木曜日, 9月 17, 2015

ドブリュー『価値の理論』:目次他ノート

                 ( 経済学リンク::::::::::
NAMs出版プロジェクト: ドブリュー『価値の理論』
NAMs出版プロジェクト: Debreu関連
http://nam-students.blogspot.jp/2015/09/debreu.html
アロー&ハーン『一般均衡分析』General Competitive Analysis (1971)
http://nam-students.blogspot.jp/2016/05/general-competitive-analysis-1971.html
ヘンダーソン『現代経済学』:目次
http://nam-students.blogspot.jp/2015/11/blog-post_34.html
ヴァリアン『入門ミクロ経済学 [原著第9版]』:目次
http://nam-students.blogspot.jp/2015/11/9.html

均斉成長経路(1937): ジョン・フォン=ノイマン (John von Neumann), 1903-1957
http://nam-students.blogspot.com/2016/06/john-von-neumann-1903-1957.html

ドブリュー『価値の理論』(1959,邦訳1977)は、数学的定義の後、
生産→消費→均衡
と記述が進む。

Xiは第i消費者にとって可能な消費集合、または需要。4.2 (邦訳84頁)

私有制経済 E=((Xi,~P< i),(Yj),(ωi),(θij)) 
に関する均衡の存在証明の可否は、
γi (可能な消費の非空集合(105頁))の連続性にかかっている。4.8 (107頁)
x<<y は「すべてのiについて xi < yi が成り立つ」ことを意味する(9:43,219頁)。
tは実数(1.9:33頁,4.7:100頁)、または日付t(2.2:48頁,2.7:56頁,7.3:166頁)。sは場所。Tは事象。
Rは有限実数の集合(1.5:15頁)。
~ はSi上の擬順序(前順序 Preorder)*。xiはSiの一般の元を示すものとする(1.4:14頁)。

経済 E =
 消費集合((Xi,~P< i), [擬順序、前順序記号の記載方法については考慮中]
 生産集合(Yj),
 資源(ωi),
 配当率(θij))       (62,171頁) 

 γ(ガンマ),θ(シータ),~P< (擬順序の記号*をPC用に書き換えた,1.4:12頁)

《私有制経済 E=((Xi,~P< i),(Yj),(ωi),(θij)) は次の条件で均衡を有する.
すべての i について,
(a) Xi は閉かつ凸で,しかも ≦ に関して下に有界,
(b.1) Xi には飽和点が存在しない,
(b.2) Xi におけるすべての xi' について,集合d {xi ∈ Xi: xi ~P> xi} および {xi ∈ Xi: xi ~P< xi} 
はXi の閉集合,
(b,3) x1i, x2i をXiの二点,tを ]0,1[ に属する実数と
する、そのとき x2i P>i x1i であれば, tx2i + (1−t)x1i P>i x1i .
(c) x0i << ωi を満たす.X0i がXiの中に存在する,
すべてのjについて,
 (d.1) 0 ∈ Yj 
(d.2)Yは閉かつ凸,
 (d.3) Y∩(−Y)⊂{0} 
(d.4) Y⊃(−Ω)     》(5.7:141頁

参考:
http://digamo.free.fr/debreu59.pdf (原著全120頁)
http://chertosha.com/hw/Debreu.pdf (英文ドブリュー『価値の理論』定理要約全2頁)
http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20120515/p1 (コンパクト性、開被覆:日本語入門編解説
\/i
/\s
ベクトルxiは個人i が時刻0に買った財の請求権を表し、
各成分xisは時刻1に状態 s が実現したときに個人 i が受け取ることができる財の量を表す。
(武隈慎一『数理経済学』231頁より)

////////////

THEORY OF VALUE An Axiomatic Analysis Of Economic Equilibrium (Adobe PDF)
... Analysis. Of Economic Equilibrium. GERARD DEBREU. NEW HAVEN AND LONDON, YALE UNIVERSIN PRESS. 1959 ... first rigorous analysis of the problem of equilibrium. ... The theory of value is treated here with the standards of rigor of.
http://digamo.free.fr/debreu59.pdf 原著全120p

THEORY OF VALUE
An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium 
by Gerard Debreu 1959

   CONTENTS

 1.MATHEMATICS
 1. Introduction. 
 2. Sets. 
 3. Functions and Correspondences. 
 4. Preorderings. 
 5. Real Numbers. 
 6. Limits in R^m. 
 7. Continuous Functions. 
 8. Continuous Correspondences. 
 9. Vectors in R^m. 
10. Fixed Points. 
 Notes. 
 2.COMMODITIES AND PRICES
 1. Introduction. 
 2. Dates and Locations. 
 3. Goods. 
 4. Services. 
 5. Commodities. 
 6. Prices. 
 7. Interest, Discount, and Exchange. 
 8. Theory and Interpretations. 
 Notes. 
 3. PRODUCERS 
 1. Introduction. 
 2. Productions and Production Sets. 
 3. Assumptions on Production Sets. 
 4. Profit Maximization. 
 5. Price Variations. 
 Notes. 
 4.CONSUMERS
 1. Introduction. 
 2. Consumptions and Consumption Sets. 
 3. Assumptions on Consumption Sets. 
 4. Preferences. 
 5. Insatiability Assumption on Preferences. 
 6. Continuity Assumption on Preferences. 
 7. Convexity Assumptions on Preferences. 
 8. Wealth Constraint. 
 9. Preference Satisfaction. 
 10. Price-Wealth Variations. 
 Notes. 
 5.EQUILIBRIUM
 1. Introduction. 
 2. Resources. 
 3. Economies. 
 4. Attainable States. 
 5. Private Ownership Economies. 
 6. Market Equilibrium. 
 7. Equilibrium. - Notes. 
 6.OPTIMUM
  I. Introduction. 
 2. Optimum and Equilibrium Relative to a Price System. 
 3. An Equilibrium Relative to a Price System Is an Optimum. 
 4. An Optimum Is an Equilibrium Relative to a Price System. 
 Notes. 
 7.UNCERTAINTY
 1. Introduction. 
 2. Events. 
 3. Commodities and Prices. 
 4. Producers. 
 5. Consumers. 
 6. Equilibrium. 
 7. Optimum. 
 Notes. 
 REFERENCES 
 INDEX Symbols. 
 Names and Terms 


ジェラール・ドブリュー著
価値の理論
~経済均衡の公理的分析~
邦訳 丸山徹 1977,1988
目次

目  次
日本語版への序文
原著者序文

第1章 数学
1.1.序論
1.2.集合
1.3.函数と対応
1.4.擬順序
1.5.実数
1.6.R^mにおける極限
1.7.連続函数
1.8.連続対応
1.9.R^mにおけるベクトル
1.10.不動点
【ノート】

第2章 商品と価格
2.1.序論
2.2.日付と場所
2.3.財
2.4.用役
2.5.商品
2.6.価格
2.7.利子,割引,および交换
2.8.理論と解釈
【ノート】

第3章 生産者
3.1.序論
3.2.生産と生産集合
3.3.生産集合に関する仮定
3.4.利潤の最大化
3.5.価格の変化
【ノート】

第4章 消費者
4.1.序論
4.2.消費と消費集合
4.3.消費集合に関する仮定
4.4.選好
4.5.選好の非飽和性の仮定
4.6.選好の連続性の仮定
4.7.選好の凸性の仮定
4.8.富の制約
4.9.選好の充足
4.10.価格~富の変化
【ノート】

第5章 均衡
5.1.序論
5.2.資源
5.3.経済
5.4.達成可能状態
5.5.私有制経済
5.6.市場均衡
5.7.均衡
【ノート】

第6章 最適
6.1.序論
6.2.最適と価格体系に関しての均衡
6.3.価格体系に関しての均衡は最適である
6.4.最適な状態はある価格体系に関して均衡である
【ノート】

第7章 不確実性
7.1.序論
7.2.事象
7.3.商品と価格
7.4.生産者
7.5.消費者
7.6.均衡
7.7.最適

参考文献
[付録]数理経済均衡理論の四問題

1.経済均衡の存在
2.経済均衡の計算
3.正則微分可能な経済
4.大きな経済のコア

付録参考文献
訳者あとがき
記号表
人名索引
事項索引


1.4:
 
1.9:


3.2:
3.5:
7.3:



付録1:
付録2:
付録3:





NAMs出版プロジェクト: ドブリュー『価値の理論』
NAMs出版プロジェクト: Debreu関連

Debreu.pdf
http://chertosha.com/hw/Debreu.pdf 英文要約定理集2頁

4.8 107頁:


私有制経済に関する均衡の存在証明の可否は、まさにr i の連続性にかかっているのである。4.8 (107頁)

4.8 108頁:


4.9 111頁:




5.7:


  

A full description of the data of a private ownership economyis E={(i),(ωi),(θij),(Yj)},

5.7 141頁:
私有制経済E=((Xi,~R< i),(Yj),(ωi),(θij)) は 次の条件で均衡を有する

E=((Xi,~R< i),(Yj),(ωi),(θij)) has an equilibrium if ∀i and ∀j: 
 (a) Xi closed,convex, lower bound for
 (b.1) no satiation consumption in Xi
 (b.2) ∀xi ∈ Xi:{xi ∈ Xi : xi ~R< xi} and {xi ∈ Xi: xi ~R< xi} are closed in Xi
 (b.3) x2i R> ix1i ⇒ tx2i + (1−t)x1i R> ix1i for any x1i and x2i in Xi and 0 < t < 1.
 (c) ∃x0i ∈ Xi s.t. x0i << ωi 
 (d.1) 0 ∈ Yj 
 (d.2) Y closed and convex
 (d.3) Y ∩ (−Y) ⊂ {0} 
 (d.4) Y ⊃ (−Ω)


私有制経済 E=((Xi,~P< i),(Yj),(ωi),(θij)) は次の条件で均衡を有する.
すべての i について,
(a) Xi は閉かつ凸で,しかも ≦ に関して下に有界,
(b.1) Xi には飽和点が存在しない,
(b.2) Xi におけるすべての xi' について,集合d {xi ∈ Xi: xi ~P> xi} および {xi ∈ Xi: xi ~P< xi} 
はXi の閉集合,
(b,3) x1i, x2i をXiの二点,tを ]0,1[ に属する実数と
する、そのとき x2i P>i x1i であれば, tx2i + (1−t)x1i P>i x1i .
(c) x0i << ωi を満たす.X0i がXiの中に存在する,
すべてのjについて,
 (d.1) 0 ∈ Yj 
(d.2)Yは閉かつ凸,
 (d.3) Y∩(−Y)⊂{0} 
(d.4) Y⊃(−Ω)      (5.7:141頁)




(原著p.83~4)

コンパクト性、開被覆



■キーワード:集合、位相、コンパクト、被覆、開被覆

集合、位相の学習で「コンパクト」というキーワードが登場する。
「位相空間の部分集合について、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことをコンパクトと言う。」


こういわれても、すぐにはピンとこないので、「コンパクトな集合」≒「有界な閉集合」と文字通り覚えるのがてっとり早い。とりあえず、そうやって飲み込んでしまうというのも一つの方法。


頑張って図を使って説明すると次のような感じ。


■まずは開被覆の説明。

位相空間Xの部分集合Aと、Oλ
f:id:Zellij:20120515103302p:image

Oλを集めると次のようになる。
f:id:Zellij:20120515103607p:image

これがAを覆うとき、{Oλ|λ∈J} をAの「被覆」という。
f:id:Zellij:20120515103822p:image

Oλが「開集合」であるとき、「開被覆」という。

■続いてコンパクトの説明。

開被覆は無数にある。

f:id:Zellij:20120515104228p:image

このなかのどれを選んでも、有限個のOλを選んで被覆できる。

f:id:Zellij:20120515104656p:image

このとき、AはXの「コンパクト集合」である。

(1.7:24頁参照)
ーーーー


前順序の定義

さていつも通り定義から入りましょう.


  1. どんな a でも a ≦ a
  2. a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c


昨日の「半順序」から2つ目のルールが消えている形ですね.「a ≦ b かつ a ≧ b でも a = b とは言えない」という性質の順序です.「全順序」よりも弱い「半順序」と比べてさらに弱い順序ということですね.

前順序の例

かなり条件の緩い順序なので, いい加減な比較をしている例を出せば良いことになります.


例えばグループごとの人数で順序付けをする場合,「5人のグループの方が4人のグループよりも大きい」ということは言えますが,「どちらのグループも5人のグループだから同じグループだ」と言うのは違和感がありますね.
グループのメンバーが異っているのにそれらを一緒くたに扱うところに違和感があるのでしょう.「グループの人数」という観点のみで比較しているため,「グループのメンバー」という細かいところまで把握できていないのです. こういう「大雑把な比較」が前順序です.
(1.4:11頁参照)



15 Comments:

Blogger yoji said...

ドブリュー『価値の理論』(1959,邦訳1977)は、数学的定義の後、生産→消費→均衡、
と記述が進む。一般的なミクロ経済学教科書の先駆だ。
その有効性はレオンチェフが疑問視した気持ちもわかるが、わかり始めると、スピノザを読むような爽快感もある。
以下の指摘が特に重要だと思う。

《私有制経済に関する均衡の存在証明の可否は、まさにγi の連続性にかかっているのである。》4.8 (107頁)

γi (可能な消費の非空集合(105頁))
私有制経済 E=((Xi,前順序< i),(Yj),(ωi),(θij))
 消費集合((Xi,前順序< i), 
 生産集合(Yj),
 資源(ωi),
 配当率(θij))      (62,171頁) 

以下、目次:

ジェラール・ドブリュー著
価値の理論
~経済均衡の公理的分析~
邦訳 丸山徹 1977,1988
目  次
日本語版への序文, 原著者序文
第1章 数学
1.1.序 - 1.2.集合 - 1.3.函数と対応 - 1.4.擬順序 - 1.5.実数 - 1.6.R^mにおける極限 - 1.7.連続函数 - 1.8.連続対応 - 1.9.R^mにおけるベクトル - 1.10.不動点 - 【ノート】
第2章 商品と価格
2.1.序論 - 2.2.日付と場所 - 2.3.財 - 2.4.用役 - 2.5.商品 - 2.6.価格 - 2.7.利子,割引,および交换 - 2.8.理論と解釈 - 【ノート】
第3章 生産者
3.1.序論 - 3.2.生産と生産集合 - 3.3.生産集合に関する仮定 - 3.4.利潤の最大化 - 3.5.価格の変化 - 【ノート】
第4章 消費者
4.1.序論 - 4.2.消費と消費集合 - 4.3.消費集合に関する仮定 - 4.4.選好 - 4.5.選好の非飽和性の仮定 - 4.6.選好の連続性の仮定 - 4.7.選好の凸性の仮定 - 4.8.富の制約 - 4.9.選好の充足 - 4.10.価格~富の変化 - 【ノート】
第5章 均衡
5.1.序論 - 5.2.資源 - 5.3.経済 - 5.4.達成可能状態 - 5.5.私有制経済 - 5.6.市場均衡 - 5.7.均衡 - 【ノート】
第6章 最適
6.1.序論 - 6.2.最適と価格体系に関しての均衡 - 6.3.価格体系に関しての均衡は最適である -
6.4.最適な状態はある価格体系に関して均衡である - 【ノート】
第7章 不確実性
7.1.序論 - 7.2.事象 - 7.3.商品と価格 - 7.4.生産者 - 7.5.消費者 - 7.6.均衡 - 7.7.最適
参考文献
[付録]数理経済均衡理論の四問題
1.経済均衡の存在 - 2.経済均衡の計算 - 3.正則微分可能な経済 - 4.大きな経済のコア
付録参考文献, 訳者あとがき, 記号表,
人名索引, 事項索引

4:00 午前  
Blogger yoji said...

ドブリュー『価値の理論』(1959,邦訳1977)は、数学的定義の後、生産→消費→均衡、
と記述が進む。一般的なミクロ経済学教科書の先駆だ。
その有効性に関してレオンチェフが疑問視したことも理解出来るが、一旦わかり始めると、スピノザを読むような爽快感もある。
以下の指摘が特に重要だと思う。

《私有制経済に関する均衡の存在証明の可否は、まさにγi の連続性にかかっているのである。》4.8 (107頁)

γi (可能な消費の非空集合(105頁))
私有制経済 E=((Xi,前順序< i),(Yj),(ωi),(θij))
 消費集合((Xi,前順序< i), 
 生産集合(Yj),
 資源(ωi),
 配当率(θij))      (62,171頁) 

以下、目次:

ジェラール・ドブリュー著
価値の理論
~経済均衡の公理的分析~
邦訳 丸山徹 1977,1988
目  次
日本語版への序文, 原著者序文
第1章 数学
1.1.序 - 1.2.集合 - 1.3.函数と対応 - 1.4.擬順序 - 1.5.実数 - 1.6.R^mにおける極限 - 1.7.連続函数 - 1.8.連続対応 - 1.9.R^mにおけるベクトル - 1.10.不動点 - 【ノート】
第2章 商品と価格
2.1.序論 - 2.2.日付と場所 - 2.3.財 - 2.4.用役 - 2.5.商品 - 2.6.価格 - 2.7.利子,割引,および交换 - 2.8.理論と解釈 - 【ノート】
第3章 生産者
3.1.序論 - 3.2.生産と生産集合 - 3.3.生産集合に関する仮定 - 3.4.利潤の最大化 - 3.5.価格の変化 - 【ノート】
第4章 消費者
4.1.序論 - 4.2.消費と消費集合 - 4.3.消費集合に関する仮定 - 4.4.選好 - 4.5.選好の非飽和性の仮定 - 4.6.選好の連続性の仮定 - 4.7.選好の凸性の仮定 - 4.8.富の制約 - 4.9.選好の充足 - 4.10.価格~富の変化 - 【ノート】
第5章 均衡
5.1.序論 - 5.2.資源 - 5.3.経済 - 5.4.達成可能状態 - 5.5.私有制経済 - 5.6.市場均衡 - 5.7.均衡 - 【ノート】
第6章 最適
6.1.序論 - 6.2.最適と価格体系に関しての均衡 - 6.3.価格体系に関しての均衡は最適である -
6.4.最適な状態はある価格体系に関して均衡である - 【ノート】
第7章 不確実性
7.1.序論 - 7.2.事象 - 7.3.商品と価格 - 7.4.生産者 - 7.5.消費者 - 7.6.均衡 - 7.7.最適
参考文献
[付録]数理経済均衡理論の四問題
1.経済均衡の存在 - 2.経済均衡の計算 - 3.正則微分可能な経済 - 4.大きな経済のコア
付録参考文献, 訳者あとがき, 記号表,
人名索引, 事項索引

4:02 午前  
Blogger yoji said...

定義→生産→消費→均衡(最適化)

4:04 午前  
Blogger yoji said...

ドブリュー『価値の理論』(1959,邦訳1977)は、数学的定義の後、生産→消費→均衡、
と記述が進む。一般的なミクロ経済学教科書の先駆だ。
その有効性に関してレオンチェフが疑問視したことも理解出来るが、一旦わかり始めると、スピノザを読むような爽快感もある。
以下の指摘が特に重要だと思う。

《私有制経済に関する均衡の存在証明の可否は、まさにγi の連続性にかかっているのである。》4.8 (107頁)

γi (可能な消費の非空集合(105頁))
私有制経済 E=((Xi,前順序< i),(Yj),(ωi),(θij))
 消費集合((Xi,前順序< i), 
 生産集合(Yj),
 資源(ωi),
 配当率(θij))      5.7(171頁) 

以下、目次:

ジェラール・ドブリュー著
価値の理論
~経済均衡の公理的分析~
邦訳 丸山徹 1977,1988
目  次
日本語版への序文, 原著者序文
第1章 数学
1.1.序 - 1.2.集合 - 1.3.函数と対応 - 1.4.擬順序 - 1.5.実数 - 1.6.R^mにおける極限 - 1.7.連続函数 - 1.8.連続対応 - 1.9.R^mにおけるベクトル - 1.10.不動点 - 【ノート】
第2章 商品と価格
2.1.序論 - 2.2.日付と場所 - 2.3.財 - 2.4.用役 - 2.5.商品 - 2.6.価格 - 2.7.利子,割引,および交换 - 2.8.理論と解釈 - 【ノート】
第3章 生産者
3.1.序論 - 3.2.生産と生産集合 - 3.3.生産集合に関する仮定 - 3.4.利潤の最大化 - 3.5.価格の変化 - 【ノート】
第4章 消費者
4.1.序論 - 4.2.消費と消費集合 - 4.3.消費集合に関する仮定 - 4.4.選好 - 4.5.選好の非飽和性の仮定 - 4.6.選好の連続性の仮定 - 4.7.選好の凸性の仮定 - 4.8.富の制約 - 4.9.選好の充足 - 4.10.価格~富の変化 - 【ノート】
第5章 均衡
5.1.序論 - 5.2.資源 - 5.3.経済 - 5.4.達成可能状態 - 5.5.私有制経済 - 5.6.市場均衡 - 5.7.均衡 - 【ノート】
第6章 最適
6.1.序論 - 6.2.最適と価格体系に関しての均衡 - 6.3.価格体系に関しての均衡は最適である -
6.4.最適な状態はある価格体系に関して均衡である - 【ノート】
第7章 不確実性
7.1.序論 - 7.2.事象 - 7.3.商品と価格 - 7.4.生産者 - 7.5.消費者 - 7.6.均衡 - 7.7.最適
参考文献
[付録]数理経済均衡理論の四問題
1.経済均衡の存在 - 2.経済均衡の計算 - 3.正則微分可能な経済 - 4.大きな経済のコア
付録参考文献, 訳者あとがき, 記号表,
人名索引, 事項索引

4:08 午前  
Blogger yoji said...

ドブリュー『価値の理論』(1959,邦訳1977)は、数学的定義の後、生産→消費→均衡、
と記述が進む。一般的なミクロ経済学教科書の先駆だ。
その有効性に関してレオンチェフが疑問視したことも理解出来るが、一旦わかり始めると、スピノザを読むような爽快感もある。
以下の指摘が特に重要だと思う。

《私有制経済に関する均衡の存在証明の可否は、まさにγi の連続性にかかっているのである。》4.8 (107頁)

i(消費)
γi (可能な消費の非空集合(105頁))
私有制経済 E=((Xi,前順序< i),(Yj),(ωi),(θij))
 消費集合((Xi,前順序< i), 
 生産集合(Yj),
 資源(ωi),
 配当率(θij))      5.7(171頁) 

以下、目次:

ジェラール・ドブリュー著
価値の理論
~経済均衡の公理的分析~
邦訳 丸山徹 1977,1988
目  次
日本語版への序文, 原著者序文
第1章 数学
1.1.序 - 1.2.集合 - 1.3.函数と対応 - 1.4.擬順序 - 1.5.実数 - 1.6.R^mにおける極限 - 1.7.連続函数 - 1.8.連続対応 - 1.9.R^mにおけるベクトル - 1.10.不動点 - 【ノート】
第2章 商品と価格
2.1.序論 - 2.2.日付と場所 - 2.3.財 - 2.4.用役 - 2.5.商品 - 2.6.価格 - 2.7.利子,割引,および交换 - 2.8.理論と解釈 - 【ノート】
第3章 生産者
3.1.序論 - 3.2.生産と生産集合 - 3.3.生産集合に関する仮定 - 3.4.利潤の最大化 - 3.5.価格の変化 - 【ノート】
第4章 消費者
4.1.序論 - 4.2.消費と消費集合 - 4.3.消費集合に関する仮定 - 4.4.選好 - 4.5.選好の非飽和性の仮定 - 4.6.選好の連続性の仮定 - 4.7.選好の凸性の仮定 - 4.8.富の制約 - 4.9.選好の充足 - 4.10.価格~富の変化 - 【ノート】
第5章 均衡
5.1.序論 - 5.2.資源 - 5.3.経済 - 5.4.達成可能状態 - 5.5.私有制経済 - 5.6.市場均衡 - 5.7.均衡 - 【ノート】
第6章 最適
6.1.序論 - 6.2.最適と価格体系に関しての均衡 - 6.3.価格体系に関しての均衡は最適である -
6.4.最適な状態はある価格体系に関して均衡である - 【ノート】
第7章 不確実性
7.1.序論 - 7.2.事象 - 7.3.商品と価格 - 7.4.生産者 - 7.5.消費者 - 7.6.均衡 - 7.7.最適
参考文献
[付録]数理経済均衡理論の四問題
1.経済均衡の存在 - 2.経済均衡の計算 - 3.正則微分可能な経済 - 4.大きな経済のコア
付録参考文献, 訳者あとがき, 記号表,
人名索引, 事項索引

4:10 午前  
Blogger yoji said...

ドブリュー『価値の理論』(1959,邦訳1977)は、数学的定義の後、生産→消費→均衡、
と記述が進む。一般的なミクロ経済学教科書の先駆だ。
その有効性に関してレオンチェフが疑問視したことも理解出来るが、一旦わかり始めると、スピノザを読むような爽快感もある。
以下の指摘が特に重要だと思う。

《私有制経済に関する均衡の存在証明の可否は、まさにγi の連続性にかかっているのである。》4.8 (107頁)

i(消費)
γi (可能な消費の非空集合(105頁))
私有制経済 E=((Xi,前順序< i),(Yj),(ωi),(θij))
 消費集合((Xi,前順序< i), 
 生産集合(Yj),
 資源(ωi),
 配当率(θij))      5.7(171頁) 

以下、目次:

ジェラール・ドブリュー著
価値の理論
~経済均衡の公理的分析~
邦訳 丸山徹 1977,1988
目  次
日本語版への序文, 原著者序文
第1章 数学
1.1.序 - 1.2.集合 - 1.3.函数と対応 - 1.4.擬順序 - 1.5.実数 - 1.6.R^mにおける極限 - 1.7.連続函数 - 1.8.連続対応 - 1.9.R^mにおけるベクトル - 1.10.不動点 - 【ノート】
第2章 商品と価格
2.1.序論 - 2.2.日付と場所 - 2.3.財 - 2.4.用役 - 2.5.商品 - 2.6.価格 - 2.7.利子,割引,および交换 - 2.8.理論と解釈 - 【ノート】
第3章 生産者
3.1.序論 - 3.2.生産と生産集合 - 3.3.生産集合に関する仮定 - 3.4.利潤の最大化 - 3.5.価格の変化 - 【ノート】
第4章 消費者
4.1.序論 - 4.2.消費と消費集合 - 4.3.消費集合に関する仮定 - 4.4.選好 - 4.5.選好の非飽和性の仮定 - 4.6.選好の連続性の仮定 - 4.7.選好の凸性の仮定 - 4.8.富の制約 - 4.9.選好の充足 - 4.10.価格~富の変化 - 【ノート】
第5章 均衡
5.1.序論 - 5.2.資源 - 5.3.経済 - 5.4.達成可能状態 - 5.5.私有制経済 - 5.6.市場均衡 - 5.7.均衡 - 【ノート】
第6章 最適
6.1.序論 - 6.2.最適と価格体系に関しての均衡 - 6.3.価格体系に関しての均衡は最適である -
6.4.最適な状態はある価格体系に関して均衡である - 【ノート】
第7章 不確実性
7.1.序論 - 7.2.事象 - 7.3.商品と価格 - 7.4.生産者 - 7.5.消費者 - 7.6.均衡 - 7.7.最適
参考文献
[付録]数理経済均衡理論の四問題
1.経済均衡の存在 - 2.経済均衡の計算 - 3.正則微分可能な経済 - 4.大きな経済のコア
付録参考文献, 訳者あとがき, 記号表,
人名索引, 事項索引

4:10 午前  
Blogger yoji said...

経済分析第120号 応用一般均衡モデルと公共政策 - 経済社会総合研究所
www.esri.go.jp/jp/archive/bun/bun120/bun120.html
AGE分析手法の開発は、1960年代半ば頃米国エール大学の数理経済学者H.スカーフ (Scarf)によってなされた均衡価格(数学的には不動点)を近似値に算出する アルゴリズム (algorithm, 解法手順) の考案が、もっとも大きなきっかけになっている。 従来の ...
状態(の変化)* on Twitter: "スカーフのアルゴリズムは不動点定理の単体 ...
twitter.com/tuviannavy/status/101828518589108227
スカーフのアルゴリズムは不動点定理の単体分割を有限回(exp(N)個)で打ち切った ことに相当するはず. View translation. Translated from Japanese by Bing Wrong translation? 6:33 PM - 11 Aug 2011. 0 retweets 0 favorites. Reply. Retweet.

4:12 午前  
Blogger yoji said...

ヴァリアン
ミクロ経済分析6:p242

に以下の証明が別訳で引用されている


《私有制経済 E=((Xi,~P< i),(Yj),(ωi),(θij)) は次の条件で均衡を有する.
すべての i について,
(a) Xi は閉かつ凸で,しかも ≦ に関して下に有界,
(b.1) Xi には飽和点が存在しない,
(b.2) Xi におけるすべての xi' について,集合d {xi ∈ Xi: xi ~P> xi} および {xi ∈ Xi: xi ~P< xi}
はXi の閉集合,
(b,3) x1i, x2i をXiの二点,tを ]0,1[ に属する実数と
する、そのとき x2i P>i x1i であれば, tx2i + (1−t)x1i P>i x1i .
(c) x0i << ωi を満たす.X0i がXiの中に存在する,
すべてのjについて,
(d.1) 0 ∈ Yj
(d.2)Yは閉かつ凸,
(d.3) Y∩(−Y)⊂{0}
(d.4) Y⊃(−Ω)     》(5.7:141頁)

5:11 午前  
Blogger yoji said...

 均衡の存在 z(p)が価格単体上で定義されたワルラス法則を満たす連続関
数であれば,第5章の議論を適用し,z(p*)≦0となるp*が存在することを
示せる.われわれが見たように,各企業の生産可能集合が強凸であると,連続
性は満足される.われわれにとって必要なのは総生産可能集合が凸であること
だけであるが,これを見るのはそれほど難しくない.たとえ個別の企業が,小
さい領域で規模に関して収穫逓増になるような非凸性を示すとしても,そのた
めにもたらされる非連続性は集計すれば消える可能性があるからである.
 今まで説明してきた均衡の存在の議論は,われわれが需要関数を扱うときに
のみ成立することを想起しよう.このことが課す唯一の重大な制約は,かなり
の重要性をもつ規模に関して収穫不変の技術を排除しているということである.
そこで,ここでは一般的な場合における存在定理を示し,その仮定の経済的意
味について検討しよう.

定理 次の仮定が満たされると,経済に均衡が存在する.
(1) 各消費者の消費集合は閉,凸,かつ下から有界である.
(2) すべての消費者にとって,飽和消費ベクトルは存在しない.
(3) 各消費者 i について,集合{xi :xi>_順x'i}と{xi :x'i>_順xi}は閉である
(4) 各消費者は彼の消費集合の内部にその初期賦存ベクトルをもっている.
(5) 各消費者 i について,xi と x'i が2つの消費ベクトルであれば,xi>_順 ix'i
 は任意のO<tく1に対してtxi+(1−t)x'i>順x'i を意味する.
(6) 各企業jについて,0はYj (j=1,…,m)の要素である.
(7) Yj (j=1,…,m)は閉かつ凸である.
(8) Yj ∩(−Yj)={0},j=1,…,m.
(9) Yj ⊃(−R+),j=1,…,m.

証明 デブリュー(1959)を見よ.□

 それぞれの仮定が,何のために用いられるかを確実に理解しておこう.仮定
(1),(2),(3),(4),(5)は,消費者の(多価)需要関数かある形の連続性をもつ
ことを証明するために用いられる.これらの仮定の経済的意味はすでにおなじ
みである.仮定(6)は企業がいつでも操業を止められるという仮定であり,
これによって均衡での利潤が非負になることが保証される.仮定(7)は各企
業の(多価)需要関数の連続性を保証する.仮定(8)は生産が非可逆的であ
ること,すなわち,ある純産出ベクトルyを生みだした後に,その産出物を投
入して役入物を逆に生産するのは不可能であることを保証している.これは配
分の実行可能集合の有界性を保証するために用いられる.最後に,仮定(9)
は,すべての財を投入物として用いる生産計画は実行可能であることを示して
いるが,これは本質的には自由処分の仮定である.

varian-analysis #6 邦訳241-3頁

5:04 午後  
Blogger yoji said...

スピノザのエチカの隣に並べるべき経済学書

8:19 午前  
Blogger yoji said...

5つ星のうち 5.0ミクロ経済学の基礎
投稿者 カスタマー 投稿日 2004/11/28
形式: 単行本
~ 本書は現代のミクロ経済学の基本的なモデルの1つである一般均衡理論の基本的な書物である。通常、大学で学ぶミクロ経済学の基礎的な内容がつまっている。例えば、消費者の効用関数は、普通、単調増加な連続関数とされるが、本書では、どのような仮定の下で効用関数というものが単調な連続関数になるのかということを、数学を用いてしっかりと証明している。$~~N$
 この、「仮定」をいくつかおいてそこから「結論」を導くという「公理的」スタイルが本書の最大の特徴であると言えよう。需要と供給の一致するところが均衡だという経済学の基本的な考え方を極めて論理的に論ずるには数学が必要である。本書では、あるいくつかの仮定をおいて、均衡が存在するということが証明される。
 第1章は、そのための数学的準~~備である。本書で最大の難関は第1章の数学と、先ほど述べた効用関数の連続性の証明のところであると言われることもあるくらいで、第1章を読み通すことは非常に辛い作業になるかも知れない。しかし、第1章を読み通す数学力を身につけることができれば、その後は楽に読み進めることができる。その意味で第1章を飛ばさずに読めば得るところは大きいと言える。参考~~書として、本書の翻訳者でもある丸山徹氏の著書「経済数学」(知泉書館)を手元に置きながらだと、第1章を読みこなせるだろう。~

6:29 午前  
Blogger yoji said...

位相空間のコンパクト性について質問です.
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math_lim_hamanazeさん2013/12/2801:22:53
位相空間のコンパクト性について質問です.
位相空間でコンパクトであることの証明の方法がわかりません.
例えば,S^3={(x_1,x_2,x_3,x_4)∈R^4|x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1}がコンパクトであることの証明をどのようにすればよいかわかりません.
わかる方,回答をお願いします.

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ベストアンサーに選ばれた回答
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hogehogetttさん 2013/12/2808:57:52
R^n (n次元ユークリッド空間)内の、有界閉集合は常にコンパクトだから、
ではだめですか?

R^n (n次元ユークリッド空間)内の、有界閉集合は常にコンパクト

は、実数の連続性にまつわる割と深い結果なので、解析や位相の本で
証明をご確認を。

といいつつ、簡単な証明を
(1)Rの有界閉区間[a,b]はコンパクトである。
→実数の連続性の有名な問題
(2) コンパクト空間の積集合はコンパクトである
(チコノフの定理。これを持ち出すのは反則かな・・・)
(3)コンパクト空間の閉集合コンパクトである。
の三つの位相空間論の常識的な定理を持ち出します。

すると、たとえばS1は

[-2,2]×[-2,2]×...×[-2,2]

に含まれる閉集合なので、コンパクト、といえます。

S^3 がコンパクト、であることの証明ですが、
一般に、位相空間XとYがあって、連続写像f:X→Y
があるとき、Yの閉集合Vに対してその逆像f^(-1)(V)
も閉集合になります(連続写像の定義ほぼそのもの。
普通は開集合を使いますが、単に補集合をとるだけ)

今は
X = R^n
Y = R
fは
f(x_1,....,xn) = x1^2・・・+x_n^2
と考えます。

ちなみに、R^nの有界閉集合がコンパクトであることも、
実数の連続性から直接証明でます(上のように、わざわざ
チコノフまで持ち出さなくても)

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12:33 午前  
Blogger yoji said...


Blogger yoji said...

スピノザのエチカの隣に並べるべき経済学書
8:19 午前

森嶋通夫が『終わりよければ』で同じことを書いていた

1:35 午前  
Blogger yoji said...

また、関数 f(x) がある区間 I で連続であるとは、I に属するそれぞれの点において連続であることを言う: 関数f(x) が多変数であったり、またはベクトル値関数である場合にも、基本的には上の絶対値の記号をノルム(長さ)に変更すれば同じようにして連続性を定義することができる。

連続 (数学) - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
連続 (数学) - Wikipedia
ja.wikipedia.org/wiki/連続_(数学)
数学において、連続(れんぞく、英: continuous)および連続性(れんぞくせい、英: continuity)とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限 .... 関数空間の ような無限個の変数で表される対象や、さらに抽象的な位相空間上で定義された写像 についての連続性は近傍系やフィルター、有向点族(ネット)などの概念を通じて定義 される。
一変数実関数の連続性-各点連続-一様連続-不連続関数
関数の連続性と一様連続性 | 高校数学の美しい物語
mathtrain.jp/continue
limx→af(x)=f(a) が成立するとき,関数 f(x) が x=a で連続という。 また,定義域(考えて いる区間内)の任意の点 a で関数 f が連続のとき,f を連続関数と呼ぶ。 まずは関数の 連続性と一様連続性についての大雑把なイメージを解説して, ...
関数の連続,極限関数
www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/renzoku.htm
関数の連続,極限関数 · 極限値→係数. ◇解説◇ 関数のグラフが視覚的には「 つながっていて,切れ目がない」ときに,連続であるといいます。 これを数式を用いて 調べるには,次の定義によります。 ◇連続の定義◇ 次の関係が成り立つとき,関数 f(x) は x = a ...
関数の連続性
www.geisya.or.jp/~mwm48961/electro/continuity1.htm
【連続の定義】 1変数xの関数y=f(x)が,x=aにおいて連続であるとは,次の3つの条件が 満たされることをいいます. (1) 関数値f(a)が ... は,公益社団法人日本技術士会の ホームページに掲載されている「技術士第一次試験過去問題 共通科目A 数学」の引用 です.
関数の連続性 (Adobe PDF) -htmlで見る
daisy.math.sci.ehime-u.ac.jp/users/tsuchiya/.../continuous.pdf
関数の連続性. この節では、「実数の連続性」を使い、関数 f(x) の連続性を ε-δ 論法を 用いて定義し. ます。 高校時代に、関数の極限について勉強しました。高校の「数学 III」 では、「関数f(x) に. おいて、 x が a と異なる値をとりながらを限りなく a に近づくとき、.
連続(れんぞく)とは - コトバンク
kotobank.jp/word/連続-152166
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典 - 連続の用語解説 - 区間 [a,b] で定義されて いる関数 f(x) が,この区間に属する1点 a で, ... 2 数学で、関数f(x)で定義域内の点a にxが近づくときの極限値が存在し、f(a)に等しいとき、f(x)はx=aで連続であるという。
辞書別に見る:プログレッシブ和英中辞典(第3版)-日本大百科全書(ニッポニカ)
連続 (数学) - Wikiwand
www.wikiwand.com/ja/連続_(数学)
数学において、連続(れんぞく、英: continuous)および連続性(れんぞくせい、英: continuity)とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを ... 各点連続よりも強い 概念に一様連続性の概念がある。1変数実関数に f(x) についてこれは次のように定義 される。

1:28 午前  
Blogger yoji said...


数学において、連続(れんぞく、英: continuous)および連続性(れんぞくせい、英: continuity)とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。[* 1]

「連続写像」も参照

1:28 午前  

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