http://nam-students.blogspot.jp/2016/03/blog-post_42.html
正二十面体と正十二面体
http://nam-students.blogspot.jp/2015/07/blog-post_7.html
ポアンカレ予想 ジョン・ミルナー
http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/users/kokaikoz/milnor-j.pdf
ニューヨーク州立大学ストーニーブルック校２０００年３月1904年アンリ・ポアンカレは次のような問題を出した[17,pp.486,498]。“Considàrons maintenant une variété [fermée] V à trois dimensions ··· Est-il possible que le groupe fondamental de V se réduise àlasubstitution identique, et que pourtant V ne soit pas simplement connexe?”
日本語および現代の用語では次のような問題である。境界のないコンパクト３次元多様体Vを考えよう。Vが３次元球面でないにもかかわらず、Vの基本群が自明となることがありえるか？
ポアンカレは驚くほどの先見性を持って次のようなコメントを続けている。“Mais cette question nous entraînerait trop loin ”.この時から、単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相であるという仮説はポアンカレ予想として知られている。この予想はトポロジー研究者に刺激を与え続け、多くの誤った証明を生んでもきたが、多様体のトポロジーの理解を大きく進歩させた。
[17]H.Poincar´e,Oeuvres,TomeVI,Paris1953
1904年位置解析 補論#5？
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[26] J. H. C. Whitehead, Mathematical Works, Volume II, Pergamon 1962.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Poincar%C3%A9
“Poincaré Conjecture”: Est-il possible que le groupe fondamental de Vse réduise à la substitution identique, et que pourtant V ne soit pas simplement connexe?
https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture
83%B3%E3%82%AB%E3%83%AC%E4%BA%88%E6%83%B3
邦訳数学論文集『ポアンカレ トポロジー』（斉藤利弥，朝倉書店）
http://tenmei.cocolog-nifty.com/matcha/2009/03/post-c749.html
ポアンカレの1904年の論文名は
「Cinqieme compelement a l'analysis situs」。全集第６巻（Oeuvres，Tome6，Paris，
1953）に収録されていて、邦訳もある。前述の『トポロジー』第四章に収録された、
「位置解析への第五の補足」だ。
この「analysis situs」（位置の解析）というのはラテン語で、ポアンカレ独自の表現。
今現在の数学では、トポロジー（topology）とか位相幾何と呼ばれるものへと発展
している。
http://www.amazon.co.jp/dp/4254114583/
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11458-4/
ポアンカレトポロジー （数学史叢書）
「万能の人」ポアンカレが“トポロジー”という分野を構築した原典。図形の定性的な性質を研究する「ゴム風船の幾何学」の端緒。豊富な注・解説付。〔内容〕多様体／同相写像／ホモロジー／ベッチ数／積分の利用／幾何学的表現／基本群／他
目次
1. 位置解析
1.1 序 論 1.2 多様体の第一の定義 1.3 同相写像 1.4 多様体の第二の定義 1.5 反対向きの多様体 1.6 ホモロジー 1.7 ベッチ数 1.8 積分の利用 1.9 一面的多様体と両面的多様体 1.10 二つの多様体の交差 1.11 幾何学的表現 1.12 不連続群による表現 1.13 基本群 1.14 基本的同値関係 1.15 同相の条件 1.16 他の生成法 1.17 オイラーの定理 1.18 pが奇数の場合 1.19 第二の証明 2. 位置解析への補足 2.1 序 論 2.2 多面体の図式 2.3 多面体のベッチ数 2.4 多面体の細分 2.5 細分がベッチ数に及ぼす影響 2.6 §3の証明についての再考 2.7 双対多面体 2.8 基本定理の証明 2.9 種々の注意 2.10 §7の定理の一つの算術的証明 2.11 分割の可能性 3. 位置解析への第二の補足 3.1 序 論 3.2 主要な定義の復習 3.3 表の簡約 3.4 表TqとTq′の比較 3.5 いくつかの例への応用 3.6 《第一の補足》の一つの定理の一般化 3.7 多様体の内部捩れ 4. 位置解析への第五の補足 5. 付録 5.1 基本予想 5.2 三角形分割問題 5.3 ポアンカレ予想 6. 索 引 参考： ポアンカレ予想を解いた数学者 単行本 – 2007/6/21 ドナル・オシア (著), 糸川 洋 (翻訳) http://www.amazon.co.jp/dp/4822283224 ＿ ＿ ／ ＼ ＿ ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼｜ ／ ＼ ｜ ｜ ／｜ ｜ ｜ ｜＼ ／ ｜ ｜ ｜ ｜ ＼／ ｜ ｜ ｜ ｜ ／＼ ｜ ｜ ｜ ｜／ ＼ ｜ ｜ ｜ ／ ＼｜ ｜ ＼ ／｜ ｜ ／ ＼＿／ ＼ ／ ＼＿／ ＼＿／ http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/WhiteheadLink_1000.gif ＿ ＿ ／＿＼ ＿ ／＿＼ ／／ ＼＼ ／＿＼ ／／ ＼／／ ＼／／ ＼＼ ｜｜ ｜｜＼ ／／｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜＼＼ ／／｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ＼＼／ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ／＼＼ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜／／ ＼＼｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜／／ ＼｜｜ ｜｜ ＼＼＿／／ ｜｜＿／／ ＼＿／＼＼ ／／＼＿／ ＼＼＿／／ ＼＿／ ＿＿ ＿＿＿ ＿＿ ／＿＿＼ ／＿＿＿＼ ／＿＿＼ ／／ ＼／／ ＼／／ ＼＼ ｜｜ ｜｜＼ ／／｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜＼＼ ／／｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ＼＼／ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ／＼＼ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜／／ ＼＼｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜／／ ＼｜｜ ｜｜ ＼＼＿＿／／＼＿＿＿／／＼＿＿／／ ＼＿＿／ ＼＿＿＿／ ＼＿＿／ ＿＿ ＿＿＿ ／＿＿＼ ／＿＿＼ ／＿＿＿＼ ／／ ＼＼ ／／ ＼／／ ＼／／ ＼＼ ｜｜ ｜｜＼ ／／｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜＼＼ ／／｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ＼＼／ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ／＼＼ ｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜｜／／ ＼＼｜｜ ｜｜ ｜｜ ｜／／ ＼｜｜ ｜｜ ＼＼＿＿／／＼＿＿＿／／＼ ／／ ＼＿＿／ ＼＿＿＿／ ＼＼＿＿／／
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6 Comments:
ミルナー
T´0次の、重要な間違った定理は１９３４年のヘンリー・ホワイトヘッドによるものである。ポアンカレ予想の証明のための一部として、ホワイトヘッドはすべての可縮な３次元開多様体はユークリッド空間と同相であると主張した。ポアンカレの足跡をたどるように、ホワイトヘッドはその後、自分の定理の反例を見出し、多様体のトポロジーに関する我々の理解を実質的に増加させた。([26,pp.21-50]参照。)ホワイトヘッドの反例は次のように簡明に作られる。３次元球面に図のように交わらないように埋め込まれた２つのソリッド・トーラスをから話を始める。T0は自明な結び目となっているから、その補空間T0=S3\interior(T0)もソリッド・トーラスであり、T0⊃T1であるが、π1(T0\T1)は非可換群である。３次元球面から自分自身への同相写像hでT0をT1の上に写すものをとる。そうすると、Tn+1=h(Tn)とすることによって、S3の中で自明な結び目となっているソリッド・トーラスの列
···⊃T−1⊃T0⊃T1⊃T2···
が順に構成される。Tnの補空間S3\Tn(すなわちT−nの和集合)が、目的のホワイトヘッドの反例である。これは、可縮な多様体でありながら、無限遠において、単連結ではないのである。
３次元トポロジーにおける落とし穴の楽しい紹介についてはBing氏の本を参照すると良い。ポアンカレ予想を攻略した代表的なものとしては文献にあるBirman,Gabai, GillmanandRolfsen,Jakobsche,Papakyriakopoulos,Rourke,およびThickstunの論文を参照すると良い。
ポアンカレ予想 ジョン・ミルナー
http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/users/kokaikoz/milnor-j.pdf
…次の、重要な間違った定理は１９３４年のヘンリー・ホワイトヘッドによるものである。ポアンカレ予想の
証明のための一部として、ホワイトヘッドはすべての可縮な３次元開多様体はユークリッド空間と同相であると
主張した。ポアンカレの足跡をたどるように、ホワイトヘッドはその後、自分の定理の反例を見出し、多様体
のトポロジーに関する我々の理解を実質的に増加させた。([26,pp.21-50]参照。)
[26] J. H. C. Whitehead, Mathematical Works, Volume II, Pergamon 1962.
（ホワイトヘッド自説への反例）
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以下とは別人、
アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド
アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド
Alfred North Whitehead
生誕 1861年2月15日
イギリス ケント州ラムズゲート
死没 1947年12月30日（満86歳没）
アメリカ合衆国 マサチューセッツ州ケンブリッジ
時代 20世紀哲学
地域 西洋哲学
学派 プロセス哲学
研究分野 形而上学、数学
主な概念 有機体の哲学、プロセス哲学
影響を受けた人物:[表示]
影響を与えた人物:[表示]
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アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド （Alfred North Whitehead、1861年2月15日 - 1947年12月30日）は、イギリスの数学者、哲学者である。論理学、科学哲学、数学、高等教育論、宗教哲学などに功績を残す。ケンブリッジ大学、ユニバーシティ・カレッジ・ロンドン、インペリアル・カレッジ・ロンドン、ハーバード大学の各大学において、教鞭をとる。哲学者としての彼の業績は、ハーバード大学に招聘されてからが主体であり、その時既に63歳であった。
目次 [非表示]
1 経歴
2 思想
3 著書
4 関連項目
5 外部リンク
経歴[編集]
ケント州ラムズゲートの教員と国教会牧師の家系に生まれたホワイトヘッドは、ドルセットのシャーボン校で学び、1880年にケンブリッジ大学のトリニテイ・カレッジに入学した。トリニティ・カレッジでは、数学の講義のみを受けたとされる。最初は学生として後には教師として、1910年までケンブリッジにとどまったが、1911年にロンドン大学に移籍し、1914年には同大学の理工学部(ImperialCollege)の応用数学の教授をつとめた。従って、イギリスにいた時ホワイトヘッドは、数学者・論理学者であり、本人も数学者であると考えていた。1924年には、米国のハーバード大学に招かれ、哲学の教授となった後は、1947年になくなるまで、高齢にもかかわらず、講義と旺盛な著作活動を続けた。哲学をする際は、常に若い人物から刺激を得なくてはならないというモットーから、午前中に講義をし、午後から夕方にかけての時間帯は自宅を開放して、ハーバードの学生との触れ合いの時間にし、哲学以外の話も多くしていたという。
ホワイトヘッドは近代ヨーロッパにおいて生まれた機械論的自然観の問題性を浮き彫りにし、それが「抽象を具体とおき違える錯誤（the fallacy of mis－Placed concreteness）」にもとづくことを指摘している。彼は、17世紀の哲学から現代哲学が引き継いだ機械論的自然観を分析し、それに代わるものとして、有機体論的自然観を提唱した。この着想は『過程と実在』の「有機体の哲学（philosophy of organism）」として体系的な形で示されることとなる。有機体の哲学は、近代の自然科学の勃興によって廃れてしまった形而上学の構図を現代の先端的な科学の領域を媒介することによって復活させようとする試みであった。著作において、近代の単なる人間中心的な考えかたを改め、人間がその環境世界（自然）と人間を越える存在（神）とに深くかかわる事によって初めて人間たりうるという基本的な観点が貫かれている。
また、バートランド・ラッセルとの共著『プリンキピア・マテマティカ』（Principia Mathematica、『数学原理』）はよく知られている。ホワイトヘッドの哲学としては、世界をモノではなく、一連の生起(occasion、これを彼は「現実的存在」actual entityあるいは「現実的生起」actual occasionと称する)つまり、過程として捉える特徴がある。この哲学は、プロセス哲学として知られておる。なおその後彼の哲学についての研究は神学からのアプローチが主となりプロセス神学として展開されることになった、現在もその考え方を受け継ぐものがおり、現代思想の一翼を担っている。また、プロセス哲学の研究者は、ホワイトヘッドの哲学とエコロジー思想と密にし、環境問題にも関わっている人物も多いが、これもホワイトヘッドの哲学が有機体論的自然観に基づいているからに他ならない。 さらにホワイトヘッドのこの考えは、宗教哲学にもおよびプロセスとしての神概念や宇宙を説く観点から「コスモロジーの哲学」という捉え方もできる。これは、主著『過程と実在』の副題である「コスモロジーへの試論」にもあらわれている。その独特の有神論的な哲学思想は、現在もなお様々な研究者によって、挑戦されている哲学でもある。
思想[編集]
ケンブリッジ・プラトニズムの流れも汲み、しばしばプラトン主義も重視した。「西洋の全ての哲学はプラトン哲学への脚注に過ぎない」という「過程と実在」におけるくだりは有名であり、また「もし、プラトンが現代に蘇ったならば、間違いなく有機体の哲学を自身の哲学として語るであろう」という自負めいた言葉も残している。もっとも彼の「プラトニズム」は通常言われるような、生成消滅する世界の背後に真なる実在としてのイデアを見出すという意味のものとは異なっている。彼がプラトンを賞賛するのは、多様な解釈を可能にした思想の「豊かさ」あるいは「多義性」といったものである。実際彼の「イデア」にあたる「永遠的客体」(eternal object)はむしろアリストテレスの「内在形相」に類するものであり、彼にとっての真なる実在「現実的存在」(actual entity)はアリストテレス的な「個物としての実体」にあたり、その限りではむしろ彼はアリストテリアンと称すべきであろう。
ホワイトヘッドの哲学が与えた影響は、広範に及んでいる。同時代人では、後期のジョージ・ハーバート・ミードの社会哲学に「パースペクティヴの客観性」という観点を与え、また、その有機体的自然観は、メルロ＝ポンティが『眼と精神』を執筆する動機となった。一方、カール・ポパーは、『開かれた社会とその敵』の中でホワイトヘッドの形而上学的な思弁を痛烈に批判している。R・G・コリングウッドの『自然の概念』はホワイトヘッドの自然哲学と形而上学の考察をもって締めくくられている。D・H・ロレンスは、『チャタレイ夫人の恋人』の中で、書名を明記してはいないが、ホワイトヘッドの『宗教とその形成』の末尾の四つの文を引用した。後世への影響に関しては、その「有機体の哲学」が、チャールズ・ハーツホーンやジョン・B・カブJr、ルイス・フォード、デイヴィド・グリフィンらを中心としたプロセス神学に継承されている。ハーバード大学時代の同僚・教え子には、クワインやデイヴィッドソンがおり、リチャード・ローティはハーツホーンからホワイトヘッド哲学を学んでいる。マルクーゼは、『一次元的人間』で重要な引用をしている。ハーバーマスやドゥルーズが積極的な評価をしており、コリン・ウィルソンは『アウトサイダーを超えて』の中でホワイトヘッド哲学に希望を見出そうとする。イリヤ・プリゴジンはみずからの立場とホワイトヘッドとの親和性について繰り返し語り、デヴィッド・ボームなどの自然科学者も彼の有機体の哲学に賛同している。直接の思想的交流はなかったが、日本では、西田幾多郎の哲学と、あるいは弘法大師空海の仏教概念との比較や対話が盛んに試みられている。
国内の研究機関として、「日本ホワイトヘッド・プロセス学会」が組織されており、学会誌「プロセス思想」を発行している。またカリフォルニア州のクレアモント大学に、カブ、グリフィンらによって、ホワイトヘッドやハーツホーンのプロセス神学・プロセス哲学を研究する国際的な中心機関として、Center for Process Studies (CPS)が設置され、学会誌"Process Studies"を発行している。
著書[編集]
日本語訳では松籟社より著作集が刊行されている。
『普遍代数論』 A Treatise on Universal Algebra（1898）
『射影幾何学の公理』（著作集第1巻所収） The Axioms of Projective Geometry（1906）
『画法幾何学の公理』（著作集第1巻所収） The Axioms of Descriptive Geometry（1907）
『数学原理』 Principia Mathematica (1910), (1912), (1913)
『数学入門』（著作集第2巻） Introduction To Mathematics (1911)
『思考の有機化』 The Organisation of Thoughts: Education and Scientific（1917）
『自然認識の諸原理』（著作集第3巻） An enquiry concerning the principles of natural knowledge (1919)
『自然という概念』（著作集第4巻） The Concept of Nature (1920)
『相対性原理』（著作集第5巻） The Principle of Relativity (1922)
『科学と近代世界』（著作集第6巻） Science and the Modern World (1925)
『宗教とその形成』（著作集第7巻） Religion in the Making (1926)
『象徴作用』（著作集第8巻所収） Symbolism: Its Meaning and Effect (1927)
『過程と実在』（著作集第10・11巻） Process and Reality (1929)
『理性の機能』（著作集第8巻所収） Function of Reason (1929)
『教育の目的』（著作集第9巻） The Aims of Education and Other Essays (1929)
『観念の冒険』（著作集第12巻） Adventures of Ideas (1933)
『自然と生命』（『思考の諸様態』に再録） Nature and Life（1934）
『思考の諸様態』（著作集第13巻） Modes of Thought (1938)
『科学・哲学論集』（著作集第14・15巻） Essays in science and philosophy (1947)
クラインの壺 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/クラインの壺
クラインの壺
曖昧さ回避 この項目では、数学者フェリックス・クラインにより考案された立体について説明しています。岡嶋二人の小説については「クラインの壺 (小説)」をご覧ください。
クラインの壺
クラインの壺（くらいんのつぼ、英語: Klein bottle）は、境界も表裏の区別も持たない（2次元）曲面の一種で、主に位相幾何学で扱われる。
ユークリッド空間に埋め込むには4次元、曲率0とすると5次元が必要である。3次元空間には通常の方法では埋め込み不可能だが、射影して強引に埋め込むと、自己交差する3次元空間内の曲面になる。その形を壺になぞらえたものである。
ドイツの数学者フェリックス・クラインにより考案された。クラインの管、クラインの瓶とも呼ばれる。この通称は英語に翻訳する際の錯誤によるものである。原語であるドイツ語では「Kleinsche Fläche（クラインの面）」であり、これが英語に翻訳される際、Fläche（面）がFlasche（瓶）と取り違えられ、bottleと訳された。現在ではドイツ語圏でも、Kleinsche Flascheのほうで定着している。
クラインの壺は、下図のように矢印を付けた正方形の対辺を矢印の向きが合うように貼り合わせて作ることができる。
Klein Bottle Folding 1.svg
Klein Bottle Folding 2.svg
Klein Bottle Folding 3.svg
Klein Bottle Folding 4.svg
Klein Bottle Folding 5.svg
Klein Bottle Folding 6.svg
前述のように3次元空間内に実現するためには自己交差が必要であるが、クラインの壺そのものに交差はない。そのことを強調するために自己交差の部分をぼかして図示されることがある。
表裏の区別を持たない2次元曲面には他にメビウスの帯がある。メビウスの帯が2次元のテープ状のものをひねり表をたどっていくとそのまま裏に行き着くようにしたのに対し、クラインの壺は3次元のチューブをひねり内部をたどると外部に行き着くようにしたものである。また二つのメビウスの帯をそのふちに沿って貼り合わせるとクラインの壺ができる（上の図で、ここで示した順序とは逆に、青いほうの辺を先に貼り合わせるとメビウスの帯になる）。
関連項目 編集
クライン体 - クラインの壷を境界として持つ3次元多様体。
外部リンク 編集
用語回転数 (winding number) は反復合成写像 (iterated map) の回転数 (rotation number) も意味する。
この曲線は点 p の周りで回転数 2 をもつ。
数学において、与えられた点の周りの平面の閉曲線の回転数 (winding number) は曲線がその点の周りを反時計回りに周った総回数を表す整数である。回転数は曲線の向き（英語版）に依存し、曲線が点の周りを時計回りに周れば負の数である。
回転数は代数トポロジーにおいて研究の基本的な対象であり、ベクトル解析、複素解析、幾何学的トポロジー、微分幾何学、弦理論を含む物理、において重要な役割を果たす。
目次
直感的記述 編集
An object traveling along the red curve makes two counterclockwise turns around the person at the origin.
xy 平面において向き付けられた閉曲線を与えられたとしよう。曲線を何らかの対象の動きの道として、向き付けは対象が動く向きを示すとして、想像することができる。すると曲線の回転数 (winding number) は対象が原点の周りに作った反時計回りの turn の総数に等しい。
turn の総数を数える時に、反時計回りの動きは正に数え、一方時計回りの動きは負に数える。例えば、対象がまず原点を4回反時計回りに回転し、それから原点を時計回りに1回回転すれば、曲線の総回転数は 3 である。
この案を使って、原点の周りを全く周らない曲線の回転数は 0 であり、原点の周りを時計回りに周る曲線の回転数は負である。したがって、曲線の回転数は任意の整数でありうる。以下の絵は回転数が −2 と 3 の間の曲線を示している：
トポロジー 編集
トポロジーにおいて、回転数は連続写像の写像度の別の用語である。物理では、回転数はしばしば topological quantum number と呼ばれる。両方のケースで、同じ概念が適用する。
点の周りを周る曲線の上記の例は単純な位相的解釈をもつ。平面において点の補集合は円にホモトピー同値であり、円から自身への写像は本当に、考えられる必要のあるすべてなのである。次のことを示せる。各そのような写像は標準写像
S
1
→
S
1
:
s
↦
s
n
S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n} の1つに連続的に変形できる（にホモトピックである）、ただし円における積はそれを複素単位円と同一視することによって定義される。円から位相空間への写像のホモトピー類の集合は群をなし、これはその空間の一次ホモトピー群 (homotopy group) あるいは基本群 (fundamental group) と呼ばれる。円の基本群は整数 Z であり、複素曲線の回転数はちょうどそのホモトピー類である。
3次元球面から自身への写像もまた、また回転数あるいはときどきポントリャーギン指数と呼ばれる整数によって分類されている。
多角形
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