「錐体の体積がなぜ1/3(3分の1)かを感覚的に納得させる方法」
/__/|
| | |1
|__|/1
√3
\ ̄-_ _- ̄/
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\/ \/
|\ /|
| \/ |√2
| /\ |
|/ 1\| ×3
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B/___/ \
\ \ /
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B/___/ \_←立方体をこの角度から中心まで切る。
\ \ /
\___\/
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/__\/__\C
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B
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\ / ____C
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B/__\/
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| \/ |√2
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|/ 1\| ×3
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しかし,デカルトにとっては,1とaを表す線分が与えられた場合√aを表す線分
は下の図の作図で与えられる線分の長さとして考えることができる。
D
o | o
o √a o
|
A_____O_B___C
a 1
=単位線分
「平方根√aについては、図のように、線分a(AB)と単位線分*(BC)を一直線にし
て描きます。次に、ACの 中点Oを中心とし、半径OAの半円を描きます。そして、
点Bから垂線BDを立てますと線分BDが平方根√aを表すのです。なぜなら、
△ABD∽△DBCですから、a: BD = BD : 1 となり、BD^2=a となるからです。」
*単位線分とは、長さ1の線分のこと。
(上垣渉『はじめて読む数学の歴史』270頁)
a: BD = BD : 1 となり、BD^2=a
a/BD = BD /1
両辺にBDをかける
と BD^2=a
BD=√a
D
o | o
o √a o
|
A_____B_____C
a O 1
=単位線分
o /D\ o
o / | \ o
o / √a \ o
/ | \
A/____B____\C
a O 1
=単位線分
a=√a=1
Bが中心からずれるに従って左右の三角形は同じ角度ずつ形を変えてゆく
創造的な教材・指導法及びカリキュラムの開発 : 中高6ヵ年から大学へ
著者名等 岡本和夫/著
著者名等 長岡亮介/著
著者等紹介 【岡本】1947年東京都生まれ。東京大学理学部卒、同大学院理学系研究科修士課程修 了。東京大学教養学部教授、同大学院数理科学研究科教授、同研究科長、大学総合教育研 究センター長等を経て、現在、大学評価・学位授与機構理事、東京大学名誉教授。主な著 書「解析演習」など。 著者等紹介 【長岡】1947年長野県生まれ。東京大学理学部卒、同大学院理学系研究科博士課程満 期退学、津田塾大学助教授、大東文化大学教授、放送大学教授等を経て、現在、明治大学 理工学部特任教授。数理哲学、数学史を専攻。主な著書「長岡亮介線型代数入門講義-現 代数学の《技法》と《心》」等。
出版者 東京図書
出版年 2015.12
大きさ等 21cm 307p NDC分類 410
件名 数学
要旨 高校数学の復習から大学で学ぶべき数学までを、まるごとすべて語る贅沢な1冊。空を舞 う鳥のように“森”全体を俯瞰し、数学と戯れて、理系・文系を問わず、みなさんの専門 分野に羽ばたいてほしい。著者お二人ならではの味わい深い魅力が満載。
目次
第1部 大学数学 基礎の基礎(三角関数;加法定理の応用と複素数 ほか);
第2部 微分積分の基礎(三角・逆三角関数と微分;指数・対数・双曲線関数と微分 ほか);
第 3部 線型代数の基礎(行列;連立1次方程式の解法と行列の基本変形 ほか);
第4部 微分積分の更なる展開(微分方程式入門;2階の微分方程式と行列の固有値 ほか);
第5部 2変数関数への飛翔(2変数関数入門;2変数関数の微分法 ほか)
内容
大学数学書の「伝統的な特徴」を打破することを目指し、「証明による説得」よりは「自 然な納得」を重視。高校数学の復習から大学で学ぶべき数学までを、まるごとすべて語る 贅沢な1冊。 ISBN等 4-489-02220-4 ISBN等 978-4-489-02220-
94頁
錐体
内側
外側
区分求積法
1乗和の求め方 -逆さまにして足す!-
これで1乗和の公式を導くことができました。
2乗和の求め方 -三角形を3つ足す!-
上図の3つの三角形は最初の三角形を120°ずつ回転させただけということが分かるでしょうか?
この図より多数の2n+1の合計が3Sに一致することが分かります。最後の三角形にある2n+1の個数は上から1+2+3+…+n、つまり上で説明した1乗和の合計となります。よって公式は下図のようになります。