土曜日, 8月 29, 2015

「錐体の体積がなぜ1/3(3分の1)かを感覚的に納得させる方法」


                 (リンク:::::::::数学

「錐体の体積がなぜ1/3(3分の1)かを感覚的に納得させる方法」
http://nam-students.blogspot.jp/2015/08/1331.html(本頁)

       ___
      /__/|
     |  | |1
     |__|/1
      1

上記立方体を三分割する四角錐の展開図:

     √3
   \ ̄-_  _- ̄/
    \  /\  /
     \/  \/
     |\  /| 
     | \/ |√2
     | /\ |
     |/ 1\|      ×3



Taro-柱体と錐体の体積の関係04.2

ÿþT aro - ñgSOh0 fiSOn0SOMzn0¢ŁÂO0 4 . 2

 
(Adobe PDF)
 

www.cms-center.gr.fks.ed.jp/?action=common...main...
-1-. ○「錐体の体積がなぜ1/3(3分の1)かを感覚的に納得させる方法」. 【柱体,錐体の 体積:第1学年】. ○ 中学校数学科で初めて ... 取り図などを基に,正面から. 見た底辺と 高さがそれぞれ. 等しい長方形と二等辺三角. 形の面積の関係. から「2杯分」とと ... 教科書の展開例. ・立体模型の教具を利用し,円柱には,. 底面が合同で,高さが等しい 円錐の3. 倍分の水がはいることを ... -3-. 2 実感を伴って理解できる教具. (1)立方体. ① 立方体を3等分(青い線で)する方法. ② 四角錐の展開図. E2. E3. 1 ... 1)三角錐 の 展開図.





   ____A
  /   /\ 
B/___/  \ 
 \   \  / 
  \___\/ 
       C
立方体をこのように六角形に見えるように置き、(A,B,Cで)三分割すればいい。
あるいは、

  \____A
  /   \ 
B/___  \_←立方体をこの角度から中心まで切る。
 \     / 
  \___/ 
  /    C

  A____
  /\  \ 
 /__\/__\C
 \  /  / 
  \/__/ 
  B
   A____
  /\\  \ 
 /__\\/__
 \  / ____

  \/ /
  /
   B/
__
立方体を切って三つ出来た四角錐の展開図:
     √3(上の図で言えば奥行きに相当する部分)
   \ ̄-_  _- ̄/
    \  /\  /
     \/  \/
     |\  /| 
     | \/ |√2
     | /\ |
     | 1|      ×3



上の図の出典は以下:


ちなみに、
   ____
  /  /\ 
 /____\ 
 \  \  / 
  \__\/ 
この平面図は以下に変換し得る。
____
\  /\
 \/__\
  \  /\
   \/__\
    \  /\
     \/__\
あるいは、
  ____________
 /\  \  /\  /
/__\__\/__\/


この図形変換はもう少し細かくしてゆけば円周率を説明し得る。
円を二つに割り、短冊状にして組み合わせるのだ。
直径かける円周率が円周になるなら、
半径かける半径かける円周率が円の面積になる、ということを体感させる。

(上は三次元で納得させる。あるいは二次元で統一する。以下は二次元で納得させ、一次元で統一する。)
参考:
デカルトによる量の次元の統一=平方根の作図: 
 デカルト以前では,aが線分であると考えると√aは意味を持っていなかった。
しかし,デカルトにとっては,1とaを表す線分が与えられた場合√aを表す線分
は下の図の作図で与えられる線分の長さとして考えることができる。


          D
   o      | o
  o       √a  o
          |
  A_____O_B___C
      a      1 
          =単位線分

「平方根√aについては、図のように、線分a(AB)と単位線分*(BC)を一直線にし
て描きます。次に、ACの 中点Oを中心とし、半径OAの半円を描きます。そして、
点Bから垂線BDを立てますと線分BDが平方根√aを表すのです。なぜなら、
△ABD∽△DBCですから、a: BD = BD : 1 となり、BD^2=a となるからです。」

*単位線分とは、長さ1の線分のこと。
(上垣渉『はじめて読む数学の歴史』270頁)

a: BD = BD : 1 となり、BD^2=a
a/BD = BD /1
両辺にBDをかける
と BD^2=a
BD=√a 
ちなみに、以下の図を基本形として考えるとわかりやすいかも知れない。

        D
   o    |    o
  o     √a     o
        |
  A_____B_____C
     a  O  1 
          =単位線分

     o /D\ o
   o  / | \  o
  o  /  √a  \  o
    /   |   \
  A/____B____\C
     a  O  1 
          =単位線分

a=√a=1
Bが中心からずれるに従って左右の三角形は同じ角度ずつ形を変えてゆく


______
区分求積法:

創造的な教材・指導法及びカリキュラムの開発 : 中高6ヵ年から大学へ

 
(Adobe PDF)
  
tsukuba.repo.nii.ac.jp/index.php?...
反転法. 2007 g3-3. 立方体の切断 (2). 2009 g3-4. ヘロンの公式の幾何的証明と応用. 2013女. 扱いを想定している教材は,数字の代わりに rfJを用い. た。 .... 一辺の長さが 4 である正方形 ABCDの内側に,図の ... また,図のように外側にも同じ直角三角形を 4つ 組み ...... つぎに,区分求積法ではなく,正方形の放物線によ ..... ⑫錐体と柱体の体積.


_____
こちらも区分求積法で説明しようとしている。

数学の森 大学必須数学の鳥瞰図 
著者名等  岡本和夫/著 
著者名等  長岡亮介/著  
著者等紹介 【岡本】1947年東京都生まれ。東京大学理学部卒、同大学院理学系研究科修士課程修 了。東京大学教養学部教授、同大学院数理科学研究科教授、同研究科長、大学総合教育研 究センター長等を経て、現在、大学評価・学位授与機構理事、東京大学名誉教授。主な著 書「解析演習」など。 著者等紹介 【長岡】1947年長野県生まれ。東京大学理学部卒、同大学院理学系研究科博士課程満 期退学、津田塾大学助教授、大東文化大学教授、放送大学教授等を経て、現在、明治大学 理工学部特任教授。数理哲学、数学史を専攻。主な著書「長岡亮介線型代数入門講義-現 代数学の《技法》と《心》」等。 
出版者   東京図書 
出版年   2015.12 
大きさ等  21cm 307p NDC分類 410 
件名    数学
要旨    高校数学の復習から大学で学ぶべき数学までを、まるごとすべて語る贅沢な1冊。空を舞 う鳥のように“森”全体を俯瞰し、数学と戯れて、理系・文系を問わず、みなさんの専門 分野に羽ばたいてほしい。著者お二人ならではの味わい深い魅力が満載。 

目次
第1部 大学数学 基礎の基礎(三角関数;加法定理の応用と複素数 ほか);
第2部  微分積分の基礎(三角・逆三角関数と微分;指数・対数・双曲線関数と微分 ほか);
第 3部 線型代数の基礎(行列;連立1次方程式の解法と行列の基本変形 ほか);
第4部  微分積分の更なる展開(微分方程式入門;2階の微分方程式と行列の固有値 ほか); 
第5部 2変数関数への飛翔(2変数関数入門;2変数関数の微分法 ほか) 

内容  
大学数学書の「伝統的な特徴」を打破することを目指し、「証明による説得」よりは「自 然な納得」を重視。高校数学の復習から大学で学ぶべき数学までを、まるごとすべて語る 贅沢な1冊。 ISBN等 4-489-02220-4 ISBN等 978-4-489-02220-


94頁
錐体
内側
外側
区分求積法





数列を学習していると、「~乗の和」という形で公式が3乗の和まで出てくると思います。しかしこれらの公式は覚えにくいのでたまに忘れてしまうこともあるかと思います。そんなときに焦らず公式を思い出せるように、今回は1乗和の公式、2乗和の公式に関してどのような原理で導き出すことができるか紹介しようと思います。

1乗和の求め方 -逆さまにして足す!-

1乗和ということは要するに例えば1~nまで単純に合計した場合ですね。この場合の公式を思い出す方法としては「逆さまにする」です!1~nまでの和を考えるとしたら、下のように1~nの順に足す数式とn~1の順番に足す数式を上下に並べて足してみます。ここでは求める和をSという文字で置きます。


これで1乗和の公式を導くことができました。

2乗和の求め方 -三角形を3つ足す!-

2乗和の求め方のキーワードは「三角形を3つ足す」です!求める和をSとします。具体的には下の図を見てください。



上図の3つの三角形は最初の三角形を120°ずつ回転させただけということが分かるでしょうか?
この図より多数の2n+1の合計が3Sに一致することが分かります。最後の三角形にある2n+1の個数は上から1+2+3+…+n、つまり上で説明した1乗和の合計となります。よって公式は下図のようになります。


いかがでしたか?今回の図で数列の~乗和の公式の覚え方は分かったかと思います。ぜひ生徒さんにも紹介してあげてください!

3 Comments:

Blogger yoji said...

展開図:
     √3
   \ ̄-_  _- ̄/
    \  /\  /
     \/  \/
     |\  /| 
     | \/ |√2
     | /\ |
     |/ 1\|

10:49 午前  
Blogger yoji said...

数学の森 大学必須数学の鳥瞰図
著者名等  岡本和夫/著 
著者名等  長岡亮介/著  
著者等紹介 【岡本】1947年東京都生まれ。東京大学理学部卒、同大学院理学系研究科修士課程修 了。東京大学教養学部教授、同大学院数理科学研究科教授、同研究科長、大学総合教育研 究センター長等を経て、現在、大学評価・学位授与機構理事、東京大学名誉教授。主な著 書「解析演習」など。 著者等紹介 【長岡】1947年長野県生まれ。東京大学理学部卒、同大学院理学系研究科博士課程満 期退学、津田塾大学助教授、大東文化大学教授、放送大学教授等を経て、現在、明治大学 理工学部特任教授。数理哲学、数学史を専攻。主な著書「長岡亮介線型代数入門講義-現 代数学の《技法》と《心》」等。
出版者   東京図書
出版年   2015.12
大きさ等  21cm 307p NDC分類 410
件名    数学
要旨    高校数学の復習から大学で学ぶべき数学までを、まるごとすべて語る贅沢な1冊。空を舞 う鳥のように“森”全体を俯瞰し、数学と戯れて、理系・文系を問わず、みなさんの専門 分野に羽ばたいてほしい。著者お二人ならではの味わい深い魅力が満載。

目次
第1部 大学数学 基礎の基礎(三角関数;加法定理の応用と複素数 ほか);
第2部  微分積分の基礎(三角・逆三角関数と微分;指数・対数・双曲線関数と微分 ほか);
第 3部 線型代数の基礎(行列;連立1次方程式の解法と行列の基本変形 ほか);
第4部  微分積分の更なる展開(微分方程式入門;2階の微分方程式と行列の固有値 ほか);
第5部 2変数関数への飛翔(2変数関数入門;2変数関数の微分法 ほか)

内容  
大学数学書の「伝統的な特徴」を打破することを目指し、「証明による説得」よりは「自 然な納得」を重視。高校数学の復習から大学で学ぶべき数学までを、まるごとすべて語る 贅沢な1冊。 ISBN等 4-489-02220-4 ISBN等 978-4-489-02220-


94頁
錐体
内側
外側
区分求積法

5:04 午後  
Blogger yoji said...

区分求積法について - 数学 [解決済 - 2016/02/04] | 教えて!goo
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/9170278.html
区分求積法について

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気になる
0件
質問者:まかろんぬぬぬ質問日時:2016/02/04 16:23回答数:1件
円錐の体積を区分求積法により求めよ。ただし円の面積は既知とする。

そもそも区分求積法がわかりません。上の問題解いていただける方お願いします。




No.1ベストアンサー
回答者: yhr2 回答日時:2016/02/04 17:59
「区分求積法」は、例えば2次元曲線の囲む面積を求めるのに、細かく区分した「長方形」の面積の「和」として概算値を求め、その「区分」をどんどん細かくした極限として、「曲線」で囲まれた面積を求めるようなやり方です。
 つまり「積分」の概念ですね。

↓ 参考サイト
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …
http://yosshy.sansu.org/kubunkyuseki.htm

 これを「円錐の体積」に応用する方法は、何通りかあると思います。
 「円の面積は既知」とあるので、円錐を輪切りにして「薄い円柱」で近似して、その円柱の「高さ」をどんどん小さくしていくことで考えましょう。

 底面の円の半径を R 、円錐の高さを H としましょう。円錐の頂点からおろした垂線と、円錐の辺のなす角を θとすると、
  tanθ = R/H
です。
 高さ H を n 等分すると、頂点からの k 番目の円柱までの距離を x とすると、
   x = (H/n) * k
となり、その円柱の半径 r は
   r = x * tanθ = (H/n) * k * R/H = k*R/n
と書けます。
 また、円柱の「高さ(厚さ)」は h=H/n です。
 従って、その円柱の体積は
   Vk = パイ*r^2 * h
     = パイ*(k*R/n)^2 * (H/n)
     = (パイ*H*R^2 /n^3) * k^2
この円柱の体積を k=1~n まで合計すると、「円錐」を「円柱の集合体」で近似した体積が求まります。

 つまり
  Vn = Σ(k=1~n)[ (パイ*H*R^2 /n^3) * k^2 ]
    = (パイ*H*R^2 /n^3) * Σ(k=1~n)[ k^2 ]
    = (パイ*H*R^2 /n^3) * (1/6)n(n+1)(2n+1) ←2乗和の公式から
    = (パイ*H*R^2 / 6) * (1 + 1/n)(2 + 1/n)
となります。

 これで、n→∞ の極限を取れば、1/n→0 になるので
  Vn → パイ*H*R^2 / 3
によって、円錐の体積 V は
  V = パイ*H*R^2 / 3
と求まります。

 分かりづらければ、こんなサイトを参照ください。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …
http://tessy.org/wiki/index.php?%B1%DF%BF%ED%A4% …
0件
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この回答へのお礼

ありがとうございます。解決しました!!
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お礼日時:2016/02/04 22:10

3:04 午前  

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