火曜日, 8月 29, 2017

谷山予想(谷山 豊,Jacobi多様体と数体)


Jacobian Varieties and Number Fields

谷山 豊,Jacobi多様体と数体 1955(1956)

モズル=モジュール

 1)二三の事情のため,此の題名は内容にそぐわないものになった。妥当な題名は,'Abel多様体と数体'であろう。





谷山 豊,Jacobi多様体と数体1)
§1.緒言.
 虚2次体上の類体はすべて,虚数乗法を持つ楕円函数のモズルと,周期の等分値とにより生成され得るといぅのが,古典的な虚数乗法論の主要な結果である。所で,この理論の,より高次の体への一般化を試みたものとしては,これまで,Hecke[2],[3]の理論があるにすぎない.ここでは,此等の理論を特別の場合として含む,一般的な虚数乗法論を作ることを目標とする.
 一方,代数体上定義された代数曲線のζ―函数に対し,Hasseは, それが全複素平面で右理型で, 普通の型の函数等式を満すであろうと予想した.この予想は, ᓨ+みυπ+σ=0とぃう形の方程式で定義される曲線に対してはWeil[S]により,虚数乗法を持つ楕円曲線に対してはDeuring[1]により,それぞれ肯定的に解決された。ここでは,上の理論の応用として虚数乗法を十分多く持つ曲線及びAbel多様体に対し,此の予想を証明する.

§2.準備2).
 Aをg次元Abel多様体,2(A)をAのendomorphismの環,γO(A)を,以(A)の係数環の,有理数体ヘの拡大により得られるalgebraとする.以(A)の元は,スの1次第1種微分の空間の1次変換を引き起すから,此の空間の基底ωl,…。,ωクを用いて,2(4)を逆表現することが出来る。S(″),″(以(4)を,此の逆表現の行夕」とする。今以上すべてのものが,有限次代数体力の_Lで定義されているとする.Tをたの素イデアルとし,此等のものをmod.Bでreduceして得られるものを,対応する記号の上に~をつ|すて表わすことにする。補助定理1.ほとんどすべての(つまり有限個を除く)躊に対し,AはAbel多様体で,ル→′ιは,ア(■)から財(4)の中への同型写像であり,叉あ1,…,筋はスの1次第1種微分の空間の基底で,それによる'(4)の逆表現をS(μ)と書けば,S(μ)=S(″).ナヒの補助定理の中で除かれた素因子Tを,スの例外素因子という。以後mOd躊で考えることは,例外でない雫に限ることにし, 一々断らない.`ほとんどすべての'という形容詞も省略することがある.仮定1.以後,以(4)が,2g次の代数体κのOrderと同型な環Rを含むと仮定する。κを含む最小の正規体をκと書く.Rのすべての元に対し,S(μ)は,かκにおいて,同時に対角形に変換される。そのとき,
S(π)=()
と書ける。σtはκから複素数体の中への同型写像で


特にσlは恒等写像とする。以後ルとルiを同一視する。
 補助定理2.σ。を,κの複素共軌同型とすれば,σl,・・・,脅,輌σl,…,σoのは,κから複素数体の中への,2g個の同型写像すべてである.それ故とくに,スが単純ならば,κは,総実なるg次の体るの,総虚な2次の拡大である。
 系. 力がκを含むとき,ののルヘの接続の一つを再びσじで表すことにする.そのとき力の数βに対して,Nんκ(βσ『1・…βσ」・)のすべての共軌は,その絶対rlrlが(Nβ)1‐2でぁる。ここでNは絶対ノルムを表わす.

§3.Hasse のζ-函数.
 先ず,RがKのprincipal orderであるとする。Rのイデアルαに対し,αα=0,vαξαを満すИの点αを,スのα分点という.αが,αより本当に大きいどんなイデアルうに対しても6分点でないとき,本来のα分点という.。分点はN(α)個,本来のα分点は9(α)個ある。ただし,←)はαのEuler函数.それ故,αを本来のα分点とするとき,σを,ル(α)ルの同型写像とすれば,ασ=ルσαなる″σcRがある。μσを含むmOd.αでの剰余類を〈σ〉と書けば,〈σ)はσによリー意に定まり,。と素な剰余類である.力はすべてのルの定義体だから, ασr=(μσα)7=砒σμ7α・それ故,σ→〈のは,力(α)/力のGa10is群から,mOd.αの素剰余類群の中ヘの同型写像を与える.特に,ル(のルはAbel拡大である.さて,“をスの力上のgeneric Point(以下G.P.と略す)とする.Tをルの素因子とする。そのとき,あ→あN"セまЙのendomorphismであるが, 仮定1より,それは,Rの中に逆像π澪を有する。(″N"は,この座標のN雫乗を座標を持つ点を表わす.)又,例外素因子と素なたのイデアルお=雫1・・椰″に対しπぉ≡π澪.…寄rと定義する。仮定2.力⊃κ(§3のみ).補助定理3.3)(πぉ)=Nκ K(8σ「1…6σア・).今,上に考えたイデアル●が,Kの判別式の21倍と素であるとする。適当な自然数Fを取れば, ル(α)は, 々上の,Flを法とするStrahl類体に含まれる。ここでFがαで害」れるとしてよい。σ(T)をた(α)ルでの,TのFropenius自己同型とすれば,ασ(零)=夕N鰺=″"夕だから,π摯はくσ(零)〉に属する。 故に, σ(8)をル(α)ルでの,おのArtin記号とすれば,πsc〈グ(8)〉.特に,ルの数βに対し,β≡l mOd.Fならば,π(め=l mOdα.それ故補助定理2の系と補助定理3とより,αについての仮定を使えヤボ,此のようなβに対しては,π(|)=Nκ′K(βσ『・・…βσテ・).それ故,χ(8)=πぉ/lπ財Iは力の量指標である。
 さて,スの,Hasseのζ「函数は,例外でないTに対する4の合同ζ=函数の無限積として定義される。所が後者は,Йの,7上ノ次の点の個数2弯から計算さ′れる4)。所がⅣ′は,スの,をも-1分点の個数, 故に219乃=N(π毛-1).以上をまとめて,定理1.仮定1,2の下に,スの力上のζ―函数ζИ(S)は,次のように表わせる。ζИ(S)=0(S)二`ュ′(S―誉,χρら・・χQμ)~Dμここでχは上に定義された量指標,ρ`はκの2σ個の同型写像で,積は,一定のルに対しては,ρtの,″項の組合せすべてにわたる.Lは力のZ―函数,0(S)は,簡単な形の右理函数で,例外素因子に由来する5).系.Cを,右限次代数体″上定義された代数曲線で,そのJacobi多様体が,上の定理の条件を満すものとする。そのときCのζ―函数に対しても,Hasseの予想が成立つ。即ちそれは,量指標のニー函数により表せる。

§4.不分岐拡大体の構成.
 仮定3.以後Rはκのprincipal orderとする。πのGalois群をGとし,κに対応するその部分群iを″とする.二Zσ`σ=湛鳳σじを満すσ全体の作′る,Gの部分群を,G*とする.K*を,G*に対応する, πの部分体とする。そのとき次の形の分解が成立|:つ:唐ル`=進r,G*・今,rのイデアル`に対■|メ(b)=Ь7『l..b7『1とぉけば'(6)はκのイデアルにな|る.そのときたの素イデアルTで, NたK*三T=ゃ′:なるものに対し,(π霧)=Γ(p)′.仮定4 κ*の,ほとんどすべての1次素イデアル:|に対し,Γ(p)は,Kの,どんな真部分体のイデアルにもならない。

補助定理4.以上の仮定が成立てば,4は単純である。又K*の1次の,の, んにおける素因子恥に対し,λも単純である.したがって2(4),γ(4)は共にRに同型である.
補助定理5.αをんの上のG.P。とする。Rのイデアルαに対し,4から,或るAbel多様体Bへの準同型′αで,    ん(スα“)=∪α(.ん(αの を満すものがある.此のスα,Bは同型を除き一意に定り,ん上で定義され得る。そして,スαA筈′6Aは,Kでα~6なること,即ち,α=6(β)なるKの数βがあることと同等である。ゃを,K*の1次素イデアル,Tをπにおけるその素因子とすれば, 明かに π(夕)=π(々む)グ).ただし夕=坤。ここでB〓λαスとして,2(ス)と班C)との同型対応を,λα lι=ル*λαなる″c'(4)とルホC)(3)とを|対応させることにより固定する.そのとき,以(4)の‐イJ/Lかゎ0こν又疋,0・σVよ, “ヽ4ノ″`つ“ヽユノ `ァ:■11.型″:ル→″Jを引き起す.故に,′→ル*は,以いつ:の自己同型である。所が,補助定理6.仮定4の下に,班(■)の自己同型Σ`対し,表現S(″」)とS(μ)とが同じ特性根を持てば、


Σは実|ま恒等置換である.
 系 S(μつがS(μ)と同じ特性根を持てば,ルσ=″*
 ここで,解析的理論を援用しなければならないEndo―mprphism環がRと同型で,同一の表現S(μ)を許容するような,互いに同型でないAbel多様体をス1,一,Иルとすれば,Riemann行列の理論より,Иtの間には,上への準同型が存在し,さらに,4`=λαμと取れる。今此等の中で,単囚子がすべて1であるRiemann形式を持つものを41,・・・,Иん とすれば,これらも,その中の一つ4により,4t=λαι∠と書けるが,そのときαιはκのイデアルで,Kの,指数2の実体ffo(補助定理2を見よ)へのノルムαじα,が,るの狭い意味での主類に属するものの作る,Kのイデアル類すべてにわたる。此のような類の作る群を0と書けば,Cの位類は, それ故λ′である.
 簡単のため力/κ卜を正規とし, そのGalois群を0とする。σ`σに対し,以(Иσ)はRと同型で,又Иσもすべての単因子1なるRiemann形式を持つから,Иσ笙λ。(σ)4と書け,此れにより,α(σ)を含むイデアル類[σ]が一意に定まる。勿論[σ]〔C.又τCOに対し,∠σ72λ:(σ)λ。(7)ス=λ。(σ)軌α(7)ス・所が,7は, K*の_ヒの自己同型だからS(メι7)はs(″)と同じ固有値を持つ.故に補助定理6の系より″7=μ*,従つてα(σ)7=α(σ)'(,結局4σ7笙λ。(7)●(σ′.故にσ→[σ]は,0からCの中への準同型写像である.そのkernelをつとし,0に対応する,たの部分体をκとすれば,K/K*のGalois群ヤまCの部分群と同型,故にAbel群である.″をスの力上のG.P.とする.pをκ卜の1次素イデアルとし,σ(p)を,つの,κ″←でのFrobenius自己同型とすれば,pの,λでの素因子TでreductiOnして,ル(″く'))=力(■2)=々(λεも)χ),即ちAくや)主λ′、)ス2(4)笙R笙'(4)(補助定理4)より,これから,「(p)([σ(p)].特にσ(や)F=1はF(p)ノ~1と同等.それ故,rlのイデナル3で,「(b)がKで単項イデア″になるものすべての作る群をIとすれば,、
 定理2.κは,ィデアル群Iに対する,で1の類体である。
 特に,Cの各類が,「(b)なる形のイデアルで代表されるときは,[κi r]=″′.此れは,`類方程式'の既約性を意味する。

 §5.分点の体における分解法則
 k*のイデアル数の系を一つ選び6), ィデァルbを表すイデアル数を0と書く Γ(0)=倉↑1・・…・07『・はbにより1の幕根因子を除き定まり,従つて,本質的には,イデアル数の系の選び方によらない.絶対値を比べれば,″澪=eT(あ)メがわかる。ただし躊は々の素イデアル,Nんκx躊=ゃ′,p=(あ),又ε′は1の幕根である.
 κに含まれる1の寡根の集合をEと書き, スの点αに対し,Eα=Σ acF(εα)なる,0次元のcycleを定義する。そして力(α)0を,みを含み,その上でEαが有理的になる最小の体とする.
 αをκのイデアル,クを,4の,本来のα分点とする.rの素イデアルpがヵでノ次に分解するとする.`一方/0を合同式ε′′Γ(あ)/O=e mod.αが成立つ最小の自然数とする。ここにィ′は1の纂根,ε(E.今Fを,/とんとの最小公倍数とすれば,π[う′=ε′′′/r・(£)・=ε2(α),CPC F,だから,Eαはπぉ で不変,故にEαは万上高々F//次,故にえ業上高々F次である.LうのK*_Lの次教は,Tの力(α)。ルでの分解の次数に等しいそれを島とすれば,それ故Fo≦F.一方定義より,発ぷイタ=δZなる。CEがあるから,πぷ// c(α).Л口ちε′Γ(含)島≡ε(α)又FOが/の倍数であることは明かだからF≦FO,故にF=FO.故に,ε′Γ(β)=ε ttOd α,εとEを満すイデアル(β)の作る群をムと書けば,
 定理3 カ(α)。は,々と,イデアル群ムに対する,κネの類体との合成体である.
 系.4がκ上で定義されていれば,κ(α)oは,■に対する,pの類体である.

 1)二三の事情のため,此の題名は内容にそぐわないものになった。妥当な題名は,'Abel多様体と数体'であろう。
 2)以下に現われる概念の定義,主要性質についてはWeil[6],Shimura[5],Hecke[4]その他を見られたい.
 3)補助定理2は此の補助定理を使つて証明される.従つて此れを先に書いた方が良いかもしれない。
 4)Weil[7].
 5)Rがprincipal orderでないときは,principalorderのときに帰着される.
 6)定義はHecke[4].       
 ‐文   献
[1l M Deuring, Die Zetafunktionen einer algebraischen Kurven vom Geschiecht Eins, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen,(1953), 85-94

[2] R. Hecke, Hohere Modulfunktionen und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie, Math. Ann., 7161912. j, 1-37.

[3] E. Hecke, Uber die Konstruktion relativ ABEL. scher Zahkiirper durch Modulfunktionen von zwei Variablen, Math. Ann., 74 (1913), 465-510.

[4] E. Hecke, Eine neue Art voir Tetafunktionen und ihre Beziehung zur Verteilung der Primzahlen, II, Math. Z.,6 (1920).11-51

[5]G. ShimuraReduction of algebraic varieties with respect to a discrete valuation of the basic field, Amer. J. Math. 77 (1955), 134- 176. 

[6]  A. Weil, Varietes abeliennes et courbes algebriques, Paris, 1948.

[7] A. Weil, Number of solutions of equations in finite fields, Enil. Amer. Math. Soc., 55 (1919), 497-508.

[8] A. Weil, Jacobi sums as 'Grossencharaktere', Trans. Amer. Math. Soc., 73 (1952), 487-495.

(本研究は文部省研究助成金(昭29年)によるものである)

文献

[1] M.Deuring, Die Zetafunktionen einer algebraischen.

Kurven vom Geschlecht Eins, Nachr. Akad. Wiss. Got-

tingen, (1953), 85-94.

[2] R. Hecke, Hohere Modulfunktionen und ihre Anwen-

dung auf die Zahlentheorie, Math. Ann., 7161912. j, 1-37.

[3] E. Hecke, Uber die Konstruktion relativ ABEL. scher

Zahkiirper durch Modulfunktionen von zwei Variablen,

Math. Ann., 74 (1913), 465-510.

[4] E. Hecke, Eine neue Art voir Tetafunktionen und ihre

Beziehung zur Verteilung der Primzahlen, II, Math. Z.,

  6 (1920).11-51

[5] G. Shimura, Reduction of algebraic varieties wih re-

spect to a discrete valuation of the basic field, Amer. J.

Math., 77 (1955) 134-176.

[6]  A. Weil, Varietes abeliennes et courbes algebriques,

Paris, 1948.

[7] A. Weil, Number of solutions of equations in finite

fields, Enil. Amer. Math. Soc., 55 (1919), 497-508.

[8] A. Weil, Jacobi sums as 'Grossencharaktere', Trans.

Amer. Math. Soc., 73 (1952), 487-495.

(本研究は文部省研究助成金(昭29年)によるもので

ある)






A.Weil,虚数乗法の拡張力oをt。lally real■eld,[力。:@]=πとする.Oは


抽象代数学の分野である環論におけるイデアルidealIdeal)はの特別な部分集合である。整数全体の成す環における、偶数全体の成す集合や 3 の倍数全体の成す集合などの持つ性質を一般化したもので、その部分集合に属する任意の元の和と差に関して閉じていて、なおかつ環の任意の元を掛けることについても閉じているものをイデアルという。

整数の場合であれば、イデアルと非負整数とは一対一に対応する。即ち整数環 Z の任意のイデアルは、それぞれただ一つの整数の倍数すべてからなる主イデアルになる。しかしそれ以外の一般の環においてはイデアルと環の元とは全く異なるものを指しうるもので、整数のある種の性質を一般の環に対して一般化する際に、環の元を考えるよりもそのイデアルを考えるほうが自然であるということがある。例えば、環の素イデアル素数の環における対応物であり、中国の剰余定理もイデアルに対するものに一般化することができる。素因数分解の一意性デデキント環のイデアルに対応するものが存在し、数論において重要な役割を持つ。

イデアルは整数の算術から定義される合同算術の方法と同様の剰余環(商環)の構成にも用いられる、この点において群論剰余群(商群)の構成に用いられる正規部分群と同様のものと理解することができる。

順序集合に対する順序イデアル英語版の概念は環論におけるこのイデアルの概念に由来する。またイデアルの概念を一般化して分数イデアルの概念を考えることもでき、それとの区別のためここで扱う通常のイデアルは整イデアルと呼ばれることもある。


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https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E6%BA%96%E5%90%8C%E5%9E%8B

数学における自己準同型(じこじゅんどうけい、endomorphism)とは、ある数学的対象からそれ自身への(あるいは準同型)のことを言う。例えば、あるベクトル空間 V の自己準同型は、線型写像 ƒ: V → Vであり、ある G の自己準同型は、群準同型 ƒ: G → G である。一般に、任意のに対して自己準同型を議論することが可能である。集合の圏において、自己準同型はある集合 S からそれ自身への函数である。

任意の圏において、X の任意の二つの自己準同型写像の合成は再び X の自己準同型である。X のすべての自己準同型の集合はモノイドを構成し、それは End(X) と表記される(あるいは、圏 C を強調するために EndC(X) と表記される)。

目次

自己同型編集

X の可逆な自己準同型は、自己同型と呼ばれる。すべての自己同型の集合は、構造を備える End(X) の部分集合であり、X の自己同型群と呼ばれ、Aut(X) と表記される。次の図で、矢印は包含関係を表す:

自己同型\Rightarrow 同型
\Downarrow \Downarrow
自己準同型\Rightarrow 準同型

自己準同型環編集

あるアーベル群 A の自己準同型写像は、次のルールに従って足し合わされる:(ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a)。この加法の下で、アーベル群の自己準同型写像は自己準同型環)を構成する。例えば、Zn の自己準同型写像の集合は、成分が整数であるような全ての n × n 行列からなる環である。ベクトル空間あるいは環上の加群の自己準同型写像もまた、前加法圏内の任意の対象の自己準同型写像と同様に、環を構成する。非アーベル群の自己準同型写像は、近環英語版として知られる代数的構造を生成する。乗法単位元をもつすべての環は、その正則加群の自己準同型環であり、したがってあるアーベル群の自己準同型環の部分環である[1]。しかし、どんなアーベル群の自己準同型環でもないような環も存在する。

作用素論編集

特にベクトル空間のような任意の具象圏英語版において、自己準同型はある集合からそれ自身への写像であり、その集合上の単項演算子として解釈されることもある。それは元に対して作用し、元の軌道の概念の定義を許すものである。

手近な圏に対して定義される追加構造(トポロジー距離など)に依存して、そのような作用素は連続性有界性などの性質を持つこともある。その点に関する詳細は作用素論に関係する記事を参照されたい。

自己函数編集

自己函数(endofunction)とは、その定義域余域と等しい函数のことを言う。準同型な自己函数は、自己準同型である。

S を任意の集合とする。S 上の自己函数の中に、S と、各 x\in S に関連する与えられた定数 c\in S の置換が存在する。S のすべての置換は、その定義域と等しい余域を持ち、それは可逆な双射である。S が 1 より多い元を持つなら、S 上の定数函数は、その定義域の真部分集合であるような余域を持ち、双射ではない(また可逆でもない)。各自然数 n に対する n/2 の床函数に対応する函数は、余域と定義が等しいが、可逆ではない。

有限の自己函数は、有向擬森英語版と等しい。大きさ n の集合に対し、その集合上には nn個の自己函数が存在する。

特定の双射自己函数は、対合、すなわちその逆と一致する函数である。

関連項目編集

注釈編集

  1. ^ Jacobson (2009), p. 162, Theorem 3.2.

参考文献編集

外部リンク編集

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英語版は以下、

谷山豊全集  
版情報   増補版  
著者名等  谷山豊/著  
著者名等  杉浦光夫/〔ほか〕編  
 出版者   日本評論社  
出版年   1994.10  
大きさ等  27cm 369p  
注記    谷山豊著作目録・年譜:p359~365  
NDC分類 410.4  
件名    数学 
要旨   
この全集は、不幸にも若くして亡くなった谷山豊君の業績とその人柄を記念するため家族 及び友人其他生前故人と親しかった人々を中心として編まれたものである。 
 目次   
第1部 PART1(Jacobian Varieties and Number  Fields;Jacobian Varieties and Number Fie lds ほか)
第2部 PART2(ABEL函数体ノn‐分割ニツイテ;日本数学会 講演アブストラクト ほか)
第3部 PART3(書簡;遺書)
第4部 PART4 (新人紹介Peter Roquette;A.Weil「ゼータ函数の育成について」  ほか)
第5部 PART5(谷山豊の生涯;谷山豊著作目録;年譜)

  ISBN等 4-535-78209-1  書誌番号  3-0194071407