日曜日, 9月 20, 2015

Debreu関連(追記)


                 ( 経済学リンク::::::::::
NAMs出版プロジェクト: ドブリュー『価値の理論』
NAMs出版プロジェクト: Debreu関連

以下、ドブリュー『価値の理論』(1959,邦訳1977)5.7より

Xiは第i消費者にとって可能な消費集合、または需要(4.2 :邦訳84頁)。
<~は擬順序(前順序 Preorder)の記号*をPC用に書き換えた,(1.4:12頁)。
x<<y は「すべての i について xi < yi が成り立つ」ことを意味する(9:43,219頁)。
t は実数(1.9:33頁,4.7:100頁)、または日付 t (2.2:48頁,2.7:56頁.7.3:66頁)。s は場所。Tは事象。
tは転置を表す場合もある(武隈☆64頁)。*は元を表す。
~ はSi上の擬順序*。xiはSiの一般の元を示すものとする(1.4:14頁)。

《私有制経済  E =消費集合((Xi,<~ i),生産集合(Yj),資源(ωi),配当率(θij)) は次の条件で
均衡を有する.すべての 消費 i について,
(a) Xi は閉かつ凸で,しかも ≦ に関して下に有界,
(b.1) Xi には飽和点が存在しない,
(b.2) Xi におけるすべての xi' について,集合d {xi ∈ Xi: xi >~ xi} および {xi ∈ Xi: xi <~ xi} 
はXi の閉集合,
(b,3) x1i, x2i をXiの二点,tを ]0,1[ に属する実数と
する、そのとき x2i >i x1i であれば, tx2i + (1−t)x1i >i x1i .
(c) x0i << ωi を満たす X0i がXiの中に存在する,
すべての生産 j について,
 (d.1) 0 ∈ Yj 
(d.2)Yは閉かつ凸,
 (d.3) Y∩(−Y)⊂{0} 
(d.4) Y⊃(−Ω)    》  
(5.7:邦訳141~2頁参照)

ちなみに、私有制経済 E=((X,<~ i),(Yj),(ωi),(θij)) に関する均衡の存在証明の可否は、
γi (可能な消費の非空集合(105頁))の連続性にかかっている。4.8 (107頁)

参考:http://digamo.free.fr/debreu59.pdf (原著全120頁)
http://chertosha.com/hw/Debreu.pdf (英文ドブリュー定理要約全2頁)
http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20120515/p1(コンパクト性、開被覆の日本語解説)

\/i
/\s
ベクトルxiは個人i が時刻0に買った財の請求権を表し、
各成分xisは時刻1に状態 s が実現したときに個人 i が受け取ることができる財の量を表す。
(☆武隈慎一『数理経済学』231頁より)

ただしドブリューの期待と異なり、均衡点が複数ある場合、非決定状態になる。
NAMs出版プロジェクト: 需要と供給
http://nam-students.blogspot.jp/2015/09/blog-post_72.html(本頁)

ーーーー

THEORY OF VALUE An Axiomatic Analysis Of Economic Equilibrium (Adobe PDF)
... Analysis. Of Economic Equilibrium. GERARD DEBREU. NEW HAVEN AND LONDON, YALE UNIVERSIN PRESS. 1959 ... first rigorous analysis of the problem of equilibrium. ... The theory of value is treated here with the standards of rigor of.
http://digamo.free.fr/debreu59.pdf 原著全120p





THEORY OF VALUE An Axiomatic Analysis Of Economic Equilibrium (Adobe PDF)
... Analysis. Of Economic Equilibrium. GERARD DEBREU. NEW HAVEN AND LONDON, YALE UNIVERSIN PRESS. 1959 ... first rigorous analysis of the problem of equilibrium. ... The theory of value is treated here with the standards of rigor of.
http://digamo.free.fr/debreu59.pdf 原著全120p

THEORY OF VALUE
An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium 
by Gerard Debreu 1959

CONTENTS
1.MATHEMATICS
 1. Introduction. - 2. Sets. - 3. Functions and Correspondences. - 4. Preorderings. - 5. Real Numbers. - 6. Limits in R^m. - 7. Continuous Functions. - 8. Continuous Correspondences. - 9. Vectors in R^m. - 10. Fixed Points. - Notes. 
2.COMMODITIES AND PRICES
 1. Introduction. - 2. Dates and Locations. - 3. Goods. - 4. Services. - 5. Commodities. - 6. Prices. - 7. Interest, Discount, and Exchange. - 8. Theory and Interpretations. - Notes. 
 3. PRODUCERS 
1. Introduction. - 2. Productions and Production Sets. - 3. Assumptions on Production Sets. - 4. Profit Maximization. - 5. Price Variations. - Notes. 
4.CONSUMERS
 1. Introduction. - 2. Consumptions and Consumption Sets. - 3. Assumptions on Consumption Sets. - 4. Preferences. - 5. Insatiability Assumption on Preferences. - 6. Continuity Assumption on Preferences. - 7. Convexity Assumptions on Preferences. - 8. Wealth Constraint. - 9. Preference Satisfaction. - 10. Price- Wealth Variations. - Notes. 
5.EQUILIBRIUM
 1. Introduction. - 2. Resources. - 3. Economies. - 4. Attainable States. - 5. Private Ownership Economies. - 6. Market Equilibrium. - 7. Equilibrium. - Notes. 
6.OPTIMUM
 I. Introduction. - 2. Optimum and Equilibrium Relative to a Price System. - 3. An Equilibrium Relative to a Price System Is an Optimum. - 4. An Optimum Is an Equilibrium Relative to a Price System. - Notes. 
7.UNCERTAINTY
 1. Introduction. - 2. Events. - 3. Commodities and Prices. - 4. Producers. - 5. Consumers. - 6. Equilibrium. - 7. Optimum. - Notes. 
REFERENCES 
INDEX Symbols. - Names and Terms 


ジェラール・ドブリュー著
価値の理論
~経済均衡の公理的分析~
邦訳 丸山徹 1977,1988
目  次
日本語版への序文, 原著者序文
第1章 数学
1.1.序  - 1.2.集合  - 1.3.函数と対応 -  1.4.擬順序  - 1.5.実数 - 1.6.R^mにおける極限 -  1.7.連続函数 -  1.8.連続対応 - 1.9.R^mにおけるベクトル - 1.10.不動点  - 【ノート】
第2章 商品と価格
2.1.序論  - 2.2.日付と場所  - 2.3.財 - 2.4.用役 -  2.5.商品 - 2.6.価格  - 2.7.利子,割引,および交换 -  2.8.理論と解釈  - 【ノート】
第3章 生産者
3.1.序論 -  3.2.生産と生産集合  - 3.3.生産集合に関する仮定 - 3.4.利潤の最大化 -  3.5.価格の変化  - 【ノート】
第4章 消費者
4.1.序論 -  4.2.消費と消費集合 -  4.3.消費集合に関する仮定 - 4.4.選好 -  4.5.選好の非飽和性の仮定  - 4.6.選好の連続性の仮定 - 4.7.選好の凸性の仮定 -  4.8.富の制約 - 4.9.選好の充足  - 4.10.価格~富の変化  - 【ノート】
第5章 均衡
5.1.序論  - 5.2.資源 -  5.3.経済 - 5.4.達成可能状態 -  5.5.私有制経済 - 5.6.市場均衡 -  5.7.均衡  - 【ノート】
第6章 最適
6.1.序論  - 6.2.最適と価格体系に関しての均衡 - 6.3.価格体系に関しての均衡は最適である - 
6.4.最適な状態はある価格体系に関して均衡である -  【ノート】
第7章 不確実性
7.1.序論 -  7.2.事象 -  7.3.商品と価格 - 7.4.生産者 -  7.5.消費者 -  7.6.均衡 -  7.7.最適
参考文献
[付録]数理経済均衡理論の四問題
1.経済均衡の存在 -  2.経済均衡の計算 - 3.正則微分可能な経済 -  4.大きな経済のコア
付録参考文献, 訳者あとがき, 記号表,
人名索引, 事項索引

ーーーー

以下、ドブリュー『価値の理論』(1959,邦訳1977)5.7より

Xiは第i消費者にとって可能な消費集合、または需要(4.2 :邦訳84頁)。
~Rは擬順序の記号をPC用に書き換えた,(1.4:12頁)。
x<<y は「すべてのiについて xi < yi が成り立つ」ことを意味する(9:43,219頁)。
tは実数(1.9:33頁,4.7:100頁)、または日付t(2.7:56頁,7.3:166頁)。sは場所。Tは事象。
~ はSi上の擬順序。xiはSiの一般の元を示すものとする(1.4:14頁)。

《私有制経済  E =消費集合((Xi,<~ i),生産集合(Yj),資源(ωi),配当率(θij)) は次の条件で
均衡を有する.すべての 消費 i について,
(a) Xi は閉かつ凸で,しかも ≦ に関して下に有界,
(b.1) Xi には飽和点が存在しない,
(b.2) Xi におけるすべての xi' について,集合d {xi ∈ Xi: xi >~ xi} および {xi ∈ Xi: xi <~ xi} 
はXi の閉集合,
(b,3) x1i, x2i をXiの二点,tを]0,1[に属する実数と
する、そのとき x2i >i x1i であれば, tx2i + (1−t)x1i >i x1i .
x0i << ωi を満たす.X0i がXiの中に存在する,
すべての生産 j について,
 (d.1) 0 ∈ Yj 
(d.2)Yは閉かつ凸,
 (d.3) Y∩(−Y)⊂{0} 
(d.4) Y⊃(−Ω)    》  
(5.7:邦訳141~2頁参照)

ちなみに、私有制経済 E=((Xi,~R< i),(Yj),(ωi),(θij)) に関する均衡の存在証明の可否は、
γi (可能な消費の非空集合(105頁))の連続性にかかっている。4.8 (107頁)

参考:http://chertosha.com/hw/Debreu.pdf (英文ドブリュー定理要約全2頁)
http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20120515/p1(コンパクト性、開被覆の日本語解説)


邦訳141~2頁
ーーー

Debreu.pdf
http://chertosha.com/hw/Debreu.pdf

5.7



  

A full description of the data of a private ownership economyis E={(i),(ωi),(θij),(Yj)},

141
5.7
私有制経済E=((Xi,~R< i),(Yj),(ωi),(θij)) は 次の条件で均衡を有する

E=((Xi,~R< i),(Yj),(ωi),(θij)) has an equilibrium if ∀i and ∀j: 
 (a) Xi closed,convex, lower bound for
 (b.1) no satiation consumption in Xi
 (b.2) ∀xi ∈ Xi:{xi ∈ Xi : xi ~R< xi} and {xi ∈ Xi: xi ~R< xi} are closed in Xi
 (b.3) x2i R> ix1i ⇒ tx2i + (1−t)x1i R> ix1i for any x1i and x2i in Xi and 0 < t < 1.
 (c) ∃x0i ∈ Xi such that x0i << ωi 
 (d.1) 0 ∈ Yj 
 (d.2) Y closed and convex
 (d.3) Y ∩ (−Y) ⊂ {0} 
 (d.4) Y ⊃ (−Ω)


141
5.7
私有制経済 E=((Xi, ~R< i),(Yj),(ωi),(θij)) は次の条件
で均衡を有する.

すぺての i について,

(a) Xi は閉かつ凸で,しかも ≦ に関して下に有界,
(b.1) Xi には飽和点が存在しない,
(b.2) Xi におけるすべての xi' について,集合d {xi ∈ Xi: xi ~R> xi} および {xi ∈ Xi: xi ~R< xi} 
はXi の閉集合,
(b,3) x1i, x2i をXiの二点,tを]0,1[に属する実数と
する、そのとき x2i R> ix1i であれば, tx2i + (1−t)x1i R> ix1i .
x0i << ωi を満たす.X0i がXiの中に存在する,
すべてのjについて,
 (d.1) 0 ∈ Yj 
(d.2)Yは閉かつ凸,
 (d.3) Y∩(−Y)⊂{0} 
(d.4) Y⊃(−Ω)  


邦訳141~2頁
       


(原著p.83~4)
ーーー

   
138~9頁

順序構造
x ≦ y」とは「x < y または x = y」のことである。「x ≧ y」も同様に定義される。
(•, •)開区間(ab) は {x : a < x < b} を表す
]•, •[
[•, •]閉区間[ab] は {x : a ≦ x ≦ b} を表す
(•, •]半開区間(ab] は {x : a < x ≦ b} を表す
]•, •]
[•, •)[ab) は {x : a ≦ x < b} を表す


解析学
\ll非常に小x ≪ y」は x が y に比べて非常に小さいことを表す。「どれくらい」小さいかは文脈による。
\gg非常に大x ≫ y」は x が y に比べて非常に大きいことを表す。「どれくらい」大きいかは文脈による。

コンパクト性、開被覆



■キーワード:集合、位相、コンパクト、被覆、開被覆

集合、位相の学習で「コンパクト」というキーワードが登場する。
「位相空間の部分集合について、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことをコンパクトと言う。」


こういわれても、すぐにはピンとこないので、「コンパクトな集合」≒「有界な閉集合」と文字通り覚えるのがてっとり早い。とりあえず、そうやって飲み込んでしまうというのも一つの方法。


頑張って図を使って説明すると次のような感じ。


■まずは開被覆の説明。

位相空間Xの部分集合Aと、Oλ
f:id:Zellij:20120515103302p:image

Oλを集めると次のようになる。
f:id:Zellij:20120515103607p:image

これがAを覆うとき、{Oλ|λ∈J} をAの「被覆」という。
f:id:Zellij:20120515103822p:image

Oλが「開集合」であるとき、「開被覆」という。

■続いてコンパクトの説明。

開被覆は無数にある。

f:id:Zellij:20120515104228p:image

このなかのどれを選んでも、有限個のOλを選んで被覆できる。

f:id:Zellij:20120515104656p:image

このとき、AはXの「コンパクト集合」である。



講座 数学の考え方〈8〉集合と位相空間はじめよう位相空間集合と位相 そのまま使える答えの書き方 (KS理工学専門書)

(1.7:24頁参照)
ーーーー

前順序の定義

さていつも通り定義から入りましょう.


  1. どんな a でも a ≦ a
  2. a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c


昨日の「半順序」から2つ目のルールが消えている形ですね.「a ≦ b かつ a ≧ b でも a = b とは言えない」という性質の順序です.「全順序」よりも弱い「半順序」と比べてさらに弱い順序ということですね.

前順序の例

かなり条件の緩い順序なので, いい加減な比較をしている例を出せば良いことになります.


例えばグループごとの人数で順序付けをする場合,「5人のグループの方が4人のグループよりも大きい」ということは言えますが,「どちらのグループも5人のグループだから同じグループだ」と言うのは違和感がありますね.
グループのメンバーが異っているのにそれらを一緒くたに扱うところに違和感があるのでしょう.「グループの人数」という観点のみで比較しているため,「グループのメンバー」という細かいところまで把握できていないのです. こういう「大雑把な比較」が前順序です.

(1.4:11頁参照)
ーーーー

価値の理論―経済均衡の公理的分析-ジェラール・ドブリュー
http://www.amazon.co.jp/dp/4492311033/
ミクロ経済学の基礎投稿者 カスタマー 投稿日 2004/11/28
形式: 単行本
 本書は現代のミクロ経済学の基本的なモデルの1つである一般均衡理論の基本的な書物である。通常、大学で学ぶミクロ経済学の基礎的な内容がつまっている。例えば、消費者の効用関数は、普通、単調増加な連続関数とされるが、本書では、どのような仮定の下で効用関数というものが単調な連続関数になるのかということを、数学を用いてしっかりと証明している。
 この、「仮定」をいくつかおいてそこから「結論」を導くという「公理的」スタイルが本書の最大の特徴であると言えよう。需要と供給の一致するところが均衡だという経済学の基本的な考え方を極めて論理的に論ずるには数学が必要である。本書では、あるいくつかの仮定をおいて、均衡が存在するということが証明される。
 第1章は、そのための数学的準備である。本書で最大の難関は第1章の数学と、先ほど述べた効用関数の連続性の証明のところであると言われることもあるくらいで、第1章を読み通すことは非常に辛い作業になるかも知れない。しかし、第1章を読み通す数学力を身につけることができれば、その後は楽に読み進めることができる。その意味で第1章を飛ばさずに読めば得るところは大きいと言える。参考書として、本書の翻訳者でもある丸山徹氏の著書「経済数学」(知泉書館)を手元に置きながらだと、第1章を読みこなせるだろう。


_________________
ヴァリアン『ミクロ経済分析』より

     均衡の存在 z(p)が価格単体上で定義されたワルラス法則を満たす連続関
    数であれば,第5章の議論を適用し,z(p*)≦0となるp*が存在することを
    示せる.われわれが見たように,各企業の生産可能集合が強凸であると,連続
    性は満足される.われわれにとって必要なのは総生産可能集合が凸であること
    だけであるが,これを見るのはそれほど難しくない.たとえ個別の企業が,小
    さい領域で規模に関して収穫逓増になるような非凸性を示すとしても,そのた
    めにもたらされる非連続性は集計すれば消える可能性があるからである.
     今まで説明してきた均衡の存在の議論は,われわれが需要関数を扱うときに
    のみ成立することを想起しよう.このことが課す唯一の重大な制約は,かなり
    の重要性をもつ規模に関して収穫不変の技術を排除しているということである.
    そこで,ここでは一般的な場合における存在定理を示し,その仮定の経済的意
    味について検討しよう.

    定理 次の仮定が満たされると,経済に均衡が存在する.
    (1) 各消費者の消費集合は閉,凸,かつ下から有界である.
    (2) すべての消費者にとって,飽和消費ベクトルは存在しない.
    (3) 各消費者 i について,集合{xi :xi>_順x'i}と{xi :x'i>_順xi}は閉である
    (4) 各消費者は彼の消費集合の内部にその初期賦存ベクトルをもっている.
    (5) 各消費者 i について,xi と x'i が2つの消費ベクトルであれば,xi>_順 ix'i
     は任意のO<tく1に対してtxi+(1−t)x'i>順x'i を意味する.
    (6) 各企業jについて,0はYj (j=1,…,m)の要素である.
    (7) Yj (j=1,…,m)は閉かつ凸である.
    (8) Yj ∩(−Yj)={0},j=1,…,m.
    (9) Yj ⊃(−R+),j=1,…,m.

    証明 デブリュー(1959)を見よ.□

     それぞれの仮定が,何のために用いられるかを確実に理解しておこう.仮定
    (1),(2),(3),(4),(5)は,消費者の(多価)需要関数がある形の連続性をもつ
    ことを証明するために用いられる.これらの仮定の経済的意味はすでにおなじ
    みである.仮定(6)は企業がいつでも操業を止められるという仮定であり,
    これによって均衡での利潤が非負になることが保証される.仮定(7)は各企
    業の(多価)需要関数の連続性を保証する.仮定(8)は生産が非可逆的であ
    ること,すなわち,ある純産出ベクトルyを生みだした後に,その産出物を投
    入して投入物を逆に生産するのは不可能であることを保証している.これは配
    分の実行可能集合の有界性を保証するために用いられる.最後に,仮定(9)
    は,すべての財を投入物として用いる生産計画は実行可能であることを示して
    いるが,これは本質的には自由処分の仮定である.

    varian-analysis #6 邦訳241-3頁

________
________

    定理 次の仮定が満たされると,経済に均衡が存在する.
    (1) 各消費者の消費集合は閉,凸,かつ下から有界である.
    (2) すべての消費者にとって,飽和消費ベクトルは存在しない.
    (3) 各消費者 i について,集合{xi :xi>_順x'i}と{xi :x'i>_順xi}は閉である
    (4) 各消費者は彼の消費集合の内部にその初期賦存ベクトルをもっている.
    (5) 各消費者 i について,xi と x'i が2つの消費ベクトルであれば,xi>_順 ix'i
     は任意のO<tく1に対してtxi+(1−t)x'i>順x'i を意味する.

     [仮定(1),(2),(3),(4),(5)は,消費者の(多価)需要関数がある形の連続性をもつことを証明するために用いられる.]
    (6) 各企業jについて,0はYj (j=1,…,m)の要素である.
     [仮定(6)は企業がいつでも操業を止められるという仮定でありこれによって均衡での利潤が非負になることが保証される.]
    (7) Yj (j=1,…,m)は閉かつ凸である.
     [仮定(7)は各企業の(多価)需要関数の連続性を保証する.]
    (8) Yj ∩(−Yj)={0},j=1,…,m.
     [仮定(8)は生産が非可逆的であること,すなわち,ある純産出ベクトルyを生みだした後に,その産出物を投入して投入物を逆に生産するのは不可能であることを保証している.これは配分の実行可能集合の有界性を保証するために用いられる.]
     (9) Yj ⊃(−R+),j=1,…,m.     
     [仮定(9)は,すべての財を投入物として用いる生産計画は実行可能であることを示しているが,これは本質的には自由処分の仮定である.]
 
    証明 デブリュー(1959)を見よ.□

     それぞれの仮定が,何のために用いられるかを確実に理解しておこう.仮定
    (1),(2),(3),(4),(5)は,消費者の(多価)需要関数がある形の連続性をもつ
    ことを証明するために用いられる.これらの仮定の経済的意味はすでにおなじ
    みである.仮定(6)は企業がいつでも操業を止められるという仮定であり,
    これによって均衡での利潤が非負になることが保証される.仮定(7)は各企
    業の(多価)需要関数の連続性を保証する.仮定(8)は生産が非可逆的であ
    ること,すなわち,ある純産出ベクトルyを生みだした後に,その産出物を投
    入して投入物を逆に生産するのは不可能であることを保証している.これは配
    分の実行可能集合の有界性を保証するために用いられる.最後に,仮定(9)
    は,すべての財を投入物として用いる生産計画は実行可能であることを示して
    いるが,これは本質的には自由処分の仮定である.

    varian-analysis #6 邦訳241-3頁


参考:
ヴァリアン『入門ミクロ経済学 [原著第9版]』:目次
http://nam-students.blogspot.jp/2015/11/9.html

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