オークション理論 Auction_theory

（経済学、リンク::::::::::） 

NAMs出版プロジェクト: 経済学日本人著者入門書
http://nam-students.blogspot.jp/2016/10/blog-post_9.html

実験経済学 川越敏司

http://nam-students.blogspot.jp/2018/05/blog-post_21.html

メカニズムデザイン
https://www.slideshare.net/mobile/harapon/121106mechanismdesign
坂井豊貴インタビュー
http://wedge.ismedia.jp/articles/-/3416?page=3&layout=b

https://nam-students.blogspot.com/2019/02/blog-post_36.html

NAMs出版プロジェクト: ミルグロム『組織の経済学』1997 契約理論
http://nam-students.blogspot.jp/2016/10/blog-post_10.html

『市場を創る』マクミラン

http://nam-students.blogspot.com/2019/02/2007-john-mcmillan.html

ジャン・ティロール 2014
http://nam-students.blogspot.com/2016/10/2014.html

NAMs出版プロジェクト: ベン卜・ホルムストローム 2016ノーベル経済学賞
http://nam-students.blogspot.jp/2016/10/2016_32.html

NAMs出版プロジェクト: オリバー・ハート 2016ノーベル経済学賞
http://nam-students.blogspot.jp/2016/10/2016_39.html

NAMs出版プロジェクト: 安田洋祐 - Wikipedia
http://nam-students.blogspot.jp/2016/10/wikipedia_16.html

安田洋祐　やすだようすけ - yyasuda's website
https://sites.google.com/site/yosukeyasuda/jp

オークション理論 Auction Theory
https://nam-students.blogspot.com/2019/01/auctiontheory.html@

ジョン・チャールズ・ハーサニ（John Charles Harsanyi、1920年5月29日 - 2000年8月9日）は、ハンガリーのブダペスト出身のゲーム理論の学者。ハンガリー名はハルシャーニ・ヤーノシュ・カーロイ（Harsányi János Károly）。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%
83%8F%E3%83%BC%E3%82%B5%E3%83%8B
Games with Incomplete Information Played by "Bayesian" Players, I-III. Part I. The Basic Model", Management Science, Vol. 14, No. 3, Theory Series (1967)
http://www2.cs.siu.edu/~hexmoor/classes/CS491-F10/Harasyani.pdf

Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders

ウィリアム・ヴィックリー 
William Vickrey

The Journal of Finance

Vol. 16, No. 1 (Mar., 1961), pp. 8-37

Published by: Wiley for the American Finance Association

DOI: 10.2307/2977633

https://www.jstor.org/stable/2977633

Page Count: 30

https://www.jstor.org/stable/2977633?read-now=1&seq=30#metadata_info_tab_contents

COUNTERSPECULATION, AUCTIONS, AND COMPETITIVE SEALED TENDERS

William Vickrey

First published: March 1961

https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1961.tb02789.x

アバ・ラーナー（Abba Lerner、1903年10月28日 - 1982年10月27日）は、ロシアのベッサラビアで生まれ、イギリスで教育を受けたあと教え始めたが、1939年からはアメリカ合衆国に移住して活躍した経済学者。生涯を通してケインズ経済学を一貫する形で活動したことからケインズ主義経済学者であるといえる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%90%E3%83%

BB%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%8A%E3%83%BC

ヴィックリーが冒頭で言及したのは、

• The Economics of Control: Principles of Welfare Economics, (Macmillan, 1944).

オークション理論
https://brevis.exblog.jp/20554631/
《オークション理論の創始者であるヴィックリーは、この2位価格入札に、新しい生命を吹き込んだ。これこそ理論的に最も美しく合理的な競争方式だ、というのである。絵画などの競売では、品物の「価値」は参加者各人が、自由に、自分の価値観のみに照らして決めることができる。ところで、2位価格入札においては、入札者は自分の感じる価値を、そのまま提示価格とするのが最適戦略になることを、彼は数学的に示した。
それだけではない。ヴィックリーは、この2位価格封印入札と、イングリッシュ・オークションが実は戦略的に等価であり、また逆に通常の1位価格封印入札とダッチ・オークションが等価であることを明らかにした。》
ウィリアム・ヴイックリー（1914~1996）
https://en.wikipedia.org/wiki/William_Vickrey
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%A
0%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%BC

• 情報の非対称性下におけるインセンティブに関する研究でケンブリッジ大学のジェームズ・マーリーズと共に1996年ノーベル経済学賞を受賞したが、その発表3日後に亡くなった（ノーベル賞の規定では、死者に賞を与えることは認められていないが、受賞者決定後に本人が亡くなった場合には授賞が取り消されることはない）。
• ヴィックリー・オークションで有名。交通渋滞、道路通行料金、電力料金の最適化等の研究でも知られる。

NAMs出版プロジェクト: 安田洋祐 - Wikipedia
http://nam-students.blogspot.jp/2016/10/wikipedia_16.html

NAMs出版プロジェクト: 情報の非対称性 スティグリッツ 2001年ノーベル経済学賞

http://nam-students.blogspot.jp/2016/04/blog-post_0.html

ゲーム理論の系譜図
http://nam-students.blogspot.com/2019/01/blog-post_25.html
再々再々新改訂版：
http://nam-students.blogspot.com/2019/01/blog-post_87.html
瀧澤弘和『現代経済学』より［上下逆にして改変］：　
図２－４ ゲーム理論の影響を受けた諸分野とノーベル賞

　　　　　　　　１９８８　モーリス・アレ　市場と資源の効率的利用に関する理論
＊　　　　　　　１９９１　ロナルド・コース　取引費用経済学
ゲーム理論＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
１９９４　　　　　　　　　　　　　　　　　人間行動・制度　　　Ｉ　　　　Ｉ
ハーサニ／ナッシュ／ゼルテン　　　　　　　　　　　　　　行動ゲーム理論　Ｉ
　　　　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　実験ゲーム理論　Ｉ　
　　　　　　　＼インセンティブ・制度設計　　　　　　　　　　　Ｉ　　　　Ｉ
　　　　　　　　＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｉ　　　　Ｉ
　　　　　　　　／＼＿＿＿情報の非対称性　　　　　　　　　　　Ｉ　　　　Ｉ
　　　　　　　／　　＼　　１９９６マーリーズ／ヴィックリー　　Ｉ　　　　Ｉ
　　　　　　／　　　　＼　２００１アカロフ／スペンス／　　　　Ｉ　　　　Ｉ
　　　　　／　　　　　　＼　　　　スティグリッツ　Ｉ　　　　　Ｉ　　　　Ｉ
　　　　／　　　　　　　　＼　　　　　　　　　　　Ｉ　行動／実験経済学　Ｉ
　対立と協力　　　　　　　　＼　　　　　　　　　　Ｉ　２００２　　　　　Ｉ
　２００５　　　　　　　　　／＼　　　　　　　　　Ｉ　カーネマン／スミスＩ
　オーマン／シェリング　　／　　＼　　　　　　　　Ｉ　Ｉ　　　　　　　　Ｉ
　　　　　　　　　　　　／　　　　＼　　　　　　　Ｉ　Ｉ　　　　　　　　Ｉ
　　マーケット・デザイン　　メカニズム・デザイン　Ｉ　Ｉ　　　　　　　　Ｉ
　　　　　　　／　　＼　　　　　２００７　　　　　Ｉ　Ｉ経済ガバナンスの理論
　　　　　　／　　　　＼　　ハーヴィッツ／　　　　Ｉ　Ｉ　２００９
サーチ理論　　　　　　　＼　マスキン／　　　　　　Ｉ　Ｉ　オストロム／
　２０１０　　　　　　　　＼マイヤーソン　　　　　Ｉ　Ｉ　ウィリアムソン
　ダイアモンド／　　　　　　＼　　　　　＼　　　　Ｉ　Ｉ
　モーテンセン／ピサリデス　　＼　　　　　＼　　　Ｉ　Ｉ
マッチング理論　　　　　　　　　＼　　　　　＼　　Ｉ　Ｉ　
　２０１２　　　　　　　オークション理論　　契約理論　Ｉ
　ロス／シャープレイ　　　　　　　　　　　　２０１４　Ｉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ティロール　Ｉ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２０１６　行動経済学　ナッジ理論
　　　　　　　　　　　　　　ハート／ホルムストローム　２０１７
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　リチャード・セイラー

参考記事：

米国「周波数オークション」仕掛け人が明かす改革の舞台裏：日経ビジネスオンラインhttp://business.nikkeibp.co.jp/article/interview/20140403/262308/
広野 彩子
2014年4月16日（水）
　日本を除く経済協力開発機構（OECD）諸国で採用されている、政府による周波数免許のオークション。その生みの親が、ポール・ミルグロム米スタンフォード大学教授である。別冊「2014～2015年版 新しい経済の教科書」では、周波数オークション誕生秘話や理論的背景、さらにはミルグロム教授が経済学者になったきっかけや、共著で著した教科書『組織の経済学』（NTT出版）などの誕生秘話まで詳しく掲載している。本稿では、そのインタビューの一部をご紹介する。（聞き手は広野彩子）
ミルグロム教授は、米国で1994年から実施されている、周波数免許を入札で決める「周波数オークション」の仕組みを作った生みの親の1人です。米国では、1人の売り手と複数の買い手（入札者）による取引を、ゲーム理論も応用して理論化した「オークション理論」が使われています。

　そうです。私は、博士課程の大学院生の時、ウィリアム・ビックリーという研究者が書いたオークション理論に関する論文に大変影響を受け、ゲーム理論と経済学に興味を持つようになりました。私の博士論文はオークション理論でしたし、オークションについては若い頃から研究してきました。

　その後幸運なことに、米国政府が周波数免許の割り当てをオークション方式で実行すると正式に決めた時、私の論文が脚注で引用されたのです。その影響で、大手通信会社数社から私のところに直接連絡がありました。周波数オークションにあたって助言を求めてきたのです。そのうちの1社のアドバイザーとして活動したのが発端でした。


ポール・ミルグロム（Paul Milgrom）
1948年米国デトロイト生まれ。70年に米ミシガン大学を卒業、保険数理士（アクチュアリー）の仕事に数年間従事した後、78年米スタンフォード大学経営大学院でPh.D.を取得。87年から現職。著書に『組織の経済学』（ジョン・ロバーツ氏との共著、NTT出版）、『オークション理論とデザイン』（東洋経済新報社）などがある。（写真：林幸一郎）
　政府の提案書を見ると、オークションの中身は複雑でしたが、これが実現すれば社会的意義は大きい。大きなチャンスだと思い、かかわることになりました。

周波数オークションで、どのような問題を解決したかったのでしょうか。

　過去何百年もの間、（絵画などの入札で知られる）いわゆる「オークション」は、個々の財の競争的な価格を決める役割を果たしてきましたものです。周波数免許のオークションの仕組みづくりにあたって新しく、興味深かった点は、かなり多くの異なる「財」（ここでいうとたくさんの周波数）を、同時に、最適な買い手（通信会社など）に、最も役に立つ組み合わせで配分できるところにありました。

　その意味で、社会的に最も良い結果が出るように持っていくためには、オークションが、セットで売られる周波数の組み合わせ及び、組み合わせるルールを決める仕組みとなり、かつ価格決定機能を果たす必要がありました。

米国ではミルグロム教授のような経済学者が数多くの政策立案過程に本格的にかかわっています。また、経済学はビジネスにも活用されています。日本では米国ほどそうした動きはありません。経済理論をどのように使えば、ビジネスの役に立つのでしょうか？

米国「周波数オークション」仕掛け人が明かす改革の舞台裏 (2ページ目)：日経ビジネスオンライン
http://business.nikkeibp.co.jp/article/interview/20140403/262308/?P=2
ポール・ミルグロム米スタンフォード大学教授に聞く

広野 彩子

2014年4月16日（水）

　既に、数多くの経済分析が現実への応用に生かされています。金融市場はその最たるものです。オプションの価格決定モデルなどは典型でしょう。シリコンバレーの大手IT(情報技術)企業では、グーグルやフェイスブックが経済学者を様々な理由で雇っています。彼らがインターネット広告のオークション設計に理論面で役に立っているのは良く知られています。

周波数オークションは、今のところ日本では採用されていません。どのようなメリットがあるのですか。

　周波数オークションはまず、様々な意味で政府にとって役に立ちます。オークションであれば、事業への課税によって価格のゆがみを生み出すこともなく、政府に収益をもたらすことが可能です。また、周波数免許が、なるべく高い価値を生み出せる、つまりふさわしい価格で買おうとする買い手に割り当てられるようになります。それから、放送・通信事業会社の新規参入も促進します。

　そしてその過程を通じて、顧客（携帯電話などのユーザー）に恩恵をもたらすでしょう。既存企業に対しては品質・実績・収益性の向上を促す力になるからです。つまりこれは、誰にとっても役に立つのです。

　日本で周波数オークションが受け入れられないのは、主に政治的な理由だと私は思っています。既得権のある関係者は現状維持を好むものです。規制当局者も、周波数免許割り当てに自らの裁量を行使できる権限と影響力を保ちたいでしょう。

米国ではさらに新しいオークションを設計するそうですね。ミルグロム教授が相当かかわっているそうですが。

　新しい仕組みについて、専門的にはインセンティブ・オークションと呼んで設計に携わっているところですが、これまでの周波数オークションとは2つの意味で違います。第1に、このオークションでは買い手も売り手も入札に参加します。つまり、既存の放送局にあてがわれた周波数免許を買い取って、それをブロードバンドの会社に売るわけなのですが、この売りと買いを同時にするのです。

　これは買い手にとって大きなことです。ほかの周波数オークションと違って、金額がいくらの周波数免許を買えるのかが前もって分からないからです。また周波数免許を売る側、すなわち放送局側の立場は、周波数オークションにおける「新たな参加者」となります。



米国「周波数オークション」仕掛け人が明かす改革の舞台裏 (3ページ目)：日経ビジネスオンラインhttp://business.nikkeibp.co.jp/article/interview/20140403/262308/?P=3
　第2に、買い手は単に周波数免許を買い、売り手は単に周波数免許を売るだけのようにも見えますが、実際に売り買いされる権利はかなり違います。誰が売るかという情報に基づき、政府がどのチャンネル（局）が売りに出されるのか認識しつつ、残されたほかの放送局が互いに相互干渉することなく周波数免許を割り当てられ、どの免許を買い手に提示し得るのかについて判断しなければならないからです。

　オークションを通じてこうした問題を解決するためには、前代未聞の複雑な仕組みが必要になるのです。米国政府は2015年6月にも最初のオークションをしたいと思っているようで、それまでに仕組みを完成させるため、鋭意研究に取り組んでいます。

20140416

https://en.wikipedia.org/wiki/Auction_theory

Auction theory is an applied branch of economics which deals with how people act in auction markets and researches the properties of auction markets. There are many possible designs (or sets of rules) for an auction and typical issues studied by auction theorists include the efficiency of a given auction design, optimal and equilibrium bidding strategies, and revenue comparison. Auction theory is also used as a tool to inform the design of real-world auctions; most notably auctions for the privatization of public-sector companies or the sale of licenses for use of the electromagnetic spectrum.

Contents

• General idea
• Types of auction
  • Benchmark model
• Game-theoretic models
• Revenue equivalence
• Winner's curse
• JEL classification
• Footnotes
• Further reading
• External links

General ideaEdit

Auctions are characterized as transactions with a specific set of rules detailing resource allocation according to participants' bids. They are categorized as games with incomplete information because in the vast majority of auctions, one party will possess information related to the transaction that the other party does not (e.g., the bidders usually know their personal valuation of the item, which is unknown to the other bidders and the seller).^[1] Auctions take many forms, but they share the characteristic that they are universaland can be used to sell or buy any item. In many cases, the outcome of the auction does not depend on the identity of the bidders (i.e., auctions are anonymous)^{[citation needed]}.

Most auctions have the feature that participants submit bids, amounts of money they are willing to pay. Standard auctions require that the winner of the auction is the participant with the highest bid. A nonstandard auction does not require this (e.g., a lottery).

Types of auctionEdit

Main article: Auction § Types

There are traditionally four types of auction that are used for the allocation of a single item:

• First-price sealed-bid auctions in which bidders place their bid in a sealed envelope and simultaneously hand them to the auctioneer. The envelopes are opened and the individual with the highest bid wins, paying the amount bid.
• Second-price sealed-bid auctions (Vickrey auctions) in which bidders place their bid in a sealed envelope and simultaneously hand them to the auctioneer. The envelopes are opened and the individual with the highest bid wins, paying a price equal to the second-highest bid.
• Open ascending-bid auctions (English auctions) in which participants make increasingly higher bids, each stopping bidding when they are not prepared to pay more than the current highest bid. This continues until no participant is prepared to make a higher bid; the highest bidder wins the auction at the final amount bid. Sometimes the lot is only actually sold if the bidding reaches a reserve price set by the seller.
• Open descending-bid auctions (Dutch auctions) in which the price is set by the auctioneer at a level sufficiently high to deter all bidders, and is progressively lowered until a bidder is prepared to buy at the current price, winning the auction.

Most auction theory revolves around these four "basic" auction types. However, other auction types have also received some academic study (see Auction Types).

Benchmark modelEdit

The benchmark model for auctions, as defined by McAfee and McMillan (1987), offers a generalization of auction formats, and is based on four assumptions:

1. All of the bidders are risk-neutral.
2. Each bidder has a private valuation for the item independently drawn from some probability distribution.
3. The bidders possess symmetric information.
4. The payment is represented as a function of only the bids.

The benchmark model is often used in tandem with the Revelation Principle, which states that each of the basic auction types is structured such that each bidder has incentive to report their valuation honestly. The two are primarily used by sellers to determine the auction type that maximizes the expected price. This optimal auction format is defined such that the item will be offered to the bidder with the highest valuation at a price equal to their valuation, but the seller will refuse to sell the item if they expect that all of the bidders' valuations of the item are less than their own.^[1]

Relaxing each of the four main assumptions of the benchmark model yields auction formats with unique characteristics:

• Risk-averse bidders incur some kind of cost from participating in risky behaviors, which affects their valuation of a product. In sealed-bid first-price auctions, risk-averse bidders are more willing to bid more to increase their probability of winning, which, in turn, increases their expected utility. This allows sealed-bid first-price auctions to produce higher expected revenue than English and sealed-bid second-price auctions.
• In formats with correlated values—where the bidders’ values for the item are not independent—one of the bidders perceiving their value of the item to be high makes it more likely that the other bidders will perceive their own values to be high. A notable example of this instance is the Winner’s curse, where the results of the auction convey to the winner that everyone else estimated the value of the item to be less than they did. Additionally, the linkage principle allows revenue comparisons amongst a fairly general class of auctions with interdependence between bidders' values.
• The asymmetric model assumes that bidders are separated into two classes that draw valuations from different distributions (i.e., dealers and collectors in an antiques auction).
• In formats with royalties or incentive payments, the seller incorporates additional factors, especially those that affect the true value of the item (e.g., supply, production costs, and royalty payments), into the price function.^[1]

Game-theoretic modelsEdit

A game-theoretic auction model is a mathematical game represented by a set of players, a set of actions (strategies) available to each player, and a payoff vector corresponding to each combination of strategies. Generally, the players are the buyer(s) and the seller(s). The action set of each player is a set of bid functions or reservation prices (reserves). Each bid function maps the player's value (in the case of a buyer) or cost (in the case of a seller) to a bid price. The payoff of each player under a combination of strategies is the expected utility (or expected profit) of that player under that combination of strategies.

Game-theoretic models of auctions and strategic bidding generally fall into either of the following two categories. In a private value model, each participant (bidder) assumes that each of the competing bidders obtains a random private value from a probability distribution. In a common value model, the participants have equal valuations of the item, but they do not have perfectly accurate information about this valuation. In lieu of knowing the exact valuation of the item, each participant can assume that any other participant obtains a random signal, which can be used to estimate the true valuation, from a probability distribution common to all bidders.^[2] Usually, but not always, a private values model assumes that the values are independent across bidders, whereas a common value model usually assumes that the values are independent up to the common parameters of the probability distribution.

A more general category for strategic bidding is the affiliated values model, in which the bidder's total utility depends on both their individual private signal and some unknown common value. Both the private value and common value models can be perceived as extensions of the general affiliated values model.^[3]

Ex-post equilibrium in a simple auction market.

When it is necessary to make explicit assumptions about bidders' value distributions, most of the published research assumes symmetric bidders. This means that the probability distribution from which the bidders obtain their values (or signals) is identical across bidders. In a private values model which assumes independence, symmetry implies that the bidders' values are independently and identically distributed (i.i.d.).

An important example (which does not assume independence) is Milgrom and Weber's "general symmetric model" (1982).^[4][5] One of the earlier published theoretical research addressing properties of auctions among asymmetric bidders is Keith Waehrer's 1999 article.^[6] Later published research include Susan Athey's 2001 Econometrica article,^[7] as well as Reny and Zamir (2004).^[8]

The first formal analysis of auctions was by William Vickrey (1961). Vickrey considers two buyers bidding for a single item. Each buyer's value, v, is an independent draw from a uniform distribution with support [0,1]. Vickrey showed that in the sealed first-price auction it is an equilibrium bidding strategy for each bidder to bid half his valuation. With more bidders, all drawing a value from the same uniform distribution it is easy to show that the symmetric equilibrium bidding strategy is 

${\displaystyle B(v)=\left(\frac{n-1}{n}\right)v}$.

To check that this is an equilibrium bidding strategy we must show that if it is the strategy adopted by the other n-1 buyers, then it is a best response for buyer 1 to adopt it also. Note that buyer 1 wins with probability 1 with a bid of (n-1)/n so we need only consider bids on the interval [0,(n-1)/n]. Suppose buyer 1 has value v and bids b. If buyer 2's value is x he bids B(x). Therefore buyer 1 beats buyer 2 if

 that is  

Since x is uniformly distributed, buyer 1 bids higher than buyer 2 with probability nb/(n-1). To be the winning bidder, buyer 1 must bid higher than all the other bidders (which are bidding independently). Then his win probability is

Buyer 1's expected payoff is his win probability times his gain if he wins. That is,

${\displaystyle U(b)=w(b)(v-b)={\left(\frac{n}{n-1}\right)}^{n-1}{b}^{n-1}(v-b)={\left(\frac{n}{n-1}\right)}^{n-1}(b^{n-1}v-b^n)}$

It is readily confirmed by differentiation that U(b) takes on its maximum at 

${\displaystyle B(v)=\left(\frac{n-1}{n}\right)v}$

It is not difficult to show that B(v) is the unique symmetric equilibrium. Lebrun (1996)^[9] provides a general proof that there are no asymmetric equilibria.

Revenue equivalenceEdit

Main article: Revenue equivalence

One of the major findings of auction theory is the celebrated Revenue equivalence theorem. Early equivalence results focused on a comparison of revenue in the most common auctions. The first such proof, for the case of two buyers and uniformly distributed values was by Vickrey (1961). In 1979 Riley & Samuelson (1981) proved a much more general result. (Quite independently and soon after, this was also derived by Myerson (1981)).The revenue equivalence theorem states that any allocation mechanism or auction that satisfies the four main assumptions of the benchmark model will lead to the same expected revenue for the seller (and player i of type v can expect the same surplus across auction types).^[1]

Relaxing these assumptions can provide valuable insights for auction design. Decision biases can also lead to predictable non-equivalencies. Additionally, if some bidders are known to have a higher valuation for the lot, techniques such as price-discriminating against such bidders will yield higher returns. In other words, if a bidder is known to value the lot at $X more than the next highest bidder, the seller can increase their profits by charging that bidder $X – Δ (a sum just slightly inferior to the sum is willing to pay) more than any other bidder (or equivalently a special bidding fee of $X – Δ). This bidder will still win the lot, but will pay more than would otherwise be the case.^[1]

Winner's curseEdit

The winner's curse is a phenomenon which can occur in common value settings—when the actual values to the different bidders are unknown but correlated, and the bidders make bidding decisions based on estimated values. In such cases, the winner will tend to be the bidder with the highest estimate, but the results of the auction will show that the remaining bidders' estimates of the item's value are less than that of the winner, giving the winner the impression that they "bid too much".^[1]

In an equilibrium of such a game, the winner's curse does not occur because the bidders account for the bias in their bidding strategies. Behaviorally and empirically, however, winner's curse is a common phenomenon. (cf. Richard Thaler).

JEL classificationEdit

In the Journal of Economic Literature Classification System C7 is the classification for Game Theory and D44 is the classification for Auctions.^[10]

FootnotesEdit

1. ^ ^{a b c d e f} McAfee, R. Preston; McMillan, John (1987). "Auctions and Bidding". Journal of Economic Literature. 25 (2): 699–738. JSTOR 2726107.
2. ^ Watson, Joel (2013). "Chapter 27: Lemons, Auctions, and Information Aggregation". Strategy: An Introduction to Game Theory, Third Edition. New York, NY: W.W. Norton & Company. pp. 360–377. ISBN 978-0-393-91838-0.
3. ^ Li, Tong; Perrigne, Isabelle; Vuong, Quang (2002). "Structural Estimation of the Affiliated Private Value Auction Model". The RAND Journal of Economics. 33 (2): 171–193. JSTOR 3087429.
4. ^ Milgrom, P., and R. Weber (1982) "A Theory of Auctions and Competitive Bidding," Econometrica Vol. 50 No. 5, pp. 1089–1122.
5. ^ Because bidders in real-world auctions are rarely symmetric, applied scientists began to research auctions with asymmetric value distributions beginning in the late 1980s. Such applied research often depended on numerical solution algorithms to compute an equilibrium and establish its properties. Preston McAfee and John McMillan (1989) simulated bidding for a government contract in which the cost distribution of domestic firms is different from the cost distribution of the foreign firms ("Government Procurement and International Trade," Journal of International Economics, Vol. 26, pp. 291–308.) One of the publications based on the earliest numerical research is Dalkir, S., J. W. Logan, and R. T. Masson, "Mergers in Symmetric and Asymmetric Noncooperative Auction Markets: The Effects on Prices and Efficiency," published in Vol. 18 of The International Journal of Industrial Organization, (2000, pp. 383–413). Other pioneering research include Tschantz, S., P. Crooke, and L. Froeb, "Mergers in Sealed versus Oral Auctions," published in Vol. 7 of The International Journal of the Economics of Business (2000, pp. 201–213).
6. ^ K. Waehrer (1999) "Asymmetric Auctions With Application to Joint Bidding and Mergers," International Journal of Industrial Organization 17: 437–452
7. ^ Athey, S. (2001) "Single Crossing Properties and the Existence of Pure Strategy Equilibria in Games of Incomplete Information," Econometrica Vol. 69 No. 4, pp. 861–890.
8. ^ Reny, P., and S. Zamir (2004) "On the Existence of Pure Strategy Monotone Equilibria in Asymmetric First-Price Auctions," Econometrica, Vol. 72 No. 4, pp. 1105–1125.
9. ^ Lebrun, Bernard (1996) "Existence of an equilibrium in first price auctions," Economic Theory, Vol. 7 No. 3, pp. 421–443.
10. ^ "Journal of Economic Literature Classification System". American Economic Association. Retrieved 2008-06-25. (D: Microeconomics, D4: Market Structure and Pricing, D44: Auctions)

Further readingEdit

• Cassady, R. (1967). Auctions and auctioneering. University of California Press. An influential early survey.
• Klemperer, P. (Ed.). (1999b). The economic theory of auctions. Edward Elgar. A collection of seminal papers in auction theory.
• Klemperer, P. (1999a). Auction theory: A guide to the literature. Journal of Economic Surveys, 13(3), 227–286. A good modern survey; the first chapter of the preceding book.
• Klemperer, Paul (2004). Auctions: Theory and Practice. Princeton University Press. ISBN 0-691-11925-2.Draft edition available online
• Krishna, Vijay (2002). Auction theory. New York: Elsevier. ISBN 978-0-12-426297-3. A very good modern textbook on auction theory.
• McAfee, R. P. and J. McMillan (1987). "Auctions and Bidding". Journal of Economic Literature. 25: 708–47.. A survey.
• Myerson, R. (1981). Optimal auction design. Mathematics of Operations Research, 6(1), 58–73. A seminal paper, introduced revenue equivalence and optimal auctions.
• Riley, J., and Samuelson, W. (1981). Optimal auctions. The American Economic Review, 71(3), 381–392. A seminal paper; published concurrently with Myerson's paper cited above.
• Parsons, S., Rodriguez-Aguilar, J. A., and Klein, M. (2011).  Auctions and bidding: A guide for computer scientists.
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89943-7. A recent textbook; see Chapter 11, which presents auction theory from a computational perspective. Downloadable free online.
• Vickrey, W. (1961). Counterspeculation, auctions, and competitive sealed tenders. The Journal of Finance, 16(1), 8–37. A pathbreaking paper that introduced second price auctions and performed new analysis of first price.
• Wilson, R. (1987a). Auction theory. In J. Eatwell, M. Milgate, P. Newman (Eds.), The New Palgrave Dictionary of Economics, vol. I. London: Macmillan.

External linksEdit

• Auctions on GameTheory.net, also available on the Wayback Machine

https://translate.google.com/translate?sl=auto&tl=ja&u=https%3A%2F%2Fen.m.wikipedia.org%2Fwiki%2FAuction_theory

オークション理論は、人々がオークション市場でどのように行動するかを扱い、 オークション市場の特性を研究する経済学の応用分野です。オークションのための多くの可能なデザイン（またはルールのセット）があり、オークション理論家によって研究される典型的な問題は与えられたオークションデザインの効率 、 最適および均衡入札戦略、そして収益比較を含みます。 オークション理論は、実際のオークションのデザインを知らせるためのツールとしても使用されます。 最も注目に値するのは、公共部門の企業の民営化または電磁スペクトルの使用に関するライセンスの販売に対するオークションです。

Contents

一般的なアイデア 編集

オークションは、参加者の入札に応じてリソース割り当てを詳述した特定のルールセットを持つトランザクションとして特徴付けられます。オークションの大多数において、一方の当事者は他方の当事者が所有していない取引に関連する情報を所有するため、それらは不完全な情報を持つゲームとして分類されます（通常、入札者は自分の個人的な評価を知っています。他の入札者と売り手）。 ^[1]オークションにはさまざまな形態がありますが、 普遍的であり、商品の販売または購入に使用できるという特徴があります。 多くの場合、オークションの結果は入札者の身元には依存しません（すなわち、オークションは匿名です ） ^{[ 要出典 ]} 。

ほとんどのオークションには参加者が入札 、彼らが支払うことをいとわない金額を提示するという特徴があります。 標準オークションでは、オークションの勝者が最高入札額の参加者であることが必要です。 非標準オークションではこれを必要としません（例：宝くじ）。

オークションの種類 編集

主な記事： オークション§タイプ

単一の商品の割り当てに使用される伝統的に4つのタイプのオークションがあります。

• 入札者が自分の入札を封筒に入れて同時にオークションの主催者に渡す、 第一価格の密封入札オークション 。 封筒が開き、最高入札額の個人が勝利し、入札額が支払われます。
• 入札者が入札を封印された封筒に入れ、同時にそれらを競売人に渡す二次価格密封入札（Vickreyオークション） 。 封筒が開かれ、最高入札額を持つ個人が勝ち、 2番目に高い入札額に等しい価格を支払います。
• 参加者がますます高い入札を行い、それぞれが現在の最高入札額を超える金額を支払う用意ができていないときに入札を停止する、 オープン上昇入札オークション（英語オークション） 。 これは参加者がより高い入札をする用意ができなくなるまで続きます。 最高額入札者が最終入札額でオークションに勝ちます。 時々、入札が売り手によって設定された準備価格に達する場合にのみ、ロットは実際に売られます。
• 競売人によって、すべての入札者を抑止するのに十分高いレベルで価格が設定され、入札者が現在の価格で購入する用意ができてオークションに勝利するまで段階的に下げられるオープン降下入札（ダッチオークション） 。

ほとんどのオークション理論は、これら4つの「基本」オークションタイプを中心に展開しています。 ただし、他のオークションタイプでも学術研究が行われています（ オークションタイプを参照）。

ベンチマークモデル 編集

McAfeeとMcMillan（1987）によって定義されたオークションのベンチマークモデルは、オークション形式の一般化を提供し、4つの仮定に基づいています。

1. すべての入札者はリスクニュートラルです。
2. 各入札者は、ある確率分布から独立して引き出された項目に対してプライベート評価を行います。
3. 入札者は対称的な情報を持っています。
4. 支払いは入札単価の関数として表されます。

ベンチマークモデルは、各オークションタイプが評価を正直に報告するインセンティブを持つように各基本オークションタイプが構造化されていると述べているRevelation Principleと組み合わせて使用​​されることがよくあります。 この2つは主に、予想価格を最大化するオークションの種類を決定するために売り手によって使用されます。 この最適なオークションフォーマットは、アイテムがその評価に等しい価格で最高の評価で入札者に提供されるが、売り手がアイテムの入札者の評価の全てを期待するのであればそのアイテムの販売を拒否するように定義される。自分よりも小さいです。 ^[1]

ベンチマークモデルの4つの主な仮定のそれぞれを緩和すると、独自の特性を持つオークションフォーマットが得られます。

• リスク回避入札者は、リスク行動に参加することから何らかのコストを負担します。これは商品の評価に影響します。 密封入札のファーストプライスオークションでは、リスク回避入札者は勝利の可能性を高めるためにより多くの入札をしなければならず、その結果、期待される有用性が高まります。 これにより、密封入札の一価オークションは、英語および密封入札の二価格オークションよりも高い期待収益を生み出すことができる。
• アイテムの入札者の値が独立していない相関値のある形式では、アイテムの価値が高いと感じる入札者の1人が、他の入札者が自分の価値が高いと感じる可能性が高くなります。 この例の注目に値する例は勝者の呪いです 。そこではオークションの結果が勝者に他の誰もが彼らがしたよりも低いとアイテムの価値を推定したことを伝えます。 さらに、 リンケージの原則により、入札者の価値の間に相互依存性があるかなり一般的な種類のオークションの間で収益を比較することが可能になる。
• 非対称モデルでは、入札者は異なる分布から評価を引き出す2つのクラス（つまり、骨董品オークションのディーラーとコレクター）に分けられます。
• ロイヤルティまたはインセンティブの支払いを伴うフォーマットでは、売り手は追加の要素、特に商品の真の価値に影響を与える要素（例えば、供給、製造原価、およびロイヤルティの支払い）を価格関数に組み込みます。 ^[1]

ゲーム理論モデル

ゲーム理論的オークションモデルは、一組のプレーヤー、各プレーヤーに利用可能な一組のアクション（ 戦略 ）、および各戦略の組み合わせに対応するペイオフベクトルによって表される数学的ゲームである 。 一般に、プレーヤーは買い手と売り手です。 各プレイヤーのアクションセットは、入札機能または予約価格 （予約）のセットです。 各入札機能は、プレーヤーの価値 （買い手の場合）またはコスト （売り手の場合）を入札価格にマッピングします。 戦略の組み合わせの下での各プレ​​ーヤーのペイオフは、その戦略の組み合わせの下でのそのプレーヤーの期待効用 （または期待利益）です。

オークションおよび戦略的入札のゲーム理論モデルは、一般的に次の2つのカテゴリのいずれかに分類されます。 私的価値モデルでは 、各参加者（入札者）は、 競合する各入札者が確率分布からランダムな 私的価値を取得すると仮定します。 一般的な価値モデルでは、参加者はアイテムに対して同等の評価をしますが、この評価に関する完全に正確な情報を持っていません。 アイテムの正確な評価を知る代わりに、各参加者は、他の参加者がすべての入札者に共通の確率分布から真の評価を推定するために使用できるランダム信号を取得すると想定できます。 ^[2]いつもではないが通常、私的価値モデルは値が入札者間で独立していると仮定するが、共通値モデルは通常値が確率分布の共通パラメータまでは独立していると仮定する。

戦略的入札のより一般的なカテゴリーは、 提携値モデルであり、このモデルでは、入札者の総効用は、彼らの個々の私的シグナルと未知の共通価値の両方に依存します。 プライベートバリューモデルとコモンバリューモデルはどちらも、一般的な提携価値モデルの拡張として捉えることができます。 ^[3]

単純なオークション市場における事後均衡

入札者の価値分布について明確な仮定をする必要がある場合、公表されている研究のほとんどは対称的な入札者を仮定しています。 つまり、入札者が自分の値（またはシグナル）を取得する確率分布は、入札者間で同一です。 独立性を仮定する私的価値モデルでは、対称性は入札者の価値が独立して同一に分布していることを意味します（iid） 。

独立性を仮定しない重要な例は、 Milgrom and Weberの "一般対称モデル"（1982）です。 ^[4] [5]非対称入札者の間でのオークションの性質に対処する以前に発表された理論的研究の1つが、Keith Waehrerの1999年の記事です。 最近発表された研究には、 Susan Atheyによる2001 Econometricaの記事^[7] 、およびReny and Zamir（2004）が含まれています。 ^[8]

オークションの最初の正式な分析はWilliam Vickrey （1961）によるものです。 Vickreyは2人のバイヤーが1つの商品に入札していると考えています。 各購入者の値vは、サポート付きの一様分布からの独立した引き込みです[0,1]。 Vickreyは、封印された最初の価格オークションでは、各入札者が自分の評価の半分を入札することが均衡入札戦略であることを示しました。 より多くの入札者がいる場合、すべて同じ一様分布から値を引き出すことで、対称均衡入札戦略が

${\displaystyle \mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span><span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span><span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\frac{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}$  。

これが均衡入札戦略であることを確認するためには、それが他のn-1の買い手によって採用された戦略である場合、それを採用することが買い手1にとって最良の対応であることを示す必要があります。 買い手1は（n-1）/ nの入札で確率1で勝つので、[0、（n-1）/ n]の範囲で入札を検討するだけでよいことに注意してください。 買い手1が値vを持ち、bを付けたとします。 買い手2の値がxの場合、彼はB（x）を入札します。 したがって、買い手1が買い手2を上回る場合、

  あれは  

xは一様に分布しているので、買い手1は確率nb /（n-1）で買い手2よりも高い値を付けます。 落札者になるには、購入者1が他のすべての入札者（個別に入札している）よりも高く入札する必要があります。 それなら彼の勝率は

 

買い手1の予想されるペイオフは、彼が勝った場合の彼の勝利確率×彼の利益です。 あれは、

${\displaystyle \mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span><span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span><span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span><span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\frac{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}^{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}^{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span><span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\frac{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}^{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}^{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}^{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}$ 

微分によって、U（b）が最大値をとることが容易に確認されます。

${\displaystyle \mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span><span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span><span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\frac{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}{\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>\mathrm{<span\; class="notranslate"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"><span\; class="mwe-math-element"\; style="background-image:\; none;\; border:\; 0px;\; font-style:\; inherit;\; line-height:\; inherit;\; margin:\; 0px;\; padding:\; 0px;\; vertical-align:\; baseline;"></span></span>}}$ 

B（v）がユニークな対称平衡であることを示すのは難しくありません。 Lebrun（1996） ^[9]は、非対称均衡が存在しないという一般的な証明を提供しています。

収益の等価性 編集

主な記事： 収益の等価性

オークション理論の主な発見の1つは、有名な収入等価方程式です。 初期の同等性の結果は、最も一般的なオークションの収益の比較に焦点を当てていました。 二人の買い手と一様に分布した値の場合に対する最初のそのような証明はVickrey（1961）によるものであった。 1979年にRiley＆Samuelson（1981）がもっと一般的な結果を出しました。 （まったく独立してすぐに、これはMyerson（1981）によっても導き出されました。） 収益等価定理は、ベンチマークモデルの4つの主な仮定を満たす配分メカニズムまたはオークションは売り手にとって同じ期待収益につながると述べています。そしてタイプvのプレーヤーiはオークションタイプ間で同じ黒字を期待できます。 ^[1]

これらの仮定を緩和することは、オークションデザインのための貴重な洞察を提供することができます。 決定の偏りは、予測可能な非等価性にもつながる可能性があります。 さらに、一部の入札者がそのロットの評価額が高いことがわかっている場合は、そのような入札者に対する価格差別などの手法により高いリターンが得られます。 言い換えれば、もし入札者がその次に高い入札者よりも$ Xでロットを高く評価することが知られているならば、売り手はその入札者に課金することによって彼らの利益を増やすことができます$ X - Δ（合計よりわずかに劣る合計が支払う気がある） ）他のどの入札者よりも多い（または同等の特別入札手数料$ X - Δ）。 この入札者はまだたくさん勝ちますが、そうでなければそうでない場合より多くを支払うでしょう。 ^[1]

勝者の呪い 編集

勝者の呪いは、 一般的な値の設定で発生する可能性がある現象です。異なる入札者に対する実際の値が不明で相関関係にあり、入札者が推定値に基づいて入札を決定する場合です。 そのような場合、勝者は最高の見積もりを持つ入札者になる傾向がありますが、オークションの結果は、アイテムの価値に関する残りの入札者の見積もりが勝者のそれより少ないことを示します。 「入札し過ぎ」 ^[1]

そのようなゲームの均衡において、入札者が彼らの入札戦略の偏りを説明するので勝者の呪いは起こりません。 行動的にも経験的にも、勝者の呪いは一般的な現象です。 （ Richard Thalerを参照）。

JEL分類 編集

Journal of Economic Literature Classification Systemでは、 C7はゲーム理論の分類で、D44はオークションの分類です。 ^[10]

脚注 編集

1. マカフィー、R。プレストン。 McMillan、ジョン （1987）。 「オークションと入札」。 経済文学ジャーナル 。 ２５ （２）：６９９−７３８。 JSTOR 2726107 。
2. ^ Watson、Joel（2013年）。 「第27章：レモン、オークション、および情報集約」。 戦略：ゲーム理論入門、第3版 。 ニューヨーク、ニューヨーク：WW Norton＆Company。 pp。360–377。 ISBN 978-0-393-91838-0 。
3. ^ 李、トン。 Perrigne、イザベル。 Vuong、Quang（2002）。 「提携プライベートバリューオークションモデルの構造推定」 ランド経済学ジャーナル 。 ３３ （２）：１７１−１９３。 JSTOR 3087429
4. ^ Milgrom、P。、およびR. Weber（1982）「オークションおよび競争入札の理論」、Econometrica Vol。 ５０ Ｎｏ．５、ｐｐ．１０８９−１１２２。
5. ^ 実世界のオークションの入札者が対称的であることはめったにないので、応用科学者は1980年代後半から非対称的な価値分布を持つオークションの研究を始めました。 そのような応用研究は、平衡を計算しそしてその性質を確立するために数値解法アルゴリズムにしばしば依存した。 Preston McAfeeとJohn McMillan（1989）は、国内企業のコスト配分と外国企業のコスト配分が異なる政府契約への入札をシミュレートしました（ "Government Procurement and International Trade"、 Journal of International Economics 、Vol.26、最古の数値研究に基づいた出版物の1つは、Dalkir、S.、JW Logan、およびRT Masson、「対称的および非対称的な非協調的オークション市場における合併：価格と効率への影響」に掲載されています。 Ｖｏｌ。 The International Journal of Industrial Organization 、（2000、pp。383–413）。 他の先駆的な研究には、Ｔｓｃｈａｎｔｚ、Ｓ．、Ｐ．Ｃｒｏｏｋｅ、およびＬ．Ｆｒｏｅｂ、「Ｍａｌｌｅｒｓ ｉｎ Ｓｅａｌｌｅｄ ｖｓ Ｏａｌ Ｏｒａｌオークション」、Ｖｏｌ。 ビジネスの経済学の国際ジャーナルの 7（2000年、201〜213ページ）。
6. ^ K. Waehrer（1999）「共同入札および合併への適用を伴う非対称オークション」、International Journal of Industrial Organisation 17 ：437–452
7. ^ Athey、S。（2001）「不完全な情報のゲームにおける単一交差特性と純粋戦略均衡の存在」、Econometrica Vol。 ６９、Ｎｏ．４、ｐｐ．８６１−８９０。
8. ^ Reny、P。、およびS. Zamir（2004）「非対称第一価格オークションにおける純粋戦略単調均衡の存在について」、Econometrica、Vol。 ７２ Ｎｏ．４、ｐｐ．１１０５〜１１２５。
9. ^ Lebrun、Bernard（1996）「最初の価格競売における均衡の存在、」経済理論、Vol。 ７ Ｎｏ．３、ｐｐ．４２１〜４４３。
10. ^ "経済文献分類システムのジャーナル" 。 アメリカ経済協会。 2008-06-25に掲載 。 （D：ミクロ経済学、D4：市場構造と価格、D44：オークション）

さらに読む

• Cassady、R.（1967）。 オークションと競売。 カリフォルニア大学出版局 。 影響力のある早期調査
• Klemperer、P。（編）。 （1999b）。 オークションの経済理論 エドワードエルガー。 オークション理論における精選論文集。
• Klemperer、P.（1999a）。 オークション理論文学への手引き Journal of Economic Surveys、13（3）、227-286。 最近の良い調査です。前の本の最初の章。
• Klemperer、ポール（2004）。 オークション理論と実際 プリンストン大学出版局 。 ISBN 0-691-11925-2 。 ドラフト版オンラインで入手可能
• Krishna、Vijay（2002）。 オークション理論 ニューヨーク： エルゼビア 。 ISBN 978-0-12-426297-3 。 オークション理論に関する非常に良い現代の教科書。
• McAfee、RPおよびJ. McMillan（1987）。 「オークションと入札」。 経済文学ジャーナル 。 25 ：708−47。 。 調査。
• Myerson、R.（1981）。 最適オークション設計 オペレーションズリサーチの数学 、6（1）、58から73。 セミナーの論文では、収益の等価性と最適なオークションを紹介しました。
• Riley、J.、およびSamuelson、W.（1981）。 最適なオークション アメリカ経済レビュー 、71（3）、381 - 392。 セミナーの論文 上記のMyersonの論文と同時に発行されています。
• Parsons、S。、Rodriguez-Aguilar、JA、およびKlein、M。（2011）。 オークションと入札コンピュータ科学者のためのガイド
• ショアム、ヨアブ。 Leyton-Brown、Kevin（2009）。 マルチエージェントシステムアルゴリズム的、ゲーム理論的および論理的基礎ニューヨーク： ケンブリッジ大学出版局 。 ISBN 978-0-521-89943-7 。 最近の教科書。 計算の観点からオークション理論を提示する第11章を参照してください。 オンラインで無料でダウンロードできます 。
• Wickrey、W.（1961）。 反投機、オークション、そして競争の激しい非公開入札。 Journal of Finance、16（1）、8–37。 セカンドプライスオークションを導入し、ファーストプライスを新たに分析した画期的な論文。
• Wilson、R.（1987a）。 オークション理論 Ｊ．Ｅａｔｗｅｌｌ、Ｍ．Ｍｉｌｇａｔｅ、Ｐ。 I.ロンドン：マクミラン。

外部リンク 編集

• WayThe Machineでも入手可能なGameTheory.netのオークション

＿＿＿＿＿

NAMs出版プロジェクト: 奥野正寛『ミクロ経済学』：目次
http://nam-students.blogspot.jp/2015/04/blog-post_32.html

奧野ミクロはシンプルでとっつきにくい印象があったが(実際63頁のスルツキー方程式の説明などはわかりにくいかも知れないが)、ある程度ミクロ経済を勉強したことのある人には逆に読みやすいのではないか？と思うようになった。神取ミクロに比べて図を駆使していない観もあるが、希少な図解も多々ある。オークションの図解(298頁☆)やピグー税・補助金(320頁☆☆)の図解だ。これらはpdf公開＊されている。マーシャルの言葉(…into the world with cool heads but warm hearts…)＊をエピグラフにしている点もシンプルで奥が深い本書をよく表している(ケインズに上書き保存されたマーシャルの業績をサルベージするのがミクロ経済なのだろう)。別冊演習もやるべきだろうが、本書だけでも自立している。◾︎

☆

p.37

（「／／／」期待利得増と「＼＼＼」支払額が同じになることが最適。奥野ミクロ298~9頁より）

　　　　１｜　　　　　　　　　　　／
　　　　　｜　　　　　　　　　　／
　　　　　｜　　　　　　　　　／
　　　　　｜Ａ＿＿＿＿＿＿Ｂ／＿Ｇ
　　　　　｜　　　　　　　／｜　｜　　　＿β(Ｂ)
　　　　　｜　　　　　　／　｜　｜　＿－
Ｂｖ１＋△｜Ｅ＿＿＿＿／＿Ｆ｜＿」Ｈ
　　Ｂｖ１｜＿＿＿＿／＿＿＿」－｜
　　　　　｜Ｃ　　／　　＿－Ｄ　｜
　　　　　｜　　／　＿－　　｜　｜
　　　　　｜　／＿－　　　　｜　｜
　　　　　｜／＿＿＿＿＿＿＿｜＿｜＿＿＿＿＿＿＿
　　　　０　　　　　　　　ｖ１　ｖ１＋△/β　　１
図６．１４　１位価格オークションの最適戦略

《…個人１が入札額を△だけ増やしてβｖ＋△にすると、個
人２人の入札額,ｘ２＝βｖ２がβｖ＋△を下回る限り、つまりｖ２≤ｖ１＋△/β

の範囲まで個人１が落札できるから、落札確率は△/βだけ増えることにな
る。その結果得られる期待利得増は、（ｖ１－βｖ１）×△/β＝（１－β）ｖ１△/βで
あり、図の四角形ＢＦＨＧの面積にほぼ相当する。他方、入札額を増やすこ
とは落札した場合の支払額が△だけ増えることに他ならない。その期待値は
ｖ１×△であり、図でいえば四角形ＥＣＤＦの面積である。
　前者が後者を上回れば入札額をβｖ１より増やすことで、下回るれば入札額を
βｖ１より減らすことで期待利得を増やせるから、最適なのは両者が一致する
ことである。その条件は…》（奥野ミクロ298~9頁より）

ｘｉ＝1/2ｖi（i＝1,2）

が均衡入札戦略。

より一般的には、

ｘｉ＝(n-1/n)ｖi（i＝1,2,....,n）

オリバー・ハート：

タイラー・コーエン「2016年のノーベル経済学賞受賞者オリバー・ハートとベングト・ホルムストロム（１／２）」 — 経済学101
http://econ101.jp/%e3%82%bf%e3%82%a4%e3%83%a9%e3%83%bc%e3%83%bb%e3%82%b3%e3%83%

bc%e3%82%a8%e3%83%b3%e3%80%8c2016%e5%b9%b4%e3%81%ae%e3%83%8e%e3%83%bc%e3%

83%99%e3%83%ab%e7%b5%8c%e6%b8%88%e5%ad%a6%e8%b3%9e%e5%8f%97/#more-21741

タイラー・コーエン「2016年のノーベル経済学賞受賞者オリバー・ハートとベングト・ホルムストロム（１／２）」

2016年10月11日 by 227thday leave a comment

●Tyler Cowen “Oliver Hart, Nobel Laureate” (Marginal Revolution, October 10, 2016)

（訳者注：本記事はハートについての紹介となります。共同受賞者であるホルムストロムについてはこちらをご参照ください。）

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ハートの一番有名な論文は、1986年のグロスマンとの共著「所有権の費用と便益（The Costs and Benefits of Ownership.）」だ。これは同じくノーベル経済学賞を受賞したロナルド・コースとオリバー・ウィリアムソンの業績の拡張にあたる（一つの分野にノーベル賞多いなあ…）。

そもそもなぜある主体は別の主体の資産の残余コントロール権を買うのだろうか。ここに工場と石炭採掘会社が一社ずつあるとしよう。石炭は特定の取り扱い方をすれば工場での使用により適した形で用いることができるとしよう。工場が石炭採掘会社を買収すれば石炭の取り扱いについてのインセンティブは変わることになる、これがこのモデルの鍵となる知見だ。これはコースの定理の非常に重要な修正であると考えることができる。誰が資産を所有するかが重要なんだ。なぜなら、採掘会社が石炭を所有する場合、採掘会社は資産（石炭）の価値を事前に最大化するようなインセンティブを持つが、工場が石炭鉱山を所有する場合のインセンティブはこれとは異なるからだ¹ 。この論文の一部は、「ある資産の完全な所有権を持つ場合、その資産の価値の向上による利益について多くの配分を保有する」という交渉の定理によってなされている。すなわち、所有権は価値を最大化する能力が最も高い主体に移転することとなる。

これは、事後的に契約が可能であれば所有権の主体は問題とならないという事を示したコースの定理の抜本的な改善となっている。所有権の主体が問題とならないためには、ゲームの初期段階において価値向上のための投資が事前に契約可能であるというありえそうにない仮定も必要であることをこの論文は示した。

この論文を完全に理解するのは難しい。論文では所有権、支配、残余請求に関するあらゆる類の仮定が組み込まれており、それらの動きは一様じゃない。その後ハートは（その他の研究者と共同で）こうした仮定を取り除き、このプロセスについてより透明性の高いモデルを作り上げた。この論文は合併、垂直的統合のほか、企業所有権、契約、支配に関するその他の問題に関する出発点の一つ、というより「これこそが」出発点だというべきだろう。ベングト・ホルムストロムをはじめとする多くの人々がこの論文についての優れた評価を行っている。

グロスマンはどうなったかと読者諸兄は疑問に思うだろう。彼は情報に関する重要な論文を書いているし、ハートの主要な業績はグロスマンとの共著だから、僕としては彼の共同受賞も考えられたと思う。グロスマンの輝かしい側面としては、彼がヘッジファンドの運営によって数百億ドルも稼いでいるということが言える。

ハートは真の紳士できれいなイギリス英語を話す。同業者からもとても尊敬されている。彼のWikipediaのページはここ、彼のホームページはここ。彼は今ハーバートにいるけど、キャリアの中ではMITにも所属していた。彼の経歴はこちら。Google Scholarはここ。スウェーデン中銀による受賞者の説明文はこちら。動画による説明はここ。

彼の論文で2番目によく知られているのは、1990年のジョン・ムーアとの共著「所有権と企業の性質（Property Rights and the Nature of the Firm）」だ(https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/3448675/Hart_PropertyRights.pdf?sequence=2)。この論文の内容も所有権と権利の配分に関するモデルとたとえ話だが、前述のグロスマンとの共著論文にいくつか捻りを加えたものとなっている。鍵となる点は、重要でないエージェントには価値創造を阻害できる権力を与えないというものだ。論文では、金持ち、船長、コックの共同による船旅事業に関するストーリーが語られる² 。金持ちと船長は必要不可欠なため、二人のうちどちらかが船を所有するべきであり、船旅から得られる利益のほとんどを二人で分け合い、コックには彼の限界生産物に等しいだけ支払う。こうして価値創造が続く。他方、コックが船を所有する場合、彼は事業を阻害できる権力を持ち、利益は3者で分割しあうことになる。これは交渉問題の難化、取引費用の上昇を引き起こすほか、最も大きな投資を賄うだけの利益が得られない可能性が出てくることから、事業価値を減少させることがありうる。多くの価値を創造する主体が資産を所有すべき、というのがここでの中心的な主張だ。この論文は契約、所有権や、どのような類の事業の仕組みが特殊な資産への投資を引き起こすのかについて考えるためのもう一つ重要な文献であり、これもコースとウィリアムソンの業績のフォローアップとなっている。

ご存じない読者のために言っておくと、オリバー・ハートは基本的に彼の主要な研究分野における理論家だ。

グロスマンとハートによるもう一つの有名な論文は「企業買収の競売、フリーライダー問題、企業の理論（Takeover Bids, the Free Rider Problem, and the Theory of the Corporation.）」だ(https://www.jstor.org/stable/pdf/3003400.pdf)。アレックス³ の一番面白い論文の一つ(https://mason.gmu.edu/~atabarro/PrivateProvision.pdf)はこの論文の拡張だから、これについて彼が詳細を書いてくれるんじゃないだろうか。簡単に言えば、このモデルはなぜ多くの価値最大化的買収が実現しないのか、あるいはなぜ都市の1区画を買収して改修するのが難しいかを説明するのに役立つものだ。ある企業が現在一株当たり80ドルの価値があるとしよう。そしてある企業買収家はこの企業を一株100ドルにする良い案を持っており、株主であるあなたに一株90ドルでの買取りを提案する。あなたは株を売るだろうか。その答えは、他の株主がどうするかについてのあなたの考え次第だ。あなたは株を売らず、企業買収にただ乗りしようとするかもしれない。もしほかの株主が売るのであれば、あなたは90ドルの代わりに100ドルの価値の株を得ることになる。あるいは、あなたはなんだかんだで株を90ドルで売るが、ほかの人は誰も売らず等々。難しい問題だけれど、これは様々な種類の買収に関する制限について理解するために非常に重要なことだ。僕のセキュリティデバイスのせいでこの論文にリンクを張れないけれど、論文タイトルでググってほしい⁴ (別url:http://www.nuff.ox.ac.uk/users/klemperer/IO_Files/takeover%20bids%20Grossman%20and%20Hart.pdf)。

ハートの1983年のグロスマンとの共著はプランシパル・エージェント問題をモデル化する高度に厳密な手法で、当時のブレークスルーとなった。この論文はEconometricaに掲載されたもので、多くの人々にとっては読むのがとても難しい。当時、経済学者はプランシパル・エージェント問題を参加制約の考えを用いてモデル化していた。つまり、それまでは、エージェントが取引に応じても損はしないという条件（参加制約）を満たしつつ、エージェントから努力を引き出すためには契約をどういじればいいかというかたちで問題設定がなされていたのだ。しかし、これでは自然に導かれる手近な単一の解がない場合には誤った結果がもたらされうることがマーリーズによって指摘された。グロスマンとハートはこれを数学的に凸計画問題として概念化し直した。理論家たちはこの論文を愛しており、この論文は発表された当時には多大な影響を及ぼした。

…

＿＿＿＿＿＿

以下の日本語版序文に1998年マクミランと築地市場へ行き感嘆したことが書かれている
収入等価定理が関係しているらしい

オークション理論とデザイン / 原タイトル:Putting auction theory to work　(2004)
ポール・ミルグロム 川又邦雄 奥野正寛 計盛英一郎 馬場弓子
5832円

発売日 2007/11/28 発売

目次

第１章　さあ、始めよう

第Ｉ部　メカニズム・デザインによるアプローチ
第２章　ヴィックリー＝クラーク＝グローブス・メカニズム
第３章　包絡面定理と収入等価定理
第４章　オークションの均衡と収入の相違
第５章　タイプと価値の相互依存性
第６章　状況に応じたオークション

第2)部　複数財のオークション
第７章　一律価格オークション
第８章　パッケージ・オークションと組み合わせ入札

http://blog.livedoor.jp/pm100satsu/archives/2008-03-04.html

2008年03月04日

オークション理論とデザイン

■ 書籍情報

　　　【オークション理論とデザイン】(#1139)

　　ポール・ミルグロム (著), 計盛 英一郎, 馬場 弓子 (翻訳)
　　価格： ￥5670 （税込）
　　東洋経済新報社(2007/11)

　本書は、オークション理論の世界的権威が著した「オークションの理論と実践について包括的な説明を与える広範な内容を持つ学術書」です。本書は、「数学的に厳密な形でオークション理論全体の解説を与える一方、基本的命題の含意とその実践的意義について、経済学専攻の学生や一般読者にもわかりやすい明快な文章で説明している」とされています。
　著者は、オークション・デザインを、「講義・研究・コンサルティングという3種類の活動経験を通じて得た洞察を総合したもの」であるとして、「この3つの活動は長い間相互に絡み合っていた」と述べています。
　第1章「さあ、始めよう」では、オークション理論が社会に応用されるようになったはじまりとして、「1993～94年に、米国で無線周波数オークションが設計・実施された」ことを挙げ、オークションに関する経済理論の誕生は1960年代であったとした上で、1994年以降、専門家たちが、多岐にわたるオークションを設計し、「2001年の尾張には、オークション理論の専門家によって設計された仕組みが、世界全体で総額1000億ドルを超える売り上げを記録した」と述べています。
　そして、「既存のオークション理論に改良の余地があることは事実だが、オークション理論は実際の入札行動の重要な側面をとらえている」として、現実社会におけるオークションの設計では、「理論は有用だが、重要な命題についてはそれが適用可能かどうかを実験によって検証し、実際的な判断によって補足し、経験によってさじ加減することが大事だ」と述べています。
　また、オークション理論が注目を集めるきっかけとなった、米国の周波数オークションについては、元々は、周波数数の権利（免許）が、「比較聴聞(comparative hearing)方式」によって割り当てられていたが、認可手続に時間がかかるために「抽選方式」が採用され、今度は、転売目的の投機家が殺到したために、「より望ましい手続が求められること」となり、その解決策としてオークションの採用が決定されたことが述べられています。そして、オークションの効率性を阻害する根本的要因として、「自分がどれだけの免許を獲得できたのかを知るまでは、個々の免許が自分にとってどれだけの価値を持つか、事業者にはわからない」という「組み合わせ問題(packaging problem)」であったことを解説しています。
　さらに、ニュージーランドの無線周波数利用券オークションで最初に採用された「2位価格封印入札(second-price sealed-bid auction)」方式について、
(1)入札額の刻みが小さい場合の競り上げオークションと、ほぼ同一の結果を生み出す。
(2)この方式の下では、入札者がとるべき入札戦略は、自分の留保価値を計算し、入札が句を留保価値にするという単純なものである。
の2つの長所を持つと述べています。
　著者は、「オークションの設計をする人が最も頻繁に聞かれる質問」として、「売り手にいちばん高い価格をもたらすのは、どんなオークションですか」という質問を上げ、これに対して、「ある重要なクラスに属するオークションと環境」に当てはまるオークションであれば、「それから得られる売り手の平均収入や入札者の平均利得が等しくなる」という「利得等価定理(payoff equivalence theorem)」を紹介し、この定理は、「金融経済学におけるモジリアニ＝ミラー定理や、契約理論におけるコースの定理、マクロ経済学における貨幣の中立性命題を使うことに似ている」と述べ、これらの理論が、「何らかの変化を引き起こすだろうと思われる要因が、理想的な条件の下では、実は何の効果ももたらさないことを明らかにしている」と解説しています。
　また、オークション理論と現実判断をミックスさせるという解決策の提案が、経済学の専門家からの攻撃にさらされてきたことについて、
(1)再販売とコースの定理：オークションが終わったあとの取引費用がかからなければ、当初の権利割り当ては最終的な配分に影響することはなく、後者は必ず効率的になるはずだ。
(2)メカニズム・デザイン理論：メカニズム・デザイン理論を使わないで、経済理論をうまく活用したことになるのだろうか。
(3)理論と実験：いまや実験経済学のラボ（研究室）で多様なオークションの設計デザインをテストできるのに、なぜオークションの理論を考えなければならないのか。
(4)現実問題：メカニズム・デザインを使った分析は、いくつかの理由のために、現実に応用するには無意味だ。
等の批判を紹介しています。
　第1部「メカニズム・デザインによるアプローチ」では、「オークション」を、「入札者間での資源配分を決定する1つのメカニズムである」と定義した上で、
(1)潜在的な入札者
(2)実現可能な資源配分の集合の記述
(3)財の配分それぞれについて各参加者がどう評価するかの記述
の3つの主要部分を記述することによって構成されていると述べています。
　第2章「ヴィックリー=クラーク＝グローブス・メカニズム」では、「より一般的な分析のための重要な標準的枠組み」を与えてきた「ヴィックリー=クラーク＝グローブス」(VCG)の重要な学術上の貢献を解説する、としています。
　まず、VCGメカニズムが、「「誘因両立的な直接表明メカニズム」であり、その利点の1つは、「真の申告をすることが自分の利益になるため、参加者がわざわざ戦略的な思考をしなくてすむ点にある」であることを解説しています。
　一方で、おおkの魅力的な特徴を持つ「ヴィックリー・オークション」が、実務上の問題点として、
(1)入札者の計算能力に過大な負担をかける点。
(2)入札者がしばしば予算上の制約に直面すること。
(3)落札者に必要以上の情報を開示させてしまうこと。
(4)支払額が、必ずしも入札者評価額の単調関数とならない点。
(5)入札者の投資や合併に関する事前の（オークションをする前の）誘因に歪みを与え、その結果、非効率性が生まれること。
の5点を挙げています。
　著者は、VCGメカニズムが、「メカニズム・デザインが何を実現できるかということについて、重要な洞察を与える」として、
(1)すべての参加者にとって真のタイプを申告するのが支配戦略となる。
(2)入札者が真のタイプを申告するとき、評価額の総額を最大化するような意思決定が選ばれる。
(3)評価額が潜在的にどんなものでありうるかについての制限がない場合、これら2つの性質を満たす唯一のメカニズムである。
の3点を挙げています。
　第3章「包絡面定理と収入等価定理」では、Myersonが分析した、「売り手が1個の不可分な財を売って期待収入を最大化する場合に、すべての可能な拡張されたメカニズムの中からどれを用いるべきか」という問題である「最適オークション設計問題(optimal auction problem)」と、Holmstromが分析した、VCGメカニズム以外で「効率的な配分を支配戦略(dominant strategies)で実現するものが存在するか」という研究について、「マイヤソンの補題」と「ホルムストロームの補題」として解説しています。
　第4章「オークションの均衡と収入の相違」では、章の目的として、
(1)さまざまなオークションで均衡の候補となる戦略を求め、それらの戦略が実際に均衡であるかを確認する技術的な方法を示す。
(2)第3章での家庭が成り立たない場合のオークションの機能を比較検討する。
の2点を掲げています。
　そして、分析対象として、
・留保価格のある封印オークション
・消耗戦オークション
・全員支払いオークション
の「均衡戦略を特定化し、それを確認」しています。
　第5章「タイプと価値の相互依存性」では、「結果がプレイヤーにもたらす価値が、自分のタイプだけに依存すること」を意味する「価値が私的(private)」ということや、「タイプの分布が統計的に独立であること」を意味する「価値が独立(independent)」に関して、これらの「仮定を弱めた場合、いくつもの新しい論点が生じる」として、「これら2種類の相互依存性を認めた場合に起こるいくつかの問題を検討」しています。
　そして、「価値に相互依存性がある場合」の例として、「実証的にも成功を収めた油田採掘権モデル(drainage tract model)」等を検討し、売り手が、「情報を収集して公開することで入札者の私的情報の価値を軽減できる」として、このような戦略が、
(1)公表効果：売り手の情報公開により隣接企業の情報の私的性が低下する。
(2)重み付け効果：情報公開により、入札者が価値を評価する際に使う隣接企業の情報の重みが変化する。
の2つの点で売り手を有利にすることを解説しています。
　また、「タイプの分布が統計的に従属な場合、最適オークション問題の解の性質は根本的に変化する」として、「タイプの分布が統計的従属から統計的独立に変わると、解は非連続的(discontinuously)」に変化する」と述べています。
　さらに、「1つの確率変数の実現値が高いときには、他の確率変数の実現値が高くなりやすいこと」を表す概念として、ミルグロム＝ウェーバーが導入した「A関連(affiliation)」という概念を紹介しています。
　そして、「競り上げオークション」のモデルに関して、ヴィックリーがイギリス式競り上げオークションのモデルとして2位価格モデルを導入し、「いまだに入札に参加している入札者についての情報のフィードバックが行なわれない競り上げオークションは、ヴィックリーの2位価格オークションと戦略的に同等(strategically equivalent)になる」ことを、「最小情報(minimal information)の競り上げオークション・メカニズム」ということを解説した上で、実際のイギリス式オークションでは、その過程で付加的な情報を観察することができるとして、このようなモデルの1つとして、ミルグロム＝ウェーバーによって作られた「ボタン式オークション(button auction)」について解説しています。
　第6章「状況に応じたオークション」では、「オークション自体は単に取引の一部であり、その成功はオークションの前後に何が起きるかによる」として、「取引の全体像を理解するためには、参加者は誰か、どのように品質、配達、支払いが保証されるのか、を問うことが必要である」と述べています。
　そして、非常に特殊な資産のオークションが、「有用ではあっても、買い手の興味を十分喚起することができずに、失敗に終わることがしばしばある」ことを指摘し、「買い手に情報を提供し、買い手のニーズに売却条件を合わせるという経済的に価値ある2つの機能」を「マーケティング」が果たしていると述べています。
　また、本章のモデルが、「オークションへの参入者は自分で参入費用を負担するので、参入が過小か過大かは、参入による利潤のどれほどが個々の参入者に帰属するかという問題に帰着する」と述べた上で、
(1)ある種の私的価値モデルにおいては、参入の純効果はゼロである。
(2)対称モデルでは、入札者とオークション管理者が受け取る価値の総和は入札者間の凹関数であり、より正確には(入札者数が整数でなければならないことと同じくらいの精度で)2位価格オークションにおける最終参入者が社会構成にもたらす貢献の期待値は、参入者数の減少関数である。
の2つの結論を述べています。
　さらに、入札者の事前許可制について、「競争を制限することは売り手に損害を与え、効率性を損なうだけのように見える」が、「売り手がそれを望む」ことについて、
(1)何人かの入札者だけを招くことで、各人に参加の動機を与えることができ、参加の不確実性を減らし、より効率的な結果を得られる。
(2)入札者がデータ･ルームを利用できる前に事前認可を行うことは、事業の機密情報の安全性を高める。
(3)参加が確率的でないときですら、参加を決めた入札者の評価額が相対的に低く、彼らの参加が評価額の高い入札者の参加を阻むことがありえる。
等の答えを挙げています。
　第2部「複数財のオークション」では、第1部で分析した1種類の財のみが売りに出されるオークションの分析では、「財が異質であるか、あるいは入札者が複数単位を需要する場合には、新しい問題が生じる」として、
(1)マッチング問題：財が同一種類のものでないとき、誰がその財を得るか。
(2)入札者が財を複数単位需要するときには、市場支配力が重要になる。
(3)オークションを競争価格を探すメカニズムとして捉えることは、各入札者がたった1つの財しか欲しないときにはもっともらしいのだが、入札者が複数単位欲するときには問題を引き起こす。
(4)オークションの応用は、多くの場合、オークション管理者が直面する複雑な制約を伴なう。
(5)上記のような複雑な状況におけるオークションを考察することは、最適な入札を仮定する理論にとって難題である。
の5点を挙げた上で、複数財の問題を分析する理論が、1種類の財のみを扱う理論ほど発展していないことを認めています。
　第7章「一律価格オークション」では、オークションに関心が寄せられるきっかけとなった1994年以降の周波数オークションについて、「事実上そのほとんどが、オークションのルール自体が同一財に対して同一の価格を指定するか、あるいはオークションのルールがある種の裁定を促して、実質上均一の価格を達成させる、一律価格オークション(uniform price auction)であった」と述べています。
　そして、一律価格オークションの例として、最も簡単な形である「一律価格封印オークション」や、連邦通信委員会(FCC)が1994年に導入した「同時競り上げオークション(simultaneous ascending auction)」とその別形としての「時計オークション(clock auction)」の3種類のオークションについて解説しています。
　第8章「パッケージ・オークションと組み合わせ入札」では、「入札者自身にパッケージを選択させるようなオークションの設計に焦点を当てる」として、これら「パッケージ・オークション(package auction)――組み合わせオークション(combinatorial auction)とも呼ばれる――の設計は、売りに出される財の数が増加するに連れ、オークションが急速に複雑になりうることもあり、過去あまり使用されてこなかった」と述べ、「単に落札者を識別すること、つまり落札者決定問題(winner determination problem)ですら、コンピュータ・サイエンスでの最新のテーマとなっているほど、難しい計算問題である」と述べています。
　そして、「入札者が入札対象となるパッケージをより自由に指定できるようなオークションの設計」として、ロンドン交通当局が、「バス･ルートのすべての組み合わせに対して入札を認めるような封印入札を用いて、民間業者からのバス・サービスの調達を行なった」ことや、チリ政府が、「国の諸地域で学校給食を供給する企業を選ぶために、組み合わせオークションを段階的に実施した」ことなどを紹介しています。
　著者は、「パッケージ・オークションが最も魅力的であるのは、入札者がある資産は落札できたものの、それに必要な補完的資産は入手できなかった、という問題を避けるのに役立つ場合、つまり代替財条件が満たされないかもしれないときである」としながらも、「まさにこれらの条件の下で、ヴィックリー・オークションにも実用的なメカニズムとして重大な、おそらくは、致命的となりうる欠点があることが明らかにされた」と述べています。
　本書は、オークション理論を専門に研究したい人にとっては必読書であることはもちろん、オークション理論の奥深さを探検してみたい人にとってもお奨めの一冊です。


■ 個人的な視点から

　かつてはオークションは、魚や野菜、花などの市場や公共事業の入札など、一部のプロのためのものでしたが、オークションにかかわること自体は、ヤフオクなどのオンライン・オークションの普及によって身近になったのではないかと思います。
　本書でも、オンライン・オークションで締切り間近に入札する「スナイピング（狙い撃ち）」が紹介されていますが、ヤフオクで得をしたいから、という理由で本書を読むのはあまりお奨めできません。


■ どんな人にオススメ？

・オークション理論の世界を探検したい人。


■ 関連しそうな本

　ポール・ミルグロム, ジョン・ロバーツ (著), 奥野 正寛, 伊藤 秀史, 今井 晴雄, 八木 甫（翻訳）　『組織の経済学』　2005年01月24日
　横尾 真　『オークション理論の基礎―ゲーム理論と情報科学の先端領域』
　ジョン・マクミラン (著), 瀧澤 弘和, 木村 友二 (翻訳)　『市場を創る―バザールからネット取引まで』　2007年10月17日