日曜日, 3月 20, 2016

モジュラー形式:メモ


                   (リンク:::::::::数学物理学

物理学:インデックス

http://nam-students.blogspot.jp/2013/02/blog-post_1381.html

Raum und Zeit (Minkowski) 1908

http://nam-students.blogspot.jp/2012/01/raum-und-zeit-minkowski1908.html

ハドロンの分類図、SU(3)の図

http://nam-students.blogspot.jp/2015/12/su.html?m=0

NAMs出版プロジェクト: モジュラー形式:メモ

http://nam-students.blogspot.jp/2016/03/blog-post_20.html


Fermat's Last Theorem: フェルマーの最終定理

https://youtu.be/se7s17x39eA




トポロジー(楽器,多様体,幾何学)と和音(ハーモニー,モジュラー形式,調和解析)がひとつの楽譜(数式,数論)で一対一対応でつながる…
フェルマーワイルズの定理はそこから背理法で求められる。

一方、ポアンカレ予想の場合、トポロジーは音響学ではなく熱力学によって数式化される。

NAMs出版プロジェクト: ハドロンの分類図、SU(3)の図

http://nam-students.blogspot.jp/2015/12/su.html


感想: NHK数学ミステリー白熱教室 - とね日記

http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b0d53d030bf82e8016a1071fadb16063
第4回の放送でようやくラングランズ・プログラムの鍵となる「ラングランズ双対群」が紹介され、物理学を含めて4つの世界のつながり方の説明が完結した。対称性は直観的に理解しやすい概念だが、双対性の概念についてもボルシチのレシピの例をあげるなど、一般視聴者にもイメージできるように説明されていたのがよかったと思う。

最終回まで見てみると、今回の番組は僕の期待をはるかに超えた中身のあるものだったと思う。今後の数学や物理学の発展も楽しみだが、このような科学教養番組もこれからどのようなものが作られていくのかについても楽しみだ。


今回の番組で取り上げられたのは「対称性」と「双対性」であり、ともに群論であらわされる性質だ。著書では番組で取り上げられていたことをより深く知ることができ、数学の統一という大目標が夢物語ではないことを実感できるだろう。放送を見逃した方にもこの本はありがたい。

数学の大統一に挑む 単行本 – 2015/7/13


 同様に 、さきほど示した変数 qのアイヒラ ー生成関数は 、ある対称変換の群の作用のもとで不変なのである 。ただしこの場合には 、 qは実数ではなく 、複素数と考えなければならない (この点については次の章で論じる ) 。すると qは 、正弦関数のときの xのように 、直線上の点ではなく 、複素平面上の単位円板上の点とみなされる 。対称変換の特徴はよく似ている ─ ─単位円板に対する何らかの対称変換の群があり 、アイヒラ ー生成関数は 、その対称変換の群の作用のもとで不変なのである ( 1 2 ) 。このタイプの不変性をもつ関数のことを 、 「モジュラ ー形式 」と呼ぶ 。

 円板に対するそれらの対称変換は 、とても豊かな内容をもっている 。その感じをつかむために 、次の 〔図 8 ─ 1 〕を見てみよう 。ここでは円板が無限にたくさんの三角形に分割されている ( 1 3 ) 。


 この対称変換は 、これらの三角形を交換することで円板に作用する 。実際 、任意の二つの三角形に対して 、それらを交換する対称変換がひとつ存在する 。このような円板に対する対称変換は 、きわめてデリケ ートな性質をもつのだが 、その作用のしかたは 、整数の群が直線に作用するときの対称変換が 、区間 [ 2 m , 2 ( m + 1 ) ]だけずれることであるのと似ている 。正弦関数は 、このタイプの対称変換のもとで不変であり 、アイヒラ ーの生成関数は 、円板に対する対称変換のもとで不変なのである 。本章のはじめのほうで簡単に述べたように 、正弦関数は 、直線上の調和解析に用いられる 「倍音 」 (基本となる波 )の 、一番簡単な例である 。同様に 、アイヒラ ー関数などのモジュラ ー形式は 、単位円板上の調和解析に現れる調和関数なのである 。

 志村 ─谷山 ─ヴェイユ予想は 、アイヒラ ーの得た結果の一般化である 。この予想は 、任意の 〝三次方程式 〟について (ある種の穏やかな条件に従うものとして ) 、素数を法とする解の個数は 、あるモジュラ ー形式の係数であると述べている 。さらに 、その 〝三次方程式 〟と (ある種の )モジュラ ー形式とのあいだに 、一対一対応が成り立つというのである 。


つまり 、任意の 〝三次方程式 〟に対して 、すべての素数 pで ap=bpであるようなモジュラ ー形式が存在し 、その逆もまた真だと主張しているのである ( 1 5 ) 。
 さてこれで準備ができたので 、いよいよ志村 ─谷山 ─ヴェイユ予想とフェルマ ーの最終定理とのつながりについて説明しよう 。フェルマ ー方程式の解から 、ある種の 〝三次方程式 〟を作ることができる ( 1 6 ) 。しかしケン ・リベットが 、その 〝三次方程式 〟の素数を法とする解の個数は 、志村 ─谷山 ─ヴェイユ予想によって存在が約束されているモジュラ ー形式の係数ではありえないことを示した 。それゆえ 、志村 ─谷山 ─ヴェイユ予想がいったん証明されれば 、そのような 〝三次方程式 〟は存在しないと結論される 。ということは 、フェルマ ーの方程式にも解は存在しないということだ 。


(13)この図はラ ース ・マドセンによる 。彼の許可を得て掲載している 。この情報を教えてくれ 、有益な議論をしてくれたイアン ・アゴルに感謝する 。
 ( 1 4 )たとえば次の文献を参照のこと 。 N e a l K o b l i t z , E l l i p t i c c u r v e c r y p t o s y s t e m s , M a t h e m a t i c s o f C o m p u t a t i o n , v o l . 4 8 , 1 9 8 7 , p p . 2 0 3 2 0 9 ; I . B l a k e , G . S e r o u s s i , a n d N . S m a r t , E l l i p t i c C u r v e s i n C r y p t o g r a p h y , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 9 . (邦訳 『楕円曲線暗号 』イアン ・ F ・ブラケ 、ガディエル ・セロッシ 、ナイジェル ・ P ・スマ ート鈴木治郎訳ビアソン ・エデュケ ーション 2 0 0 1 )
 ( 1 5 )このことは 、一般に有限個の素数 pを除くすべての素数で成り立つ 。この三次方程式に関係する不変量 (いわゆる 「導手 」 )と 、モジュラ ー形式に関係する不変量 (いわゆる 「レベル 」 )という 、不変量のペアがさらに一組存在する 。これらの不変量は 、この対応関係のもとで一定に保たれる 。たとえば 、これまで考えてきた 〝三次方程式 〟の場合には 、両者ともに 1 1に等しい 。ここに現れるどのモジュラ ー形式も 、定数項がゼロで 、 qの前の係数 b 1は 1 、その他すべての係数 b n ( n > 1 )は 、素数 pに対応する b pによって決定される 。
 ( 1 6 )すなわち 、 a 、 b 、 cが 、 nが奇数の素数であるようなフェルマ ー方程式 a n + b n = c nの解であるなら 、イヴ ・エルグア ーシュとゲルハルト ・フライに従い 、次の三次方程式を考える 。
 y^2=x(x-a^n)(x+b^n)
ケン ・リベットは (フライの示唆と 、ジャン ─ピエ ール ・セ ールが得ていた部分的な結果から ) 、この方程式は 、志村 ─谷山 ─ヴェイユ予想を満たさないことを証明した 。 n = 4の場合 (これはフェルマ ー自身によって証明されていた )と合わせて 、この結果は 、フェルマ ーの最終定理が成り立つことを意味する 。実際 、 n > 2の任意の整数は 、 n = m kという積の形に書くことができる 。ここで mは 、 4または奇数の素数である 。したがって 、そのような mについてフェルマ ーの方程式に解がないということは 、すべての n > 2について解がないことを意味する 。 
( 1 7 ) G o r o S h i m u r a , Y u t a k a T a n i y a m a a n d h i s t i m e . V e









NAMs出版プロジェクト: ハドロンの分類図、SU(3)の図

http://nam-students.blogspot.jp/2015/12/su.html


感想: NHK数学ミステリー白熱教室

3次方程式、y^2+y=x^3-x^2、素数pを法とする三次方程式の解の個数を数えよ、
というものを前回示した。
実数でも解を、複素数でも解を求めることができる。
同じ方程式の解を複素数でも求めることができる、というのが重要。
pを法とする場合はある調和解析の関数となるが、
複素数の場合は、ある幾何学の図形になる。それはトーラス。
それは分かれ道のようなものだ。
素数を法をしたら数論となり、複素数なら幾何学になる。
これこそがつながりだ。
幾何学もこのようにしてラングランズプログラムに含まれる。
ウィッテンと共同研究者がやったことは何か?
まずは数論から幾何学へ、次に幾何学から量子物理学へ、という2ステップで繋げた。

トポロジー(楽器,多様体,幾何学)と和音(ハーモニー,モジュラー形式,調和解析)がひとつの楽譜(数式,数論)でつながる…

数学におけるモジュラー形式modular form)は、モジュラー群群作用についての函数等式と増加条件を満足する上半平面上の複素解析的函数である。従って、モジュラー形式論は複素解析に属する理論ではあるが、歴史的には数論とのつながりにこそ主要な重要性がある。モジュラー形式は代数トポロジー弦理論など、ほかの分野にも現れる。

モジュラー函数modular function[note 1]はウェイト 0 のモジュラー形式である。これはつまりモジュラー群の作用に関して(所定の変形を受ける代わりに)「不変」であることを意味する。そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。また、「モジュラー函数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で f(z) が正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー函数は無限遠点では有理型である。

モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式の特別な場合であり、従って現在では、離散群英語版の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。

Love and Math: The Heart of Hidden Reality - 261 ページ

https://books.google.co.jp/books?isbn... - このページを訳す
Our function is a modular form of “weight 2,” which means that it is invariant under the above action of a congruence subgroup of SL2(Z) on the disc, if we correct ... This picture was created by Lars Madsen and is published with his permission.


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