで Y$Y$ が起きる確率」なので，
「 P(X∩Y)=P(X)P(Y|X)$PXYPXPYX$ 」が成立します。
(ベン図で表すと，|A||U|=|X||U|⋅|A||X|${\displaystyle \frac{A}{U}}{\displaystyle \frac{X}{U}}{\displaystyle \frac{A}{X}}$)

同様に Y$Y$ 側から考えることで
P(X∩Y)=P(Y)P(X|Y)$PXYPYPXY$ が成立します。
(ベン図で表すと，|A||U|=|Y||U|⋅|A||Y|${\displaystyle \frac{A}{U}}{\displaystyle \frac{Y}{U}}{\displaystyle \frac{A}{Y}}$)

このように両側から考えることによって恒等式
P(X)P(Y|X)=P(Y)P(X|Y)$PXPYXPYPXY$ 
が成立することが分かります。これがベイズの定理です。

「ベイズの定理はベン図の両側から攻めて P(X∩Y)$PXY$ を2通りの方法で表したもの」とみなせます。

＿＿＿＿＿

カイ２乗分布，カイ２乗検定

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/statistics/mobile/kai2_m.htm

ここまでの■要約■ 1 　ある標本の各カテゴリー（分類項目）ごとの比率が，基準の比率と一致しているかどうかを判定するものは，適合度の判定と呼ばれる． 　観測度数が次の表１のようになったとき，この度数分布が表2で与えられる母集団の割合と一致するかどうかを判断するには， 表1 　 項目１ 項目２ ･･･ 項目n 計 観測度数 x1 x2 ･･･ xn N 表2 　 項目１ 項目２ ･･･ 項目n 計 割合 p1 p2 ･･･ pn 1 表3 　 項目１ 項目２ ･･･ 項目n 計 観測度数 x1 x2 ･･･ xn N 期待度数 p1×N p2×N ･･･ pn×N N (1)　表3のように計Nから理論的に求まる期待度数と観測度数を比較して カイ２乗値 χ2 = を，求める． (2)　この場合，ｎ個の期待度数を変数と見るとき，これらの和はNでなければならないから，自由に決められるのはn-1個で残り１個は自動的に定まる．→自由度はn-1と考える． (3)　次のグラフにおいて，多くの場合，右片側検定を考える．（pは右片側面積） (4)　χ2分布表により，多くの場合，有意水準5%のχ2値と比較し，これよりも大きければ帰無仮説を棄却して有意差ありとし，そうでなければ有意差なしとする．

（以下は参考）　≪カイ２乗分布と２項分布，正規分布の関係≫ ■カイ２乗，カイ２乗（χ2）分布とは ○　標準正規分布に従う確率変数ｚの２乗がなす確率分布を自由度１のカイ２乗分布という． χ2=z2 （２乗しているので正または0の値のみをとる．） ○　標準正規分布に従う２個の確率変数z1，z2の２乗の和がなす確率分布を自由度2のカイ２乗分布という． χ2=z12+z22 （２つの変数が独立に動くので，自由度1のときと比べると縦に２倍になるのでなく横に広がった形になる．） ○　一般に標準正規分布に従うｎ個の独立な確率変数の２乗の和は自由度ｎのカイ２乗分布に従うという． χ2=z12+z22+···+zn2 ※　このように「カイ２乗分布（χ2分布）」は，もともと数学的に定義された連続関数に付けられた名前である． 　これに対して「カイ２乗検定」に登場する「カイ２乗」はｍ×ｎ分割表などにおいて各セル（窓枠）に入ったデータの観測度数（離散的なデータ）をもとに計算される式の値である． 　以下においては，観測度数をもとに計算される「カイ2乗」をグラフや表で示される「カイ２乗分布」と照らし合わせことによって比率の検定ができる仕組みを考える． 　カイ２乗分布は図2のように自由度（degree of freedom → df と略されることが多い）ごとに異なる形をした連続型の確率分布で，ｘ≧0の区間において定義され，与えられたxの値よりも上側に来る確率は，自由度ごとに計算されて参考書の巻末表に掲載されていることが多い．（カイ２乗分布表を調べるときは自由度dfとｘの値の２つ指定しなければならない．） 　図2で赤で示した自由度４（df=4）のカイ２乗分布を例として見ると，ｎ個の確率変数が独立に動くために自由度が１のときの4倍になるのでなく（縦に伸びるのではなく）右側のすそ野の長い曲線になっており，左右非対称な山形をしている． 図1 ↓ 図2

■２つの比率に分かれる確率･･･２項分布 　１回の試行で事象Ａの起こる確率がp，事象Ａが起る確率がq (=1-p)であるとき，この試行をＮ回行ったときに事象Ａがm回，事象Aがn回（合計N回）起こる確率は２項定理で求められ NCmpmqn となる． ■２項分布の正規分布による近似 表1 　 事象A 事象Ａ 計 確率 p q 1 観測度数 m n N 　表１においてNが十分大きな値のとき事象Ａが起こる回数をxとすると，xは平均Np，標準偏差の正規分布で近似され， は標準正規分布に従う． 　ここで，事象Ａが起こる観測度数がmとなるときのχ2を求めると ･･･(1) (1)は次のように変形できる．(*) ･･･(2) (2)式は表1における事象A，事象Ａの観測度数，期待度数が各々m，Np，n，Nqであることに注意すると の形になっている． (*) (2)を変形すると(1)に等しくなることが示せる． 　一般にすべてのセル（マス目）について を加えたもの を「カイ２乗」という．

■カイ２乗の値の例 さいころを100回投げて１の目が20回出た場合に，このさいころが正しく作られたものかどうか判断したい場合を考えてみると，事象Aは「さいころを投げたときに１の目が出ること」を表し，Ａは「１以外の目が出ること」を表す．確率ｐは1/6，qは5/6，観測度数mは20，nは80，総度数Ｎは100になる． 　正しく作られたさいころでは，１の目が100÷6≒17回程度出るはずだが確率的な偶然で実際には多少の増減はある．とすれば20回なら偶然の範囲と言えるかどうか．このように指定された比率（1/6）と実際の観測度数(100のうちの20)が等しいとみなせるかどうかを判断するのが「比率の検定」の問題である． 例１ 表２ 出た目 1 2 3 4 5 6 計 観測度数 13 12 8 6 11 10 60 期待度数 10 10 10 10 10 10 60 　表2において期待度数はさいころを60回投げたときに出た目の回数を集計したものとする．このさいころが「どの目も確率1/6で出るように作られているかどうか」を検定するには， (1)　はじめに観測度数の他に「どの目も確率1/6で出るように作られている」という仮定を満たす場合の期待度数を計算する･･･60×1/6=10になる． 　これは基準とすべき確率分布が与えられている場合，したがって基準となる期待度数が与えられている場合になっている･･･適合性の検定の場合にはこのようにして期待度数が求められる． (2)　次にすべてのセル（マス目）に対してχ2を求め，その和を計算する． χ2= =3.40 (3)　検定の内容に応じてこのχ2値をχ2表と見比べて判断する．（この例では自由度5のχ2分布表を見る．）

例2 表3 観測度数 よい 普通 悪い 計 男子 12 30 12 54 女子 15 21 10 46 計 27 51 22 100 　 　 　 　 　 期待度数 よい 普通 悪い 計 男子 14 27 11 54 女子 12 23 10 46 計 27 51 22 100 　 　 　 　 　 χ2 0.286 0.333 0.091 　 　 0.750 0.174 0.000 　 　 　 　 　 1.634 　表３において観測度数は男女合計100人にある製品の好感度をアンケート調査した結果だとする．このとき，この製品の好感度は男女の性別によって違いがないかどうかを検定したいものとする． (1)　帰無仮説として「男女の性別によって好感度には違いがない」と仮定したときの，各々のセルの期待度数の表を作る． 　たとえば「男子」「よい」のセルの期待度数は，列の和27を54:46に配分したものになるべきだから27*54/100=14のように求める．（小数のままでも四捨五入して整数にしたものを使ってもよい．） 　これは，性別に対して独立という仮定に基づいて，周辺度数（列の小計，行の小計）から期待度数を求めていることになる．このような独立性の検定においては，帰無仮説に基づいて観測度数から周辺和を計有して期待度数を求めることになる． (2)　次にすべてのセル（マス目）に対してχ2を求め，その和を計算する． (3)　検定の内容に応じてこのχ2値をχ2表と見比べて判断する．（この例では自由度2のχ2分布表を見る．）

＿＿＿＿＿

カイ二乗検定 - Wikipedia

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E6%A4%9C%E5%AE%9A

ピアソンのカイ二乗検定（Pearson's chi-square test）は、カイ二乗検定のうち最も基本的かつ広く用いられる方法であって、「観察された事象の相対的頻度がある頻度分布に従う」という帰無仮説を検定するものである。この頻度分布は特定のものに限らない。すなわちこの方法はノンパラメトリック検定である。

事象は互いに排他的でなければならない（例えば「さいころの目」、「ある人が男か女か」など）。カイ二乗は各頻度の観測値と理論値の差を2乗し、各頻度の理論値で割って、合計したもの：

である。ただしここでO = 頻度の観測値，E = 帰無仮説から導かれる頻度の期待値（理論値）である。

ピアソンのカイ二乗検定は2つのタイプの比較、適合度検定及び独立性検定に用いられる:

適合度検定

観測された頻度分布が理論分布と同じかどうかを検定する。例えば簡単な例として、標本として100人の人がいる場合に、「男と女が同数だけいる集団から、ランダムに抽出された100人である」という仮説を検定するには、男女の人数の観測値と理論値（50:50）とを比較すればよい。観測値が男45人、女55人ならば、

この場合の自由度は1である（2つの観測値と理論値の差は、一方を決めると他方も自動的に決まるから）。そこで自由度1のカイ二乗分布を見ると、男女の人数が等しい場合にこのような差（及び女がさらに多くなるような場合）が見出される確率は、おおよそ0.32である。この確率は普通用いる統計学的有意水準（0.05、0.01など）よりも高いから、「男女の人数が等しい」とする帰無仮説を棄却する理由がない。

独立性検定

2つの変数に対する2つの観察（2x2分割表で表される）が互いに独立かどうかを検定する。例えば、「別の地域の人々について、選挙である候補を支持する頻度が違う」かどうかを検定する方法である。

カイ二乗の計算値は、確率分布が二項分布あるいは正規分布に従う集団に関しては正確にカイ二乗分布に従う。

期待値が二項分布：

（ただしここで、p = 帰無仮説の下での確率，n = 標本の観測値） に従う場合、カイ二乗は自由度1のカイ二乗分布に従う。なおこの二項分布は標本数が大きい場合には次のような正規分布で近似できる：

標準正規分布に従う個の変数から、各二乗の合計を求めると、自由度のカイ二乗分布：

に従う。

しかし一般の頻度分布でもカイ二乗は「近似的には」カイ二乗分布に従うので、カイ二乗検定が適用可能である。期待値Eが小さい（標本数が小さい、または観測数が少ない）場合は、二項分布を正規分布ではうまく近似できないため、この場合には尤度比検定の1つであるG検定を用いるのがより適切である。全標本数が小さい場合は、二項検定、さらに2x2分割表で表される場合にはフィッシャーの正確確率検定を用いる必要がある。

＿＿＿＿

カイ二乗分布 - Wikipedia

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E5%88%86%E5%B8%83

カイ二乗分布

カイ二乗分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	k ∈ {1, 2, ...} = Z+
台	x ∈ [0, ∞)
確率密度関数
累積分布関数
期待値	k
中央値
最頻値	0 for k < 2 k - 2 for k ≥ 2
分散	2k
歪度
尖度	12/k
エントロピー	k/2 + ln 2 + ln Γ(k/2) + (1 - k/2)ψ(k/2)
モーメント母関数
特性関数

カイ二乗分布（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、またはχ²分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。ヘルメルトにより発見され^[1]、ピアソンにより命名された^[2]。

独立に標準正規分布に従う k 個の確率変数X₁, ..., X_k をとる。 このとき、統計量

の従う分布のことを自由度 k のカイ二乗分布と呼ぶ。この分布は自由度 k に応じて右図のような形をとる。 図を見ればわかるように、どの自由度 k でも、ある一定以上Z が大きいならば、 Z が大きいほどその確率が低くなることがわかる。 このことは、大まかに言えば、「正規分布でランダムで値をとったのだから、その値を用いて高々二乗和をとった程度の数値 Z がとてつもなく大きくなる確率は少ないはずだ」と解釈できる。統計的仮説検定にカイ二乗分布が用いられるのはこの性質のためである。例えば、「データが意味のないノイズ要素である可能性はたったの5%以下だから、このデータには意味があるはずだ」という解釈が行われる。

普通はこれを

と書く。カイ二乗分布は k という1個の母数をもつ。これは X_i の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、フリードマン検定などにも利用される。

目次

• 性質
• 正規分布による近似
• 脚注
• 関連項目