月曜日, 8月 31, 2015

フロー経済図:改訂版

 
                 ( 経済学リンク::::::::::

NAMs出版プロジェクト: フロー経済図:改訂版

http://nam-students.blogspot.jp/2015/08/blog-post_88.html(本頁)
NAMs出版プロジェクト: フローと図式
http://nam-students.blogspot.jp/2015/06/blog-post_3.html
NAMs出版プロジェクト: フロー循環図:メモ
http://nam-students.blogspot.jp/2015/05/blog-post_12.html
NAMs出版プロジェクト: お金の流れ
http://nam-students.blogspot.jp/2015/05/blog-post_22.html

上昇(インフレ)貨幣優勢← 利 子 率 →財優勢(デフレ)下降

       財の需要 財・サービス 財の供給 
 お金の流れ------➡︎D市場S⬅︎--------- 
  |支出(=GDP) E_\/    販売された財・|
  |        均衡点/\       サービス|
  |  -------⬅︎S  D➡︎-------  |
  | |購入された    ⬇︎⬆︎       収入| |
  | |財・サービス 消費税|補助金 (=GDP) |
  | |         |政府購入    産出| |
  | | ⬅︎生活保護-- ||         | |
  ⬆︎ ⬇︎(⬅︎短期国債-➡︎)|| ---助成金➡︎ ⬇︎ ⬆︎
  \ / ---所得税➡︎【政府】⬅︎保険・法人税 \ /
  家\計        公的貯蓄        企\業 
  / \ ⬅︎利子・貸付け ⬇︎  ----融資➡︎ / \
  ⬇︎ ⬆︎ -預金・利息➡︎【銀行】⬅︎利息・取付け ⬆︎ ⬇︎
  | |                    | |
  | |                 生産へ| |
  | (GDP=)所得 
生産要素     の投入| |
  |  -------⬅︎D
市場S➡︎-------  |
  |         E_\/均衡点   賃金・地代|
  |労働・土地・資本   /\   ・利潤(=GDP)
   ---------➡︎S  D⬅︎---------
      労働の供給        労働の需要
              
          家計       企業

    財    買い手      売り手

    労働力  売り手      買い手


上記のフロー経済図は、四つの要素がそれぞれカントのカテゴリーに対応する。
需給モデルが量、効用関数が質に当てはまる。関係様相はそれらの発展したもの。

  量
質  様相
 関係

なお、旧フロー図の中央がT字になっているが 、これは本来十字になっていなければならない。
つまり、正社員雇用を援助するなど雇用面への政府、金融面での銀行の援助が常態化していなければ全体としては不十分なのだ。
企業買収海外貿易に関しては枠外にあると考えることも出来る。


             生産要素        
       労働の需要  市場  労働の供給  
 お金の流れ------➡︎D  S⬅︎--------- 
  |賃金・地代・利潤 E_\/   労働・土地・資本|
  |(=GDP)  均衡点/\           |
  |  -------⬅︎S  D➡︎-------  |
  | |生産へ         所得(=GDP)| |
  | |の投入                 | |
  ⬆︎ ⬇︎                    ⬇︎ ⬆︎
  \ /                    \ /
  企\業                    家\計 
  / \                    / \
  ⬇︎ ⬆︎                    ⬆︎ ⬇︎
  | |(GDP=) 財・サービス  購入された| |
  | | 収入      市場   財・サービス| |
  |  -------⬅︎D  S➡︎-------  |
  |販売された財   E_\/均衡点        |
  |・サービス      /\   支出(=GDP)|
   ---------➡︎S  D⬅︎---------
        財の供給      財の需要
  財優勢(デフレ)下降←利子率→上昇(インフレ)貨幣優勢

二つの需要供給モデルが上下に出来る。限界効用関数(生産力と消費(効用))も左右で二つ出来る(それもさらに限界効用と2財モデルとに分けられるが)。公的機構をT字型(無論別パターンもある)に追加し得る。
株式市場及び企業買収は別に考える。

三面等価の原則:(1)生産面①②③、(2)支出面⑥、(3)分配面(所得面)④から見ても国内再生産(GDP)は同じ値になることを示すマクロ経済学上の原則。

       労働の需要      労働の供給  
 お金の流れ------➡︎D  S⬅︎--------- 
  |賃金・地代・利潤 E_\/   労働・土地・資本|
  |(=GDP)  均衡点/\           |
  |  -------⬅︎S  D➡︎-------  |
  | |生産へ     生産要素     所得 | |
  | |の投入      市場   (=GDP)| |
  | |                    | |
  ⬆︎ ⬇︎ 利息・取付け➡︎【銀行】⬅︎預金・利息- ⬇︎ ⬆︎
  \ / ⬅︎融資----  ⬆︎ 利子・貸付け➡︎ \ /
  企\業        公的貯蓄        家\計 
  / \ 保険・法人税➡︎【政府】⬅︎所得税--- / \
  ⬇︎ ⬆︎ ⬅︎助成金--- ||(⬅︎-短期国債➡︎)⬆︎ ⬇︎
  | |         || --生活保護➡︎ | |
  | |産出    政府購入|         | |
  | |      補助金|消費税  購入された| |
  | (GDP=)収入  ⬇︎⬆︎   財・サービス| |
  |  -------⬅︎D  S➡︎-------  |
  |販売された財   E_\/均衡点        |
  |・サービス      /\    支出(=GDP)
   ---------➡︎S  D⬅︎---------
       財の供給 財・サービス 財の需要
              市場
  財優勢(デフレ)下降←利子率→上昇(インフレ)貨幣優勢


DSGEモデルの様式化された説明(:=摩擦、[]=ショック)

   [TFP(全要素生産性)ショック]  [投資ショック]
         ____⬇︎___会社__⬇︎_____
        |    ③       ②     |
        |  【商品  -商品→【起業家/  |
        |   生産者】←資本- 資本家】  |
        |    ↗︎/  :   ↖︎     |
        |給与↙︎//   調整費  \    |
        |  // と可変資本の稼働 \   |
  [労働供給 |_//____________\__|
   ショック] //              \[金利差ショック]
     ④⬇︎ /消費財  ⬅︎[値上げ       \ ⬇︎①
      労働/:価格剛性 ⑥ショック]      貸付、融資
 :賃金剛性/↙︎↗︎代金                 \:信用摩擦
     【家計】-------預金--------→【銀行】
       ↖︎ \
     短期国債 税 
      ⬆︎⑤ \ ↘︎
 [政策ショック] 【政府】


       企業の需要 M&A市場 企業の供給
 お金の流れ------➡︎D  S⬅︎---------
  |賃金・地代・利潤 E_\/   労働・土地・資本|
  |(=GDP)  均衡点/\           |
  |  -------⬅︎S  D➡︎-------  |
  | | 企業の買収        企業の売却 | |
  | |        株式市場        | |
  |  ---------\/---------  |
  ⬆︎  ---------/\---------  ⬆︎ 
  | |                    | |
  | |  労働の需要      労働の供給  | |
  ➡︎ お金の流れ---➡︎D④ S⬅︎-------  ⬅︎
  |賃金・地代・利潤 E_\/   労働・土地・資本|
  |(=GDP)  均衡点/\           |
  |  -------⬅︎S  D➡︎-------  |
  | |生産へ     生産要素     所得 | |
  | |の投入      市場   (=GDP)| |
  | |                    | |
  ⬆︎ ⬇︎①利息・取付け➡︎【銀行】⬅︎預金・利息- ⬇︎ ⬆︎
  \ / ⬅︎融資----  ⬆︎ 利子・貸付け➡︎ \ /
 ③企\業②       公的貯蓄        家\計 
  / \ 保険・法人税➡︎【政府】⬅︎所得税--- / \
  ⬇︎ ⬆︎ ⬅︎助成金--- || --生活保護➡︎ ⬆︎ ⬇︎
  | |         ||(⬅︎短期国債⑤➡︎)| |
  | |      政府購入|         | |
  | |      補助金|消費税  購入された| |
  | |収入(=GDP) ⬇︎⬆︎   財・サービス| |
  |  -------⬅︎D  S➡︎-------  |
  |販売された財   E_\/均衡点        |
  |・サービス      /\   支出(=GDP)|
   ---------➡︎S ⑥D⬅︎---------
       財の供給 財・サービス 財の需要
              市場
  財優勢(デフレ)下降←利子率→上昇(インフレ)貨幣優勢

    トービンのq
       x
   ケインズ雇用理論
イノベーション ジニ係数
    エンゲル係数

経済表=フロー循環図:http://yojiseki.exblog.jp/21210035/
(マンキュー経済学及び、西村和雄『まんがDE入門経済学』3頁参照)

以下、個別解説。

需要-供給モデル(需給モデル)
ジュヨウ-キョウキュウモデルdemand-supply model :

あるひとつの財(物品)・サービスの市場に注目した分析を部分均衡分析、すべての市場を同時に分析するものを一般均衡分析と呼び、対照的に扱われる。

価|
格|
 |需要     供給
 |  \  /
 |   \/←均衡点
 |   /\     
 |  /  \ 
 |    
0|____________
         数量

価|
格|
 |需要曲線  供給曲線
 |  \  /
均衡___\/←均衡点
価格   /\     
 | _/ |\_
 |    |
 |____|________
0   均衡取引量    数量 


価| 
格|\      /供給曲線
 | \    /
 | a\  /
均衡___\/←均衡点
価格   /\     
 | b/ |\
 | /  | \
 |/   |  \需要曲線
 |____|________
0   均衡取引量    数量

a=消費者余剰*、b生産者余剰
http://kinokopower.seesaa.net/article/118709583.html

*ジュール・デュピュイ発案(小田中直樹2003参照) 


水とダイヤモンドのパラドックス:

価格
 | -_    /ダイヤモンドの供給曲線
 | \  ̄-_/
ダイヤの\  / ̄-_
価格___\/E1   ̄-_        _- ̄ 水の供給曲線
 |   /\        ̄-_  _- ̄
水の__/__\_______ _- ̄_E2
価格 /    \    _- ̄     ̄-_
 |       \_- ̄           ̄-_水の需要曲線
 |     _- ̄\                ̄-_
 |  _- ̄    ダイヤモンドの需要曲線
 |___________________________
                          数量 
(供給量を固定=供給線を垂直にした場合)一般に水の需要の方がダイヤモンドより価格弾力性が大きい。
http://nam-students.blogspot.jp/2015/06/blog-post_2.html
(ただし、水とダイヤモンド(逆?)のパラドックスは需給曲線ではなく、限界効用・効用関数で説明した方がいい。)

価格弾力性:メモ
http://nam-students.blogspot.jp/2015/08/blog-post_27.html
「所得弾力性が1より大きければ、エンゲル係数は所得の増加と共に上昇する。」
「需要の所得弾力性が1より大きい正常財を奢侈財(luxury)、需要の所得弾力性が1より小さい正常財を必需財(necessity)と定義する」
(奥野正寛『ミクロ経済学』2008年初版51頁)


ワルラス安定とマーシャル安定:
http://homepage1.nifty.com/gujyo-economic-res/micro.files/w-antei.htm

P|
 |
 |D      S
 |  \ ⬇︎/
 |   \/
 |   /\     
 |S / ⬆︎\ D
 |    
0|____________
          Q

 P|
  |D      S
P0|_\a__b/
  |  \ ⬇︎/
  |   \/e
  |   /\     
P1|_c/_⬆︎\d 
  |S/    \D
 0|____________
          Q

上図の場合で考えてみよう。価格がP0の水準にあるとき、abだけの超過供給が生じているために均衡点eに向かって価格は下落します。
 一方、価格がP1のときにはcdだけ超過需要の存在のために価格はeに向かって上昇します。
 このように価格の変動を通して、需給が均衡することをワルラス安定といいいます。均衡への収束が生じないケースはこれに反してワルラス不安定と呼ばれます。

P|
 |
 |D      S
 |  \  /
 |  ➡︎\/⬅︎
 |   /\     
 |S /  \ D
 |    
0|____________
          Q

 P|
  |D      S
P0| \a  c/
  |  \e /
  | ➡︎|\/|⬅︎
  |  |/\|     
P1| b/  \d
  |S/|  |\D
 0|__|__|________
    Q0  Q1    Q

上図で取引量がQ0の水準にあるときには需要価格PDが供給価格PSをabだけ上回っているために超過需要価格が生じていることから、取引量は均衡eの方向に移動して需給均衡が成立します。
 一方、取引量がQ1の水準にあるときにはcdだけ超過需要価格が発生していることから、取引量はeに向かって減少し需給均衡が成立します。
 このように、取引量(数量)の調整によって、市場均衡が成立することをマーシャル安定といい、数量調整が需給を均衡させる方向に作用しない場合にはマーシャル不安定と呼びます。 


              
効用関数、限界効用

効用の大きさの合計
 |       
 |           o   o
 |        o
 |      o  
 |    o
 |   o  
 |  o  
 | o
 | o  
 |________________財の量
 0    限界効用逓減の法則

小田中直樹『ライブ・経済学の歴史』33頁より



無差別曲線:メモ
http://nam-students.blogspot.jp/2015/08/blog-post_55.html
効用関数と無差別曲線:
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/okawa/tool/hosoku(3).htm
  ミクロ経済理論を理解することが出来ない人の中には無差別曲線が何のことか理解できないという人が多い。いや、効用関数のことさえよくわからないという人 もいるのではないだろうか?私も以前ミクロ経済学概論の講義を担当したことがあるが、ここの部分でつまづいている人が少なからずいた記憶がある。ミクロ経 済学における家計の行動目的は効用最大化であり、効用を表す効用関数・無差別曲線が理解できずにミクロ経済学を理解することは不可能だといえるだろう。こ こでは、少々越権行為にはなるが効用関数と無差別曲線について2変数関数のグラフの議論を使って解説したいと思う。

 まず、効用関数とは財の消費量と、その財の消費によって得られる家計の満足度である効用との関係を示すものである。
これを数学的表現を用いて表すと
         U=u(x1,x2)
Uは家計の満足度を表す指標である効用水準を表す変数であり、x1,x2はそれぞれ第1財と第2財の消費量を表している。この式が表していることは”第1財と第2財の消費量と効用水準にはなんらかの関係がある”ということはこれまでの講義を受けた学生ならわかるだろう。具体的な効用関数の例としてはU=x12やU=logx1+logx2などがある。

 この効用関数で示される財の消費量と効用水準の関係をグラフで表したものが無差別曲線である。効用関数は式の形から見てもわかるように2変数関数であるから、グラフ化するためには立体である本来のグラフを断面図・等高線を用いて平面化する作業をしなければならない。

 ここから先は具体的な数式を用いて説明しよう。講義でも取り上げたU=x12の数式である。講義でも説明したように、この数式によって示される各変数間の関係は立体のグラフになってしまい扱いにくく、U=1,2,3,・・・など様々なUの水準について等高線をx1-x2平面に描くことによって扱いやすい平面の図に書き直すほうが便利である。具体的な図を描くと下の図のようになる。
 U
3|     (
 |    o o
2|  (
 |   o
1| (  o
 |_____X2
  \     
   \ 
     X1
   ↓
  平面化
(上記の立体図を上から見た平面図に変換すると、)

 X2
 |o
3|  
2|_o          (U=x1x2=3)
1| |_o o       U=x1x2=2
 |_|_|_____X1 (U=x1x2=1)
 0 1 2 3
   
 効用関数を正確にグラフ化すると上図左のように立体のグラフとなり非常に扱いにくい。このため、ある一定の効用水準Uにおける等高線を描くことによって上図右のような平面図に直すことによってより扱いやすい図へと書き直すことが出来るのである。そして、上図右の各曲線が一定の効用水準を与える財の消費量の組み合わせを表す曲線、すなわち無差別曲線なのである。なぜ、”無差別”曲線というのかは次のように考えると良い。上図右における(x1,x2)=(1,1)と(x1,x2)=(2,1)という二つの消費量の組み合わせについて、高い効用水準を求める家計は必ず(x1,x2)=(2,1)の組み合わせを選ぶだろう。なぜなら(x1,x2)=(1,1)の場合は効用水準U=1であるのに対し、(x1,x2)=(2,1)はそれよりも高い効用水準U=2をもたらすからだ。この場合、家計にとって(x1,x2)=(1,1)と(x1,x2)=(2,1)は与えられる効用水準の意味において差別(区別)されるものなのである。しかし、(x1,x2)=(1,2)と(x1,x2)=(2,1)の比較についてはどうだろうか?この両者の組み合わせは共に家計に対して効用水準U=2を与えるため、高い効用水準を求める家計にとってはどちらかを選ぶことは出来ないだろう。どっちでも同じなのだから。つまり、家計にとっては(x1,x2)=(1,2)と(x1,x2)=(2,1)は差別(区別)することが出来ないものなのだ。このような状態のことを(x1,x2)=(1,2)と(x1,x2)=(2,1)は無差別であるというのだ。つまり、高い効用水準を求める家計にとっては(x1,x2)=(1,2)と(x1,x2)=(2,1)、いや上図右のU=2を表す曲線上のすべての点によって表される財の組み合わせが家計にとっては同じ効用水準を与えるためにどれでも同じ、つまり無差別なのだ。このため、同じ効用水準を与える財消費量を表す曲線のことを無差別曲線というのである。 
 
効用関数: 
http://psuke.hungry.jp/micro/microinter1.html

 U
 |         /
 |        /
 |       /
 |      /  
 |     /
 |    /  
 |   /  
 |  /
 | /  
 |/_______________x


効用をU(utilityの頭文字)、数量をxとすれば、具体的な数式は
U=xy (この場合yは必要ない) 
数量と満足度の関数(関係を表した数式)を効用関数といいます。上図のような数式や形で効用関数を表現できる人はピザを何枚もらっても、あたらしくもらったピザの満足度がはじめてピザをもらった時の満足度とまったく変わらないという人ですね。新しくもらったピザの満足度、というのをピザの限界効用といいます。「限界(marginal)」とは「追加的な」という意味です。だから、先ほどの表現を経済学風に変えると、「ピザの限界効用が変わらない人」という表現になります。このように、効用関数をどのような数式、形で表すかによって表現する人間像が変わります。では、あなたはピザを何度ももらう時に、いつも同じ嬉しさを感じるでしょうか?たとえば、ピザを3枚もらった後に新しく4枚目のピザをもらったときの満足度は始めにピザ1枚目をもらった時の満足度と等しいでしょうか?私は1枚目のときには空腹ですからとても嬉しいですけども、3枚食べた後にさらにもらうとなると、お腹がいっぱいですから、あまり嬉しくありません。このように追加的な満足度はだんだんと減少してくるということもあります。これを限界効用逓減の法則といいます。「逓減」とは次第に減少することです。では、限界効用逓減の法則を満たしている効用関数はどのように表せるのでしょうか。それは下の図のようになります。


 |       
 |            o   o
 |         o
 |       o  
 |     o
 |    o  
 |   o  
 |  o
 |  o  
 |________________x


数式では、
U=√x
U=In x など

しかし、まれにですがもらえればもらえるほど、追加的な満足度が増加していくということもあるかもしれません。たとえば、お酒。1杯目はおいしいが、何倍も飲んでいると酔いが回って、さらにおいしく感じることがあるなどです。そのときには下の図のように、先ほどの効用関数とは逆になっているはずです。


 |       
 |            
 |             o
 |             o  
 |            o
 |           o  
 |          o  
 |        o 
 |  o 
 |________________x


数式では、
U=x^2
U=2^x-1 など

無差別曲線:
2つの財の組み合わせの効用を分析するグラフに無差別曲線がある。ある消費者Aの効用について、横軸を財X1(例えばコーヒー)の消費量、縦軸を財X2(例えば紅茶)の消費量として1象限の空間を作るとそこにX1とX2の無数の組み合わせが存在する。

ここで例えばコーヒー1杯と紅茶2杯の組み合わせの効用と、コーヒー2杯と紅茶1杯の組み合わせの効用が等しいとするとこの2点を含む効用の等しいコーヒーと紅茶の消費量の組み合わせの曲線を引くことができる。これを無差別曲線という。コーヒーと紅茶の組み合わせの効用が無差別であるというところからこのように呼ばれる。一組の財の組み合わせについては効用の量は無数に存在するので、一つの財の組み合わせについて無数の無差別曲線を引くことができる。 コーヒー1杯の価格と紅茶1杯の価格が明らかになると消費者Aの予算のグラフ(右下がりの直線=赤)を同じグラフに重ねることができる。ところで後述する「限界代替率逓減の法則」により一般に無差別曲線は右下がりで原点(X1=0,X2=0の点)に対して凸の曲線となるので、無数の無差別曲線の内1つは1点で予算のグラフと接することになる。この無差別曲線は消費者Aの予算を満たし、かつ効用が最大となる曲線であり、合理的な消費者はこの接点のコーヒーと紅茶の消費量の組み合わせを選択するであろう。

無差別曲線は、2財モデルの消費者行動分析においては基本的なツールとして用いられる。


無差別曲線(本来立体的なものを平面化している)
x2
 |       
 | o   
 |   
 |  o  
 |     
 |   o  
 |    o  
 |      o
 |          o  o  
 |________________x1
0      


時間選好率
C2
 |       
 | o   
 |   
 |  o  
 |     
 |   o  
 |    o  
 |      o
 |          o  o 
 |________________C1
0      

将来に消費することよりも現在に消費することを好む程度を,時間選好率rate of time preferenceあるいは単に時間選好と 呼ぶ。
貨幣の中立性も似たような図で説明され得る。

   将来を組み入れたミクロ分析モデル

老              老 
人|             人 第2期消費
期|             期 |\  
所|             所Y4_\老人は貯蓄を使い消費を増やせる
得|             得 | ⬆︎\
Y2___o          Y2___o 
 |   |       ➡︎   |   |\
 |   |           |   | \若者は借金をして
 |   |           |   |➡︎|\消費を増やせる
 |___|_______    |___|_|_\____第1期消費  
     Y1 若者期所得      Y1 Y3 若者期所得

  バロー中立命題

第2期消費           第2期消費
 |\ \            |\ \  
 | \ \           | \ \
 |  \ \          |  \ \
Y2___o➡︎\        Y2___o \ 
 |   |\ \        |   |\⬇︎\
 |   | \ \       |   | \ \
 |   |  \ \      |   |  \ \
 |___|___\_\___  |___|___\_\____
     Y1 第1期所得       Y1  第1期所得

(1)若者期に国債を   (2)若者は、将来の  (3)予算線は、
   発行し所得を増やす ➡︎  増税を見越して  ➡︎  元に戻る
   (政府支出増)      消費を減らし、
                貯蓄を増やす

      [予算線不変=三角形不変]⬅︎[財政政策は無効]菅原晃『図解 使えるマクロ経済学』2014年,中経出版より
NAMs出版プロジェクト: RBC、DSGEモデル:メモ

RBCに対する本質的な批判は、ソローによる批判及び松尾匡の紹介した論だろう。国家は要らないと言いつつ、新自由主義を推し進める強権を国家に求める点でRBCは矛盾するのだ。自由主義経済はRBC論者が主張する以外のもっと様々な均衡点を持つ。それが新自由主義者には見えていなかったということが証明されたのだ。また変数を多くしても哲学がないから増税とデフレ対策というブレーキとアクセルを同時に踏むというような逆の政策を同時にしてしまう。
 
 
神取道宏『ミクロ経済学の力』(2014年、日本評論社):書評&目次より
http://nam-students.blogspot.jp/2015/02/blog-post_82.html
  (f) 交換経済の分析:エッジュワースの箱 219

二人の消費者による二つの財の資源配分を大きな箱の中の無差別曲線で表す。これを考案した経済学者F.Y.エッジュワースの名前をとってエッジュワースの箱という。

      図3.38 エッジュワースの箱
   _______⬅︎Bが消費する第1財_0B
  |          ____    |
⬆︎ |  Aの無差別  ___  \   |B
A | |   曲線  _  \  ↙︎  |が
が | |  |  |  \  ↙︎  \ |消第
消第| \  \  ↗︎   ↙︎  \  \|費2
費2|  \  ↗︎  \_ |  |  ||す財
す財|   ↗︎  \___  Bの無差別 |る
る |    \____      曲線 | ⬇︎
  |__________________|
 0A Aが消費する第1財➡︎
    (↗︎↙︎効用の上がる方向)神取220頁

          ||
          \/ 

 図3.38 エッジュワースの箱(パレート最適を加筆)
   ________⬅︎Bが消費する第1財__0B
  |                    |
⬆︎ |Bの無差別    |          |B
A |曲線  ____ |          |が
が |        \\          |消第
消第|         []    Aの無差別|費2
費2|          \\____  曲線|す財
す財|           |        |る
る |    ︎       |        | ⬇︎
  |____________________|
 0A Aが消費する第1財➡︎
(↗︎↙︎効用の上がる方向、[]パレート効率的な配分=パレート最適)


以下は、「資源配分の効率性とは何か」という条件を高度に一般的かつコンパクトにまとめたもの。

 X2
  |         |   これだけあれば、全員  
  |         | X の効用を現状の水準以
  |________ |   上にできる
  |        \\        
  |         []総消費点  
  |  Y       \\________ 
  | これだけ作れる   |        
  |    ︎       |        
  |____________________x1
 図D.6 パレート効率性は、改善集合Xと生産可能性Y
     が接していることを意味する(513頁)



A Collective Action Problem (囚人のジレンマ)
 ____________________
|      |____イケメン弟____| 
|______|__うそ__|__正直__|
|   |うそ|パレート最適| A1,B2|
|イケ |__|______|______|
|メン兄|正直| A2,B1|ナッシュ均衡|
|___|__|______|______|
参考文献

岡田章『ゲーム理論』有斐閣、1996年、pp406.

市場主義はナッシュ均衡点がパレート効率的であるようにする試みの一つである。

共有地の悲劇(多数者が利用できる共有資源が乱獲されることによって. 資源の枯渇を招いてしまう状況. 囚人のジレンマのひとつと解釈できる)。


格差

ジニ係数

100 __________
   |         /|
  累|        /o|  
  積|       /  |
  所|      / o |
  得|     /    | 
  シ|    /B o  | A
  ェ|   /      | 
  ア|45度  o    |
 (%) / o      |
   |/_________|
  0     所得順位  100

三日月の面積B
二等辺三角形の面積A
B/A=ジニ係数

吉川洋マクロ経済学2009年173頁より

平等時/
不平等時_|


スルツキー分解:

(価格変化による需要の変化を代替効果と所得効果にわけること。変数が各要素にまたがっている)。

 B③C
P① ④D
 A②B

(A→B→C)価格変化(代替効果)、所得効果、需要量変化


第1財の価格Pの変化(価格の低下)①による、第1財の需要Dの変化

x2
 |
 |\-_
 | \  ̄-_
 |  \    ̄-_
 |_  \A     ̄-_C
 |  ̄-_\ ↘︎      ̄-_
 |     ̄\    ↗︎     ̄-_
 |       ̄-_B         ̄-_
 |       \  ̄-_          ̄-_
 |        \    ̄-_          ̄-_
 |____|____|所得|__ ̄-__________ ̄-_
      |代替効果|効果|            x1
      |_需要量の変化|

(x1の)需要量の変化④AC=代替効果(x2をx1で代替)②AB+所得効果③BC
(西村ミクロ62-3頁より、ヒックスによる図解)

あるいは(値上げの場合。神取ミクロ経済学の力75頁参照)、

x2
 |\
 | \
 |  \
 |   \
 |    \
 |\-_  \B
 | \  ̄-_\  
 |  \  ↙︎ ̄-_ ↖︎
 |   \C   \ ̄-_A
 |    \    \   ̄-_
 |     \    \     ̄-_
 |      \ 値上げ\       ̄-_
 |  値上げ後の\ 後の \         ̄-_
 |   価格比率 \価格比率\ 値上げ前の価格比率 ̄-_
 |_________\____\____________ ̄-_
      |所得|    |            x1
      |効果|代替効果|
      |_需要量の変化|

所得目減り時、所得効果は正常財ならマイナス、下級財ならプラスとなる(安物を選ぶから)。


失業率

実|
質|
賃|D      S
金|  \  /
w|___\/E
 |   /\     
 |S / |\ D
 |    |
0|____|________
      N 労働雇用量(N)

:宇沢弘文『「一般理論」を読む』44~5頁,ケインズ1:2:4
上の古典派の失業概念には、非自発的失業は含まれていないとケインズは主張する。


実質
賃金
 |
 |D      S
w|_\A__B/ 
 |  \  /
we___\/E
 |   /\     
 |S / |\ D
 |    |
0|____|________
      Ne 労働雇用量(N)

図で、労働に対する需要と供給とはそれぞれ、DD曲線、SS曲線によって
あらわされている。この二つの曲線の交点Eに対応する実質賃金w^eのときには、
労働市場で、需給均等となり、完全雇用の状態が実現する(古典派の主張)。
それに対して、実質賃金がw^eより高く、たとえば図でwと記した水準であるときには、
労働供給は需要よりABだけ多くなり、非自発的失業がABだけ 発生することになる。
宇沢46頁,ケインズ1:2:4


フィリップス曲線

イ|       
ン| o   
フ|   
レ|  o  
率|     
 |   o  
 |    o  
 |      o
 |          o    o 
 |________________
             失業率


オークンの法則:
――クルーグマン論文からの引用
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/Readings/krugokun.html>

アメリカでは、産出ギャップはふつうは、自然失業率と、失業の変化と実質GDPの変化との関係を示したオークンの法則係数推定を組み合わせることで推定される。日本の計測された失業率は、伝統的にアメリカの失業率よりずっと小さな動きしか見せなかったけれど、1981-91の期間には、実は驚くほどぴったりしたオークンの法則関係が成立している(図)。この見かけの関係の傾きは、アメリカのものの3倍だ。失業率を1%下げるには、余剰成長が6%上がらなくてはならないということになる。もし停滞期以前の平均2.5%という失業率を、自然失業率の推定値として採用するなら、1997年の3.4%失業は、1997年の産出ギャップが5%以上あったということだ――そして潜在産出がたぶんいまも増大していて、実際の産出が停滞しているのだから、1998年末のギャップはたぶん10%にも達しているかもしれない。

図:日本のオークンの法則(略図)

  0.4| ̄-_
失 0.3|    ̄-_
業 0.2|       ̄-_        
率 0.1|          ̄-_  
の   0|____________ ̄-_____________
変-0.1|2     3     4   ̄-_ 5     6 
化-0.2|                   ̄-_
 -0.3|                      ̄-_
 -0.4|                         ̄-_
              実質GDP成長率(%)

(『クルーグマン教授の〈ニッポン〉経済入門』69-70頁より)

オークンの法則 - Wikipedia
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87経済学において、オークンの法則(Okun's law)とは、一国の産出量と失業の間に経験的に観測される安定的な負の相関関係のことである。この法則の「乖離形式」(gap version)は、一国の国内総生産(GDP)が潜在産出量より1%小さくなる度に失業率が約0.55%上昇することを述べる(米国の場合)。「差分形式」(difference version)は、実質GDP成長率と失業率の差分の間における関係を表す。この法則の正確さは議論の的になっている。法則の名前は、1962年にこの関係を提案した経済学者アーサー・オーカン(en:Arthur Okun)にちなむ。 


ルイス転換点: 
          賃金
           |  工業部門の   農業部門の
           |  限界生産性   限界生産性
           |    \      /
    生存水準の賃金|_____\____○______
           |     |\➡︎ /|転換点
           |     | \/ |
           |     | /\ | 
           |_____|/__\|______ 労働力 
          工業部門の雇用 過剰労働力 農業部門の雇用

    http://www.rieti.go.jp/users/china-tr/jp/ssqs/070911ssqs.htm
    付録:「ルイス転換点」とは
    中国のような農業という伝統部門と工業といった現代部門からなる二元経済における経済発展を分析する際、経済学者W. A.ルイス(1915-1990)が発案したモデル(彼の業績に因んで「ルイスモデル」と呼ばれている)が有効である。これによると、多くの発展途上国においては、農村部における大量の余剰労働力が存在するため、工業部門にとって、労働力の供給が実質上、無限大である。賃金が労働者の生存のために必要である最低水準に据え置かれることになるが、工業部門と農業部門における雇用は、それぞれの限界生産性と賃金水準が一致するレベルで決められる(図)。外資導入などによる工業部門での生産性の上昇は賃金上昇を招くことなく、農業部門の余剰労働力を吸収する形で(工業部門、ひいては経済全体の)雇用の拡大をもたらす(図)。これに対して、完全雇用が達成される「ルイス転換点」を超えると、工業部門において農業部門での雇用を減らす形で労働力を確保するために、賃金水準を上げなければならないが、全体の雇用は増えない(図)。

小野旭『労働経済学』168頁参照


労働の限界生産物: 

労働の限界生産物
(一人当たり,
ブッシェル(例) )
 |
生|
産|\
物| \  
 |  \  労働の収穫
 |   \ 逓減がある
 |    \     
 |     \  
 |      \
0|_______\____
    労働投入量(人数)

労働の限界生産物曲線は労働者1人ひとりの限界生産物,
つまり各労働者を追加したときに生じる生産量の増加分
を描いたものだ.縦軸には生產量の変化,横軸には労働
投入量(人数)をとってぃる,1人目の労働者は生産量を
19ブッシェルだけ増やす.2人目は17ブッシェルだけ増
やすというふうに続く.収穫逓減があるために,この曲
線は右下がりになっている. 
(クルーグマン『ミクロ経済学』邦訳2007年218頁より) 


生産関数: 

二部門モデル 西村マクロ経済動学
生産関数を所与とした際の、最適動学均衡分析。労働と資本が座標軸。

二部門モデル、等量曲線

K2        K2/L2=1  K1
 | |  |  | /       |       | 
 | |  |  |/        |   o   |
1|_|__|__|____     |    B* | ↖
 | |  | /|         |  o    |  ↘
 | |A*|/_|___K*    |     o |
 | |  /  |         |   o  o|   
 | | /   |         |    o  | o  o C*
 |A|/____|____K    |      o|
 | /     |         |      B|  o  o C
 |/______|____L2   |_______|________L1
0        1                 1
    資本財部門            消費材部門
     角度が急             ゆるやか


生産集合と生産関数:

x| 
 |          x=F(L,K)
 |       o o|
 |    o   o/|X
 | Lo____o//|
 |o/     o//
 |/______o/
        K・

「斜線の領域Xは、資本がK・だけ投入されたときの生産集合の断面図である。…
…生産関数x=F(L,K)は、この効率的な部分だけを表す関数である。」
(奥野正寛『ミクロ経済学』2008年初版83~4頁) 


NAMs出版プロジェクト: 産業連関表(レオンチェフ)
http://nam-students.blogspot.jp/2014/06/wikipedia.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/産業連関表 (レオンチェフ)
産業連関表(さんぎょうれんかんひょう、英: Input Output Table)は、産業ごとの生産・
販売等の取引額を行列形式にした指標。英語の頭文字を取ってI-O表とも。アメリカの経済
学者であるワシリー・レオンチェフが、1936年にアメリカを対象として作成したものが最
初である。一般均衡理論を現実の経済に適用しようとする試みであり、レオンチェフ自身
によればカール・マルクスの再生産表式から着想したとされる。

                 買 っ た 産 業
     |第一次 第二次 第三次|          国内   |  |国内
売った産業|産業  産業  産業 |家計消費 政府消費 資本 輸出|輸入|生産
_____|___________|__________形成___|__|_額(支出面GDP)
第一次産業|           |               |  |  
第二次産業| 中間投入(内政部門)|     最終需要      |  |
第三次産業|           |               |  |
_____|___________|_______________|__|__
雇用者所得|           |                   ↓投
営業余剰 |   粗付加価値額  |                   ↓入
間接税  |           |
_____|___________|
国内生産額|           |
              → → 産出
(所得/分配面GDP)
http://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Simple_iotable.jpg
(「買った産業」「売った産業」云々は、「投入産出分析」1965,邦訳『産業連関分析』107頁より。初期は「購入した産業」「生産した産業」同10頁,「投入産出の経済学」1951)

            買 っ た 産 業
       |第1部門|第2部門|第3部門|総産出量
 売った産業 | 農業 |製造業 |家計  |ドル表示
_______|____|____|____|_____
第1部門:農業| 50 | 40 |110 |200    
第2部門製造業| 70 | 30 |150 |250 
第3部門:家計| 80 |180 | 40 |300   
_______|____|____|____|_____
総投入ドル表示|200 |250 |300 |
(「投入産出分析」1965,邦訳『産業連関分析』108頁より)


総投入ドル表示|200 |250 |300 |
_______|____|____|____|_____
第3部門:家計| 80 |180 | 40 |300
第2部門製造業| 70 | 30 |150 |250 
第1部門:農業| 50 | 40 |110 |200
_______|____|____|____|_____
(投入⬆︎) /| 農業 |製造業 |家計  |総産出量
売ってくれ/ |第1部門|第2部門|第3部門|ドル表示 +
た産業 /(産出➡︎) 買 っ て く れ た 産 業
(「投入産出分析」1965,邦訳『産業連関分析』108頁より。上下逆に改変)


産業連関表は、図のような行列(マトリクス)構造となっている。
◆投入構造↓[構造]
表を縦にみると、ある産業の生産額のうち、どのくらいが原材料で、どのくらいが従業員の
給与や企業の利益になっているかをみることができる。
◆産出構造→[構造]
表を横にみると、ある産業の生産額が、他の産業の原材料や個人消費、輸出などに、どれだ
け向けられたかをみることができる。
なお、粗付加価値額と最終需要の間には、

粗付加価値額 = 最終需要 - 輸入
という関係[均衡]がある。

http://cruel.org/econthought/profiles/leontief.html
投入産出(産業連関表)は、一部は産業間のフローをもとに一般均衡を分析するという点で、マルクス派とワルラス
派分析を援用している――

「投入産出表は、ある国民経済について各部門間の財・サービスの流れを記録したものである。経済を何部門に分割するかは、その表を利用して伝達しようとする情報の詳しさに依存している。」
レオンチェフ「経済計画と経済予測の方法」(邦訳『経済学の世界』181頁より)
Wassily Leontief "Tecniche moderne per la pianificazione e la previsione economica". La Scuola in Azione, Ente Nazionale Idrocarburi, Scuola Enrico Mattei di Studi Superiori Sugli Idrocarburi, Anno di Studi 1963—64, No. 23, pp. 5—16. English Version: "Modern Techniques for Economic Planning and Projection." In Essays in Economics (*).
*Essays in Economics: Theories and Theorizing. Oxford University Press, Inc., 1966, pp. xii + 252.

「…現代経済理論に対してマルクスの経済学のもつ重要性は、問題の最終的解決について成否の定かでないこのような試み(注:景気循環理論をめぐる錯綜)などにではなく、主として『資本論』第二巻、そして一部は第三巻で行われた準備作業にこそある。ここでわたくしは、マルクスの有名な資本の再生産表式のことを思い浮かべているのだ。」
レオンチェフ「マルクス経済学の現代的意義」(同101頁より)
"The significance of Marxian economics for present-day economic theory". The American Economic Review, Vol. 28, No. 1, March 1938.

なお、GDP算出時は中間生産物(横,支出面),中間投入物(縦,所得分配面)を二重計算しないようにする。(西村まんがDE入門116頁)

イノベーション:

http://sts-concrete.seesaa.net/article/138648161.html
…社会の断絶は、ある価値や制度に基づいた社会はべつの体制を持つ社会に引き継がれ、不連続ながら継続していくことになります。断絶を経験しながら連綿と続いてきたともいえます。この様な観点から新製品や新技術の採用者の累積数と時間の関係を示したグラフ“ロジャーズのS字曲線”を思い浮かべてください。

 ロジャーズのS字曲線
                     o  o
  普|            o   
  及|        
  率|         o 
   |         
   |        o  
   |        
   |      o    
   |    o      
   |o_____________________
                    時間


  成|                新しいS字曲線
  果|                 ______
  率|                /
  ・|  古いS字曲線  軌道変更➡︎/
  満|        ______/_
  足|       /     /
  度|      /    _/
   | ____/  イノベーション
   |/_______________________
                    努力(資金)


S曲線グラフの縦軸を成果「社会で生活する人への効用、生活する人の満足度」、横軸を資金(努力)「社会資本を整備するために投じた労力や資金」と考えると、

・勾配が急な箇所は高度経済成長期
・右側の勾配が緩やかな箇所は成熟し、停滞する過程

グラフの右側に行くほど、同じ1単位の努力(資金)を投じても得られる効果(満足度)は小さくなります。これは、ケインズ理論の投資の限界効果が逓減することに当てはまります。こうして社会は停滞することになります。

この停滞を克服する原動力が従来存在したものに新たものを結合すること“イノベーション”に他ありません。そして、その成長軌道は従来のS曲線の延長線上にあるのではなく、全く新たなS曲線が描かれなければならないでしょう。
  設備投資の収益性について強気と弱気のケース
 期待実質長期
 利子率
   |\
   | \
   |  \
   |   \
   |    \
   | ̄-_  \
   |    ̄-_\  
10%|______ ̄-_ 
   |       |\ ̄-_
   |       | \   ̄-_
   |       |  \     ̄-_
 5%|_______|___\______ ̄-_強気
   |       |   |\       | ̄-_
   |       |   | \弱気    |    ̄-_
   |       |   |  \     |       ̄-_
   |_______|___|___\____|_________
 0         A   B        C      投資
      岩波新書『金融入門』岩田規久男226頁より

弱気のケースでは、期待実質長期利子率が10%から5%に低下しても、設備投資はA
からBまでしか増えないのに対して、強気のケースではCまで増える。


企業の価値

トービンのqは株式市場で評価された企業の価値を資本の再取得価格で割った値。
       
   |             / _
   |            /_ー
  価|           /ー
  格|         _ー
  ・| 企業資産価値_ー/ 
log|     _ー / 
   |   _ー  / 
   |  ー   /
   |  ⬆︎  / 
 トービンのq / q<1,q=1,q>1
   |  ⬇︎/       
   |  /       
   | 企業市場価値
   |__________________
                     時間


利子率

マンキューマクロ経済学入門篇1:3:8,308頁,邦訳第2版276頁
8-7図 IS曲線の導出参照
             (b)ケインジアンの交差図①3,②6(所得=消費+投資),7(貯蓄=投資)
               支出|
                 |       /
                 |      /ー
                 |    _ー_ー③8
                 |  _ー/ー
                 |_ー_ー |
                 ⬇︎_ー/| |   
                 | / | | 
                 |45度|_|_______
                    Y2⬅︎Y1  所得・生産
                     | | 
                     | |  
利| (a)投資関数④11   利|   | | (c)IS曲線④11,14
子|              子|   | |
率|              率|I  | | 
 |  \            |  \| |
r2___\___________|___\ |
⬆︎|   |\         ⬆︎|   |\|    
r1___|_\_________|___|_\ S
 |   | |\        |   | |\_
 |___|_|______   |___|_|_______   
   Ir2⬅︎Ir1  投資      Y2⬅︎Y1  所得・生産
(マンキューマクロ経済学入門篇1:3:8,308頁より)

(a)利子率が上昇すると、計画投資I(r1)は減少する。
(b)(a)における計画投資I(r1)の減少は、計画支出関数を下方へシフトさせ、
その結果、所得はY1からY2に減少する。
(c)IS曲線(c)は、利子率(a)と所得水準(b)の関係をまとめたもの。
ヒックスの図(c)だけだと思考と導出の過程がわからない。

図8-11 LM曲線の導出(マンキューマクロ経済学入門篇1:3:8,316頁,邦訳旧第2版285頁参照)
                     
利| (a)投資関数      利| (b)LM曲線 ⑤19(④13,15,17)
子|              子|   
率|   |          率|   | | 
 |\➡︎\|           |   | |/
r2_\_\_________r2|___|_|
⬆︎|  \|\         ⬆︎|   |/|    
r1___\_\_______r1|___|_|
 |   |\ \        | _/| |
 |___|________   |___|_|_______   
  -m/p 実質貨幣残高(M/P)  Y1 Y2  所得・生産

右上にあるケインジアンの交差図が重要で、レオンチェフの産業連関表とも呼応する。サミュエルソンも重視した45°線はカレツキに先行権のある有効需要を説明する。利子率設定はケインズの言説とは違い、ゲゼルの減価マネー案(税金をも含有する)を補強する。

  流動性の罠
利|
子|        
率|I       M M
 |  \    / /
 |   \  / /
 |  __\/_/ 均衡利子率0
 | L   \____   
 |  _____   S
 |_(流動性の罠)___________
              国民所得

利子率がゼロ近くまで低下したまま
   ↓
流動性選好で人々が資産を保有しようとする
   ↓
金融政策が効かない

  NKーPC曲線とISーMP曲線の統合
実|    
質|    
利|       |   |
子|IS    /    |MP(マネタリーポリシー)
率|曲線   /    / 曲線
 | \ A/1 →2/金融緩和後
2|__\/_   /
 |  /\   /   
1|___|_|/B 均衡点
 |   | /\   
 |___|_|________   
     | |    所得
     | | 
イ|   | |
ン|   | |
フ|   | | 
レ|   | |  |
率|   | | /NKーPC曲線
 |   | |/ (ニューケインジアン、フィリップス)
2|___|_|
 |   |/|    
1|___/_|
 |  /| |   
 |___|_|________   
    Y1→2 所得

金融緩和策によって1から2へMP曲線が移行した場合
   ↓
NKーPC曲線により
   ↓
失業率低下=所得増加
(Y1から2へ)
インフレ率上昇
(1から2へ)
の変化も読み取れる

   ↓
失業対策とインフレ対策のバランスを考慮した金融政策の必要性

(菅原晃『図解 使えるマクロ経済学』2014年,中経出版より)


信用創造:

複数銀行による貨幣の拡張
         _________
1ドルの準備金︎ |   ___   |
━︎━━︎━➡︎━━━━━━|銀行1|➡︎┓|
        |  |___| ┃|
        |┏━←━┛   ⬇︎|
        |┃  ___  ┃|
        |┣➡︎|銀行2|➡︎┤| 10ドルの預金貨幣
        |┃ |___| ┣━━━➡︎━━︎━━︎━━━
        |┣━←━┛   ┃|
        |┃  ___  ⬆︎|
        |┣➡︎|銀行3|➡︎┤|
        |┃ |___| ┃|
        |┣━←━┛   ⬆︎|
        |⬇︎ 等々〜10 ┃|
        |_________|

(サミュエルソン、経済学上[原書第11版]16章,319頁,1966,1981,1987岩波書店)

なお、上記図は、独占銀行と同時的拡張という二つの図に書き換えることもできる(16-2図326頁)。こうした信用創造の説明は基礎的かつ重要だと思うが商学に当たると判断されるのか、簡単な貸借対照表まで連記したサミュエルソン(及びマンキューマクロ応用篇)に比べて、それ以外の入門書ではあまり重視されていないように思える。

参考:
マンキューマクロ経済学(第18章,原著)2:3:7,235~7頁,邦訳第2版217~9頁
http://homepage1.nifty.com/gujyo-economic-res/mankiw/mankiw18.htm


マンキューマクロ応用篇第7章より

     第1銀行の貸借対照表
    資 産      負 債
_____________________
準備 1000ドル |預 金 1000ドル
          |

     第1銀行の貸借対照表
    資 産      負 債
_____________________
準備  200ドル |預 金 1000ドル
貸出金 800ドル |

     第2銀行の貸借対照表
    資 産      負 債
_____________________
準備  160ドル |預 金 1000ドル
貸出金 640ドル |


      第3銀行の貸借対照表
    資 産      負 債
_____________________
準備  128ドル |預 金  640ドル
貸出金 512ドル |



最初の預金     =1000ドル
第1銀行の貸し出し =(1-rr)×1000ドル
第2銀行の貸し出し =(1-rr)^2×1000ドル
第3銀行の貸し出し =(1-rr)^3×1000ドル
          ・
          ・
          ・
__________________________
  総貨幣供給   =[1+(1-rr)+(1-rr)^2×1000ドル
           +(1-rr)^3+・・・]×1000ドル
          =(1/rr)×1000ドル

rrは、準備預金率。準備金の各々の1ドルは、(1/rr)ドルを生じさせる。

 《準備のおのおのの1ドルは貨幣の(1/rr)ドルを生じさせます。我々の事例では、rr=0.2です。だから最初の1000ドルは5000ドルの貨幣を信用創造します 銀行システムの貨幣創造の能力は、銀行と他の金融機関では根本的に異なります。我々が第3章で最初に議論したように、金融市場は、経済の資源を将来の家計のために彼らの所得のいくらかを貯蓄したい家計から、将来の生産物に使用するため、資本財を買うために借り入れたいと思っている家計と企業にまで移動する重要な機能を持ちます。貯蓄者から借り手まで資金の移動の工程は金融仲介と呼ばれます。経済における多くの制度は、金融仲介のように行動します。:もっとも顕著な事例は株式市場、債券市場、そして銀行システムです。またこれらの金融制度のうち、銀行のみが小切手勘定のような、貨幣供給の一部である資産を創造する法的権限を持ちます。それゆえに、銀行は直接貨幣供給に影響を及ぼす唯一の金融制度です。》*
マンキューマクロ経済学(第18章)2:3:7
http://homepage1.nifty.com/gujyo-economic-res/mankiw/mankiw18.htm
貨幣供給のモデル
http://hakase-jyuku.com/mankiw/category15/entry85.html

*教学注:総貨幣供給量の算式の導出の最終段階では,無限幾何級数の総和の公式を用いている(乗数を計算するのに用いたのと同じ公式).この結果によると,もし x が -1と1の間の値ならば,
  1+x+x^2+x^3+…=1/(1-x)
となる,この例では,x =1-rr.


乗数
以下、伊東光晴『ケインズ』(145~6,126,173頁,ケインズ③10)より
         _____________
        |    /消費←所得  /
        |   /ーーーーーー /
雇用量←生産量=|所得〈 (消費性向)/
        |   \     //資本の限界効率
        |    \投 資 ←〈
        | (乗数理論)/  \利子率←(流動性選好説)
        |______/
      
《雇用量の増減は生産量の増減に支配される。生産量は所得の変化で測られる。
所得は有効需要の大きさによってきまり、有効需要は消費需要と投 資需要の合計である(有効需要の原理)。
ところが消費の量は、所得の大きさがきまればきまるという関係がある。これが消費性向の関係としてとらえられている。
そこで、消費が所得の大きさによってきまれば、投 資の大きささえきまるならば、
それによって所得の大きさと消費の大きさがきまるわけである。これが乗数理論であった。いまこれを式で書けば、

所得=1/(1-消費性向)×投資

である。以上は生産量の大きさをきめるメカニズムであり、生産物の市場(財の市場)の問題である。》


  ケインジアンの交差図における政府購入の増加、租税の減少
   |             / _計画支出
  支|           B/_ー
  出|           /ー    政府購入の増加は計画支出を情報にシフトさせ…
  ・|         _ー|  ⬆︎ _(減税も同じ効果)
  E|       _ー/ | _ー
   |     _ー /  _ー
   |   _ー  / _ー|
   | _ー   /_ー  |
   |ー    /ー    |
   |   _ー|A    |
   | _ー/ |     |
   |ー /  |     |
   | /   |     |
   |/45度_|_____|_______
            ➡︎    所得・生産(Y)
       均衡所得を増加させる
        
マンキューマクロ上邦訳旧第二版270-3頁より

厚生経済学
ピグー税とピグー補助金

4:4 ピグー政策と余剰の分配

公害を出す鉄生産者への課税or公害対策への補助金を出すケースの図解。
被害者である漁民への損失補填Cもあり得る。MCは限界費用。Dは需要曲線。

(a)ピグー税下の余剰
    |
    |\      社会的限界費用
    | \    /
    |A \  / 
鉄の価格|___\/
    |   /\  MC
    |B / |\/
    | /  |/\
    |/ピグー/  \D
    |C 税/|     
    |  / |   
    | /  |
    |/___|_________
         Q*
       最適生産

  消費者余剰 鉄工場の利潤 漁民の損失 政府の税収
+)__A_____B_____-C_____C____
           A + B(総余剰)

(b)ピグー補助金下の余剰
    |
    |\      社会的限界費用
    | \    /
    |A \  /| 
鉄の価格|___\/ ←ピグー補助金
    |   /\ |
   鉄|B / |Y/MC
   工| /  |/\
   場|/   / |\D
   の|C  /| |    
   収|  /X| |  
   入| /生産| | 
    |/コスト|_|________
         Q* Q**
       最適生産

  消費者余剰 鉄工場の利潤 漁民の損失 政府の税収
+)__A____B+C+Y___-C____-Y____
           A + B(総余剰)

《ピグー税を使ってもピグー補助金を使っても、総余剰はA+Bで同じであ
るが、その分け方が違う…》(神取4:1,264頁)


レーン=メイドナー・モデル:

北欧では、企業間の労働力移動に関して政府が「積極的労働市場政策」と呼ば
れる政策を導入し、職業訓練や職場移転する間の所得保証等をおこなっている。
雇用の流動化(フレキシビリティ)と社会保障による安全(セキュリティ)を
組み合わせている(フレキシキュリティ)。スウェーデンモデルともいわれる。
日本では雇用調整助成金という逆?の手法がとられている。
現在では全EUでフレキシキュリティが労働市場の推奨モデルとされている。

利潤率/賃金
   |              _ 従来の賃金水準
   |             |/|\
   |            _| | |
   |合理化あるいは    |/| | |
   |   倒産     _| | | 余剰
   |   ⬇︎     |/| | | |
   |        _|⬇︎|⬇︎|⬇︎| |
   |_______|/|_|_|_|/ 同一労働同一賃金
   |     | | | | | |
   |    _|/連帯的賃金政策 |
   |⬆︎ ⬆︎|⬆︎| | | | | |
   |  _|/| | | | | |
   | | | | | | | | |
   |_|/| | | | | | |
   | | | | | | | | | 
   |/| | | | | | | |
   | | | | | | | | |
   | | | | | | | | |
   |_|_|_|_|_|_|_|_|
    企 企 企 企|企 企 企 企
    業 業 業 業|業 業 業 業
    1 2 3 4|5 6 7 8
           ➡︎
         労働力移動

    レーン=メイドナー・モデル概念図
(『高学歴貧困女子が読み解くピケティ』105頁より)

高収益企業と低収益企業の賃金を平均して同一に設定する。高収益企業は払う
賃金が下がるので、余剰を再投資に回してさらに発展するとともにイルフレも
抑制できる。低収益企業は経営努力して効率を高めていく。高められなければ
淘汰されることになる。
(『日本はスウェーデンになるべきか』204頁参照)



ミンスキー:
金融不安で見直される経済学者CAN “IT” HAPPEN AGAIN?
http://nam-students.blogspot.jp/2015/08/can-it-happen-again-jbpress.html
『投資と金融』14,28頁より

     
            政策の選択肢
            最後の貸し手
          Yes    No
        _______________
       |       |       |
 政  Yes|Yes-Yes|Yes-No |
 府     |_______|_______|
 赤     |       |       |
 字  No | No-Yes| No-No |
       |_______|_______|   
     

D/Y(B) 
 |
企|
業|B___   
の|    \       
負|     \ 
債|      \ 不安定領域
・|A_  擬似 \   
所|  \ 安定領域\  
得|   \     | 
比|安定領域|    | 
率|____|A___|B_____
     家計の負債・所得比率  D/Y(H)

負債・所得比率と一定の所得減少に対する反応の安定特性


企業の価値(再掲):

トービンのqは株式市場で評価された企業の価値を資本の再取得価格で割った値。
       
   |             / _
   |            /_ー
  価|           /ー
  格|         _ー
  ・| 企業資産価値_ー/ 
log|     _ー / 
   |   _ー  / 
   |  ー   /
   |  ⬆︎  / 
 トービンのq / q<1,q=1,q>1
   |  ⬇︎/       
   |  /       
   | 企業市場価値
   |__________________
                     時間

資産価値を45°線上に置いた方がわかりやすいのだが、、、

注:
ソロー以降、動学が主流になる(資本ストックは時間軸として解釈し得る)。

ソローのモデル:
http://blog.livedoor.jp/sowerberry/archives/41781283.html
http://ikedanobuo.livedoor.biz/archives/51896883.html

簡単に言うと、戦争などで労働力が減れば全体K(またはβ?)=資本ストックの絶対数は減る。
少子化で資産家の遺産が少数者に集まればr資本収益率は相対的に上がる。
部門2と部門1の人口増減は性質が違う対社会効果になる。
人口と成長率の交互の上下動は、国家と資本の関係、自由主義と帝国主義の交互性、
循環性に似ている(ソローのモデルに関してはマンキューマクロ応用篇に詳しい)。


 所得         δK
  |        / 
Y2|_______○dK  ○sY
  |    ○  /|
Y1|  ○  / |
  |    /  |
  | ○ /   |   
  |  /    | 
  | /     |
  |/______|______資本
      K   K'

Y を生産量、K を資本(資本ストック)、s を貯蓄率、δ を資本消耗率、減価償却率とする。

《経済が資本/所得比率がー定の「定常状態」に到達したと考えよう。労働からだけ所得を得る人々の賃金は、技術進歩によって生産
性が上がるのと同じぐらいのスピードで上がる。それは経済全体の成長率より少し低いだろう。なぜなら成長率は人口増加率を含むか
らだ。》*

この結果、資本収益率が成長率を上回り、格差が拡大します。これをソローは富める者がますます富むダイナミックと呼んでいます。
*Solow "Thomas Piketty Is Right" New Republic, April 22, 2014

(注)ピケティは実証分析などに基づき、格差拡大を説明できる関係式として基本法則を示した
r>g

α=r×β (21世紀の資本邦訳56頁,1章)
β=s/g (173頁5章,240頁第6章で1948年ドーマーが提示したg=s/βから1956年ソローが展開したとされる)

資本/所得比率β、所得の中の資本シェアα、資本収益率r
貯蓄率s、成長率g
(例:所得の中の資本シェアα=30%,資本収益率r=5%,資本/所得率β=600%、57頁より)
(例:「ある国が所得の12%を毎年貯金しており、当初の資本ストックが所得6年分とすると、資本ストックの成長率は年間2パーセントだ。つまり国民所得とまったく同じ比率であり、資本/所得率は安定状態を保つ。」178頁より)


http://business.nikkeibp.co.jp/article/topics/20150204/277158/?P=4&mds 4/8 (日経、要登録)
《吉川:なるほど。では、ここで少し経済学の議論をしてもいいですか。あなたは基本的に「ソロー
モデル」に依拠しています。資本の中身を分けずひとくくりにして経済成長を分析している「ワンセ
クターモデル」よりも、私は19世紀を理解するうえでは、アーサー・ルイスの提唱した「二重経済モデ
ル」(ルイス・モデル)の方が良いと思います。

 これは途上国経済を分析するモデルで、経済を分析する時に経済を都市工業部門と農業部門に分け、
農業部門にある余剰労働力を使いながら工業部門が経済成長していくモデルです。ポイントは、実質
賃金が労働の限界生産に等しくないことです。…

ピケティ:まず、ソローのワンセクターモデルはあまりいいモデルではないと思います。私のアプローチ
は、(農地、住宅など)複数のセクターに分けて資本をとらえています。それは『21世紀の資本』の113
ページ(注:英訳版、邦訳版では119ページの第3章「資本の変化」)から書いたのですが、重要なのは、
資本の中身の変化をとらえることです。》

ルイスの「二重経済モデル」
労働の限界生産物[の価値](一人当たり)
  ↑
  | 
N |___    
  |   \__
N1|__    \__
  |  \__    \_
生 |     \_    \
産 |       \    \
物 |        \    \
  |         \P   \P'
W |__________\____\_______ 工業部門賃金
  |          |\   |\      
  |          | \  | \
  |          |  \ |  \
W1|__________|___\|___\___ 生存維持部門賃金
  |          |    |    \
  |          |    |\    \
  |          |    | \    \
  |          |    |  \    \
  |          |    |   \    \
  |__________|____|____|____\___→
 0  労働投入量(人数)M    M1          労働

上記は先出の図と関係する。景気循環にも関係するだろう。

再掲、生産関数:

二部門モデル 西村マクロ経済動学
生産関数を所与とした際の、最適動学均衡分析。

二部門モデル、等量曲線

K2        K2/L2=1  K1
 | |  |  | /       |       | 
 | |  |  |/        |   o   |
1|_|__|__|____     |    B* | ↖
 | |  | /|         |  o    |  ↘
 | |A*|/_|___K*    |     o |
 | |  /  |         |   o  o|   
 | | /   |         |    o  | o  o C*
 |A|/____|____K    |      o|
 | /     |         |      B|  o  o C
 |/______|____L2   |_______|________L1
0        1                 1
    資本財部門            消費材部門
     角度が急             ゆるやか
              

とはいえ、やはりピケティ*はフローよりもストックに着目する。

なお冒頭の図は柄谷の交換図に対応する。

       | 
  ステート |ネーション
 ______|_____平
  キャピタル|  X  等
       |     
      自 由

ただし、ネーションと家計に子供を作る役割を考えないと図を対応させる意義がわからない。

パーソンズの図式はメンガーの効用理論からこぼれ落ちるものを拾う意味があった。交換銀行が付随する理論をプルードンが展開したように、パーソンズもそれを共同研究を考慮し(対象主体共に)複数人数で展開したのだ。柄谷交換図もパーソンズ行為システムに拡大し得るが、各要素がフラクタルに内部化し得ることも留意すべきだ。

原フロー循環図、銀行の信用創造に関しては、
[クルーグマン][マンキュー][スティグリッツ][ヴァリアン][サミュエルソン]:目次
http://nam-students.blogspot.jp/2015/02/httpnam-students.html


輸出入
海外貿易に関しては、
リカード『経済学および課税の原理』(On the Principles of Political Economy, and Taxation)
http://nam-students.blogspot.jp/2015/04/on-principles-of-political-economy-and_25.html

比較優位=三角形の傾き:

   ア国              イ国
A財              A財(生産、消費量)
 |               |\b
 |               | \ 
 |               |  \ 
 |               |   \
 | ̄-_            |    \
 |    ̄-_         |     \ 
 |       ̄-_  a   |      \ 
 |_________ ̄-__  |_______\_____
 0        B財     0     B財(生産、消費量)

 このような,三角形の違いがあれば,貿易による利益が発生することは,皆さんはすでにお分かりだと思います。ア国はB財に比較優位があり,イ国は,A財に比較優位があります。貿易によって,a点と,b点を結べば,両国の三角形は大きくなります。


ピケティ『21世紀の資本』「はじめに」より
《率直に言わせてもらうと、経済学という学問分野は、まだ数学だの、純粋理論的でしばしばきわめてイデオロギー偏向を伴った臆測だのに対するガキっぽい情熱を克服できておらず、そのために歴史研究や他の社会科学との共同作業が犠牲になっている。経済学者たちはあまりにしばしば、自分たちの内輪でしか興味を持たれないような、どうでもいい数学問題にばかり没頭している。この数学への偏執狂ぶりは、科学っぽく見せるにはお手軽な方法だが、それをいいことに、私たちの住む世界が投げかけるはるかに複雑な問題には答えずにすませているのだ。》

ステート、ネーション(あるいはアソシエーション)がストックに対応する。ストックはコモンズを含むから全否定出来ない。

ストックとフローが対立するのではなく、
2種類のストックが対立する
独占とコモンズだ
朱子学で言う最近柄谷行人も言及していた社倉もコモンズだ
世界資本税もコモンズの再生だ

プラトンはまだ輪廻転生という偶然を認めたが
朱子学やヘーゲルは偶然を認めない(易,社会から偶然性が排除される)
彼らの体系はストック重視の思想と言える

近代になり偶然性が大事になる
フロー重視の経済学が代表例だ

ピケティはストックに再び着目する
ただし形而上学的退行を回避出来ているのは
彼の文学や映画の教養によるところが大きい
ここだけはジジェクと同じ

21世紀の資本でもキューブリックのバリーリンドンに触れている、、、

ピケティ原版にはオンラインの専門補遺とインターネットサイトが存在する。これを日本語に翻訳したものはhttp://cruel.org/books/capital21c/ にある。
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日曜日, 8月 30, 2015

ワルラス安定とマーシャル安定







http://homepage1.nifty.com/gujyo-economic-res/micro.files/w-antei.htm
ワルラス安定とマーシャル安定

P|
 |
 |D      S
 |  \ ⬇︎/
 |   \/
 |   /\     
 |S / ⬆︎\ D
 |    
0|____________
          Q

 P|
  |D      S
P0|_\a__b/
  |  \ ⬇︎/
  |   \/e
  |   /\     
P1|_c/_⬆︎\d 
  |S/    \D
 0|____________
          Q

上図の場合で考えてみよう。価格がP0の水準にあるとき、abだけの超過供給が生じているために均衡点eに向かって価格は下落します。
 一方、価格がP1のときにはcdだけ超過需要の存在のために価格はeに向かって上昇します。
 このように価格の変動を通して、需給が均衡することをワルラス安定といいいます。均衡への収束が生じないケースはこれに反してワルラス不安定と呼ばれます。



P|
 |
 |D      S
 |  \  /
 |  ➡︎\/⬅︎
 |   /\     
 |S /  \ D
 |    
0|____________
          Q

 P|
  |D      S
P0| \a  c/
  |  \e /
  | ➡︎|\/|⬅︎
  |  |/\|     
P1| b/  \d
  |S/|  |\D
 0|__|__|________
    Q0  Q1    Q

 P|
  |D      S
P0| \a  c/
  | |\e /|
  | |➡︎\/⬅︎|
  | | /\ |     
P1| b/  \d
  |S/    \D
 0|_|____|________
    Q0   Q1   Q
上図で取引量がQ0の水準にあるときには需要価格PDが供給価格PSをabだけ上回っているために超過需要価格が生じていることから、取引量は均衡eの方向に移動して需給均衡が成立します。
 一方、取引量がQ1の水準にあるときにはcdだけ超過需要価格が発生していることから、取引量はeに向かって減少し需給均衡が成立します。
 このように、取引量(数量)の調整によって、市場均衡が成立することをマーシャル安定といい、数量調整が需給を均衡させる方向に作用しない場合にはマーシャル不安定と呼びます。

P|
 |
 |D      S
 |  \  /
 |   \/
 |   /\     
 |S /  \ D
 |    
0|____________
          Q










土曜日, 8月 29, 2015

「錐体の体積がなぜ1/3(3分の1)かを感覚的に納得させる方法」


                 (リンク:::::::::数学

「錐体の体積がなぜ1/3(3分の1)かを感覚的に納得させる方法」
http://nam-students.blogspot.jp/2015/08/1331.html(本頁)

       ___
      /__/|
     |  | |1
     |__|/1
      1

上記立方体を三分割する四角錐の展開図:

     √3
   \ ̄-_  _- ̄/
    \  /\  /
     \/  \/
     |\  /| 
     | \/ |√2
     | /\ |
     |/ 1\|      ×3



Taro-柱体と錐体の体積の関係04.2

ÿþT aro - ñgSOh0 fiSOn0SOMzn0¢ŁÂO0 4 . 2

 
(Adobe PDF)
 

www.cms-center.gr.fks.ed.jp/?action=common...main...
-1-. ○「錐体の体積がなぜ1/3(3分の1)かを感覚的に納得させる方法」. 【柱体,錐体の 体積:第1学年】. ○ 中学校数学科で初めて ... 取り図などを基に,正面から. 見た底辺と 高さがそれぞれ. 等しい長方形と二等辺三角. 形の面積の関係. から「2杯分」とと ... 教科書の展開例. ・立体模型の教具を利用し,円柱には,. 底面が合同で,高さが等しい 円錐の3. 倍分の水がはいることを ... -3-. 2 実感を伴って理解できる教具. (1)立方体. ① 立方体を3等分(青い線で)する方法. ② 四角錐の展開図. E2. E3. 1 ... 1)三角錐 の 展開図.





   ____A
  /   /\ 
B/___/  \ 
 \   \  / 
  \___\/ 
       C
立方体をこのように六角形に見えるように置き、(A,B,Cで)三分割すればいい。
あるいは、

  \____A
  /   \ 
B/___  \_←立方体をこの角度から中心まで切る。
 \     / 
  \___/ 
  /    C

  A____
  /\  \ 
 /__\/__\C
 \  /  / 
  \/__/ 
  B
   A____
  /\\  \ 
 /__\\/__
 \  / ____

  \/ /
  /
   B/
__
立方体を切って三つ出来た四角錐の展開図:
     √3(上の図で言えば奥行きに相当する部分)
   \ ̄-_  _- ̄/
    \  /\  /
     \/  \/
     |\  /| 
     | \/ |√2
     | /\ |
     | 1|      ×3



上の図の出典は以下:


ちなみに、
   ____
  /  /\ 
 /____\ 
 \  \  / 
  \__\/ 
この平面図は以下に変換し得る。
____
\  /\
 \/__\
  \  /\
   \/__\
    \  /\
     \/__\
あるいは、
  ____________
 /\  \  /\  /
/__\__\/__\/


この図形変換はもう少し細かくしてゆけば円周率を説明し得る。
円を二つに割り、短冊状にして組み合わせるのだ。
直径かける円周率が円周になるなら、
半径かける半径かける円周率が円の面積になる、ということを体感させる。

(上は三次元で納得させる。あるいは二次元で統一する。以下は二次元で納得させ、一次元で統一する。)
参考:
デカルトによる量の次元の統一=平方根の作図: 
 デカルト以前では,aが線分であると考えると√aは意味を持っていなかった。
しかし,デカルトにとっては,1とaを表す線分が与えられた場合√aを表す線分
は下の図の作図で与えられる線分の長さとして考えることができる。


          D
   o      | o
  o       √a  o
          |
  A_____O_B___C
      a      1 
          =単位線分

「平方根√aについては、図のように、線分a(AB)と単位線分*(BC)を一直線にし
て描きます。次に、ACの 中点Oを中心とし、半径OAの半円を描きます。そして、
点Bから垂線BDを立てますと線分BDが平方根√aを表すのです。なぜなら、
△ABD∽△DBCですから、a: BD = BD : 1 となり、BD^2=a となるからです。」

*単位線分とは、長さ1の線分のこと。
(上垣渉『はじめて読む数学の歴史』270頁)

a: BD = BD : 1 となり、BD^2=a
a/BD = BD /1
両辺にBDをかける
と BD^2=a
BD=√a 
ちなみに、以下の図を基本形として考えるとわかりやすいかも知れない。

        D
   o    |    o
  o     √a     o
        |
  A_____B_____C
     a  O  1 
          =単位線分

     o /D\ o
   o  / | \  o
  o  /  √a  \  o
    /   |   \
  A/____B____\C
     a  O  1 
          =単位線分

a=√a=1
Bが中心からずれるに従って左右の三角形は同じ角度ずつ形を変えてゆく


______
区分求積法:

創造的な教材・指導法及びカリキュラムの開発 : 中高6ヵ年から大学へ

 
(Adobe PDF)
  
tsukuba.repo.nii.ac.jp/index.php?...
反転法. 2007 g3-3. 立方体の切断 (2). 2009 g3-4. ヘロンの公式の幾何的証明と応用. 2013女. 扱いを想定している教材は,数字の代わりに rfJを用い. た。 .... 一辺の長さが 4 である正方形 ABCDの内側に,図の ... また,図のように外側にも同じ直角三角形を 4つ 組み ...... つぎに,区分求積法ではなく,正方形の放物線によ ..... ⑫錐体と柱体の体積.


_____
こちらも区分求積法で説明しようとしている。

数学の森 大学必須数学の鳥瞰図 
著者名等  岡本和夫/著 
著者名等  長岡亮介/著  
著者等紹介 【岡本】1947年東京都生まれ。東京大学理学部卒、同大学院理学系研究科修士課程修 了。東京大学教養学部教授、同大学院数理科学研究科教授、同研究科長、大学総合教育研 究センター長等を経て、現在、大学評価・学位授与機構理事、東京大学名誉教授。主な著 書「解析演習」など。 著者等紹介 【長岡】1947年長野県生まれ。東京大学理学部卒、同大学院理学系研究科博士課程満 期退学、津田塾大学助教授、大東文化大学教授、放送大学教授等を経て、現在、明治大学 理工学部特任教授。数理哲学、数学史を専攻。主な著書「長岡亮介線型代数入門講義-現 代数学の《技法》と《心》」等。 
出版者   東京図書 
出版年   2015.12 
大きさ等  21cm 307p NDC分類 410 
件名    数学
要旨    高校数学の復習から大学で学ぶべき数学までを、まるごとすべて語る贅沢な1冊。空を舞 う鳥のように“森”全体を俯瞰し、数学と戯れて、理系・文系を問わず、みなさんの専門 分野に羽ばたいてほしい。著者お二人ならではの味わい深い魅力が満載。 

目次
第1部 大学数学 基礎の基礎(三角関数;加法定理の応用と複素数 ほか);
第2部  微分積分の基礎(三角・逆三角関数と微分;指数・対数・双曲線関数と微分 ほか);
第 3部 線型代数の基礎(行列;連立1次方程式の解法と行列の基本変形 ほか);
第4部  微分積分の更なる展開(微分方程式入門;2階の微分方程式と行列の固有値 ほか); 
第5部 2変数関数への飛翔(2変数関数入門;2変数関数の微分法 ほか) 

内容  
大学数学書の「伝統的な特徴」を打破することを目指し、「証明による説得」よりは「自 然な納得」を重視。高校数学の復習から大学で学ぶべき数学までを、まるごとすべて語る 贅沢な1冊。 ISBN等 4-489-02220-4 ISBN等 978-4-489-02220-


94頁
錐体
内側
外側
区分求積法





数列を学習していると、「~乗の和」という形で公式が3乗の和まで出てくると思います。しかしこれらの公式は覚えにくいのでたまに忘れてしまうこともあるかと思います。そんなときに焦らず公式を思い出せるように、今回は1乗和の公式、2乗和の公式に関してどのような原理で導き出すことができるか紹介しようと思います。

1乗和の求め方 -逆さまにして足す!-

1乗和ということは要するに例えば1~nまで単純に合計した場合ですね。この場合の公式を思い出す方法としては「逆さまにする」です!1~nまでの和を考えるとしたら、下のように1~nの順に足す数式とn~1の順番に足す数式を上下に並べて足してみます。ここでは求める和をSという文字で置きます。


これで1乗和の公式を導くことができました。

2乗和の求め方 -三角形を3つ足す!-

2乗和の求め方のキーワードは「三角形を3つ足す」です!求める和をSとします。具体的には下の図を見てください。



上図の3つの三角形は最初の三角形を120°ずつ回転させただけということが分かるでしょうか?
この図より多数の2n+1の合計が3Sに一致することが分かります。最後の三角形にある2n+1の個数は上から1+2+3+…+n、つまり上で説明した1乗和の合計となります。よって公式は下図のようになります。


いかがでしたか?今回の図で数列の~乗和の公式の覚え方は分かったかと思います。ぜひ生徒さんにも紹介してあげてください!